新高考二輪復(fù)習(xí)真題源導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題講義第11講 雙變量不等式：極值和差商積問(wèn)題（解析版）1

第11講雙變量不等式:極值和差商積問(wèn)題參考答案與試題解析一．解答題（共21小題）1．（2021春?溫州期中）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【解答】證明：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，在定義域上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，（1），當(dāng)時(shí)，（1），原命題得證．（2），若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則，解得，由韋達(dá)定理可知，，，，原命題即證：，不妨設(shè)，原命題即證：，由知，，即證：，不妨令，原命題即證：，記，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，（1），原命題得證．2．（2021春?浙江期中）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【解答】（1）解：因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，所以（1），則在處的切線方程為；（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，且，①?dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，則在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，判別式△，當(dāng)時(shí)，△，即，所以恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，所以在，上單調(diào)遞增，在和，上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在和，上單調(diào)遞減．（3）證明：由（2）可知，，，，則，則，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明即可，即證明，則，即證，即證在上恒成立，令，其中（1），則，故在上單調(diào)遞減，則（1），即，故，所以．3．（2021秋?武漢月考）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：恒成立．【解答】解：（1）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，③當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增，④當(dāng)時(shí)，令，得或，，得，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）證明：，則的定義域?yàn)?，，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則方程的判別式△，且，，解得，又，所以，即，所以，設(shè)，其中，，由，解得，又，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞減，即的最大值為，所以恒成立．4．（2021秋?南昌月考）已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并比較與的大?。窘獯稹拷猓海á瘢┯傻?，（2分）由題在恒成立，即在恒成立，而，所以；（5分）（Ⅱ），由題意知，，是方程在內(nèi)的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，令，注意到，其對(duì)稱(chēng)軸為直線，故只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；（8分）由，是方程的兩根，得，，因此，（10分）又，所以，即得證．（12分）5．（2021?運(yùn)城模擬）已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【解答】解：（1）由題得，其中，令，，對(duì)稱(chēng)軸為，△，若，則△，此時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增，若，則△，此時(shí)在上有兩個(gè)根，即，，且，所以當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，則，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，則，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，，所以，令，，由于，故在上單調(diào)遞增，所以（1），所以，即．6．（2021?安徽開(kāi)學(xué)）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．【解答】解：（1），時(shí)，，在遞增，時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在，遞減，綜上：當(dāng)時(shí)，遞増區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為，通減區(qū)間是．（2）證明：，當(dāng)時(shí)，，在遞增，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，由，得，若，則，在遞增，無(wú)極值點(diǎn)，若，則，，不妨設(shè)．此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，，因?yàn)?，故，即?．（2021秋?上城區(qū)校級(jí)月考）已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且恒成立，求正實(shí)數(shù)的最大值．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，，令，則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故，①即時(shí)，，在遞減，②即時(shí)，，在遞增；（Ⅱ），有兩個(gè)極值點(diǎn)，，，，令，則，易知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，在上遞減，在，上遞增，，（1），故，即，由，可得，，則，，則，，，由，得，下證，即證，即證，，等價(jià)于證，令，，，則，故，，即，令，則，令，則，在上遞減，，正實(shí)數(shù)的最大值為1．8．（2021春?鯉城區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【解答】解：（1），則．令，若△，即時(shí)，則恒成立，即恒成立，可得在上單調(diào)遞增；若△，則或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，可得在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，，由，得，當(dāng)，，時(shí)，，，當(dāng)，時(shí)，，，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）函數(shù)，，由，得，，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，，，，，，，解得，，構(gòu)造函數(shù)，，，在，上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．9．（2021春?湖南期中）已知函數(shù)在處的切線與直線平行，函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【解答】（1）解：函數(shù)，則，因?yàn)樘幍那芯€與直線平行，則切線的斜率為（1），解得；（2）解：由（1）可得，函數(shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則在上有解，因?yàn)椋O(shè)，則，所以只需或，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）證明：由題意可知，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以，是的兩個(gè)根，則，所以，所以要證，即證，即證，即證，即證，令，則證明，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則（1），即，所以原不等式成立．10．（2021?浙江模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）有兩個(gè)極小值點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，則（1），即當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，只有一個(gè)極小值．當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，只有一個(gè)極大值，無(wú)極小值．當(dāng)時(shí)，由的圖象，知存在，，使得，即．當(dāng)時(shí)，，，所以，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，所以，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，所以，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，所以，在單調(diào)遞增；所以，為的極小值點(diǎn)，，為極小值．故的取值范圍為．由，由，即，兩邊取對(duì)數(shù)，，．所以，同理得故，又，所以，所以．即．11．（2021?南關(guān)區(qū)校級(jí)四模）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，．（1）求的取值范圍；（2）證明：．【解答】（1）解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，又，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，至多1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以（a），當(dāng)時(shí)，（a），此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，（a），此時(shí)1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，（a），又，且，所以在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）證明：不妨設(shè)，則所要求證的不等式可變形為，即，即，令，則，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故．12．（2021春?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，．①求的取值范圍；②若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），則①當(dāng)時(shí)，是常數(shù)函數(shù)，不具備單調(diào)性；②當(dāng)時(shí)，由：由，故此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，由，由，故此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，是常數(shù)函數(shù)，不具備單調(diào)性，②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）①因?yàn)?，所以，由題意有兩個(gè)不同的正根，即有兩個(gè)不同的正根，則，可得，②不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，又，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍是．13．（2021春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)．（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【解答】解：（1），，若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，故，，，若在遞增，則在恒成立，故，沒(méi)有最小值，此時(shí)不存在，綜上，的取值范圍是，；（2）證明：當(dāng)時(shí)，△，方程有2個(gè)不相等的正根，，不妨設(shè)，則當(dāng)，，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)且，，，令（a），，則當(dāng)時(shí)，（a），則（a）在單調(diào)遞減，故（a）（2），即．14．（2021春?綿陽(yáng)期末）已知，．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：當(dāng)，時(shí)，．【解答】解：（1）由題意知，①當(dāng)△時(shí)，即時(shí)，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，②當(dāng)△時(shí)，即時(shí)，令，得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以且，所以函?shù)在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）證明：由題意知，，由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，不妨設(shè)，則由（1）可知，，，則，，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，，，所以，，所以設(shè)，，，因?yàn)椋?，所以，單調(diào)遞增，所以（1），即，所以．15．（2021秋?莊浪縣校級(jí)月考）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性．（2）若，設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，求證：．【解答】解：（1）由題意可得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，若，則，單調(diào)遞增，若，，則，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）證明：因?yàn)?，，由，得，若，則△，所以，，所以，因?yàn)?，，，所以，解得，所以，設(shè)，則，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，．所以時(shí)，．16．（2021春?綿陽(yáng)期末）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：當(dāng)，，，．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以在上，，單調(diào)遞增，在，上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增．（2）證明：因?yàn)椋瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以，，其中，，，，所以，，，設(shè)，，，，所以在上，，單調(diào)遞減，在，上，，單調(diào)遞增，所以（1），得證．17．（2021秋?平邑縣校級(jí)月考）已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，當(dāng)恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的最小值．【解答】解：（1）在，上單調(diào)遞增，在，恒成立，即當(dāng)時(shí)，，又在，上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1，所以，即，；（2）函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即、是方程的兩個(gè)不相等的正實(shí)根，，．令，則，，令，則，在上單調(diào)遞增，（1）．當(dāng)恒成立，在上恒成立，（1），實(shí)數(shù)的最小值為0．18．（2021春?新鄉(xiāng)期末）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．【解答】解：（1），，，當(dāng)時(shí)，△，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，即，解得得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間，單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，，，，，即，，，令（a），，（a），（a）在為單調(diào)遞增函數(shù)，又（1），當(dāng)時(shí)，（a），故實(shí)數(shù)的取值范圍為．19．（2021春?武清區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，有最大值，（?。┣髮?shí)數(shù)的值；（ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且的取值范圍是，求的取值范圍．【解答】解：（1）（?。┊?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)最大值，不合題意，當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞增，在，上，，單調(diào)遞減，所以，又有最大值，所以，所以．（ⅱ）證明：若證當(dāng)時(shí)，，需證當(dāng)時(shí)，，令，，只需證明，，令，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以（1），所以，即在上單調(diào)遞減，所以（1），即可得證．（2）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以，為的根，所以，為的根，所以，，所以，，，令，，則，，所以在上單調(diào)遞減，又（2），（4），所以，由，又，單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，．20．（2021春?商洛期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），，令，，，在遞增，而，，時(shí)，，，時(shí)，，時(shí)，，，時(shí)，，在遞減，在，遞增，只有1個(gè)極值點(diǎn)；（2）由（1）知，，，要使有2個(gè)極值點(diǎn)，即有2個(gè)不同的根，則，解得：，此時(shí)若，，則，，又，，