1平面向量基本定理

6.3.1平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)課題6.3.1平面向量基本定理 單兀 第六單兀學(xué)科 數(shù)學(xué)年級(jí)高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量基本定理，由平面向量共線定理導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量基本定理，為平面向量的坐標(biāo)表示做鋪墊。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象：利用平面向量共線定理將平面向量基本定理具體化；.邏輯推理：通過(guò)課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量基本定理；.直觀想象：利用平行四邊形法則推導(dǎo)并掌握平面向量基本定理；.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確運(yùn)用平面向量基本定理；.數(shù)據(jù)分析:通過(guò)經(jīng)歷提出問(wèn)題一推導(dǎo)過(guò)程一得出結(jié)論一例題講解一練習(xí)鞏固的過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。重點(diǎn)平面向量基本定理難點(diǎn)平面向量基本定理教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課舊知導(dǎo)入：思考1：向量的加法運(yùn)算是什么運(yùn)算法則呢？三角形法則作平移，首尾連,由起點(diǎn)指終點(diǎn)4 A7AB+BC=ACB平行四邊形法則作平移，共起點(diǎn)，四邊形,對(duì)角線OA\OB"二OC、O? A思考2：平面中的非零共線向量該如何表示？向量a｛豐0與j共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)入，使b=Xa思考3：根據(jù)思考1和2,你有什么猜想？平面內(nèi)任一向量可以由同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量表示。我們知道：已知兩個(gè)力，可以求出它們的合力；反過(guò)來(lái)，一個(gè)力可以分解為兩個(gè)力。思考4：物理中我們根據(jù)什么方法進(jìn)行力的分解？平行四邊形法則。由此我們推斷出：可以通過(guò)作平行四邊形，用同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量表示平面內(nèi)任一向量。學(xué)生思考問(wèn)題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設(shè)置問(wèn)題情境，回顧舊知，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識(shí)探究（一）：平面向量基本定理如圖，設(shè)e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)與e1,e2都不共線的向量。在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0，作OA=e1,OB=e2,OC二a，將。按e1,e2的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生根據(jù)力的分解探究平面向量基本定理。利用力的分解探究得出平面向量基本定理，培養(yǎng)學(xué)生探索的精神.如圖，過(guò)點(diǎn)C作平行于直線0B的直線，與直線0A交與點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)C作平行于直線0A的直線，與直線0B交與點(diǎn)N則OC=OM+ON由OM與e1共線,ON與e2共線可得，存在實(shí)數(shù)/仆，使得OM=1^1,ON=%e2所以a=Xe+Xe學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量基本定理。通過(guò)思考，培養(yǎng)學(xué)生探索新知的精神和能力.即：與e，q都不共線的a都可以表示成x1彳+X2q的形式。思考1：你能根據(jù)上述過(guò)程證明以下結(jié)論嗎？學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量基本定理。通過(guò)思考，培養(yǎng)學(xué)生探索新知的精神和能力.⑴當(dāng)a是與e；或e2共線的非零向量時(shí)，a=Xe；+X2e；;（2）當(dāng)a是零向量時(shí)，a=X；e；+X2e；。證明：G）我們學(xué)過(guò)：向量a^a牛o與洪線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)X，使b=Xa因?yàn)閍是與e；或e2共線的非零向量，所以a=X；e；+X2e2;（2麗定0與任意向量共線因?yàn)閍是零向量，所以a=Xe+Xe。思考2：根據(jù)上述討論你能得到J什么結(jié)論？上述討論表明：平面內(nèi)任一向量：都可以按e；，e:的方向分解，即a=九；1+九2個(gè)，且這種表示形式是唯一的。] F I I ]假設(shè)a=旦e+旦e，那么a=日e+ne=Xe+Xe；； 22 ；； 22 ；； 22可得。；一片匕+（x2_電工=o由此得X；—N；，X2—%全為0.‘假設(shè)X-N，X-N不全為0,不妨假設(shè)X-NW0,則e=-XT―^Te.、；；2 2 ； ； >X-N,2一 ‘， ii[由此可得e；,e2共線。這與已知e；,e2不共線矛盾 J即X=n，X=n

也就是說(shuō)，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)仆仆使n2q平面向量基本定理：如果e，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入，、入，使a八e+九若e，e不共線，我們把e,e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底。2思考3：(D基底工e是否唯一？基底1 2;唯一滿足什么條件？基底",e2”線G)定理中(D基底工e是否唯一？基底1 2;唯一滿足什么條件？基底",e2”線G)定理中入，入是否唯一？可以為0嗎?1 2基底確定，X，九唯一?？梢詾?。小試牛刀12.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)(1)平面向量的一個(gè)基底{e1,e2}中，e1,e2一定都是非零向量.(J )(2)在平面向量基本定理中，若a=0,則%=入2=0.(J)⑶在平面向量基本定理中，若a〃ej，則入2=0；若a〃e2，則入］=0.(J)(4)表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的.(X).做一做⑴設(shè)e「e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是(B)A.{e「ejB.{ei+e23ei+3e2}C.電5eJD.{ei，ei+e2）⑵在^ABC中，D為BC邊上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn),2-1/一一一二-++—b,若AB=a,AC=b，則AD= 3 3（用a,b表示）.例題講解例1：如圖,OA,08不共線，且AP=tAB,（teR）用OA0B表示OP.練一練鞏固掌握平面向量基本定理解：因?yàn)锳P=tAB所以op=OA+AP=OA+tAB=OA+10—OA）=OA+tOB-tOA學(xué)生例題，鞏固平面向量基本定理，并能夠靈活運(yùn)用.利用例題，化抽象為具體，提高學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力。=G-1>)OA+tOB力。思考4：觀察OP=G-1"OfA+tOB,你有什么發(fā)現(xiàn)?由以上關(guān)系式得：~=G-1)入2=t可得：~+九2二1由此可得結(jié)論：若A,B,P三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)，則OP=11OA+%OB,且?+12=1。反之亦成立。例2：如圖，CD是AABC的中線，CD=1AB，2用向量方法證明AABC是直角三角形。證明：如圖設(shè)CD=〃,DA=b貝UCA=a+b,DB=-b,于是。總=a-bCA?CB=(+b)(-)=a2-b21—■因?yàn)椤?2AB所以CD=da因?yàn)閍2=CD2,b2=DA2所以CA?CB=0因此CA1CB于是AABC是直角三角形。例3如圖所示，在AABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且AN=1NC,BN與CM相交于點(diǎn)E,設(shè)AB=a,AC=b,乙一試用基底｛a,b｝表示向量AE.一一一一［解］易得AN=；AC=；b,AM=：AB=(a,

3 3 乙乙［解］由N,E,B三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)m,滿足AE=mAN+(1—m)AB=1mb+(1—m)a.3由C,E,M三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)n,滿足AE=nAM+(1—n)AC=1na+(1—n)b,乙所以1mb+(1—m)a=|na+(1—n)b,3 21—m=jn,22由于｛a,b｝為基底，所以1、7m=1—n,TOC\o"1-5"\h\zm=3, — 5 5一一2 1解得, 所以AE不a+的4 5 5〔n=5，

一例4設(shè)｛e『ej是平面內(nèi)的一個(gè)基底，如果慶8=3?— ——2e2,BC=4e1+e2,CD=8e]—9e2，求證:A,B,D三點(diǎn)共線.— ————[證明]???AB=34一2e2，AD=AB+BC+CD=15e]——>—>ff—10e2=5(3e1—2e2)=5AB,即AD=5AB,AAD與AB^ff線，又AD與AB有公共點(diǎn)A,??.A,B,0三點(diǎn)共線.（1）三點(diǎn)共線問(wèn)題的解法一是利用平面向量基本定理、結(jié)合向量的線性運(yùn)算表示有公共點(diǎn)的兩向量之間的共線關(guān)系.二是找直線外一點(diǎn)（任意一點(diǎn)也可）0,若存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)入，U￡R使0P=、0A+u0B（入+u=1）.則P,A,8三點(diǎn)共線.⑵注意向量共線與平面向量基本定理放在一起思考解決是否共線問(wèn)題.提升訓(xùn)練1、OABCD中，E、F分別是DC和AB的中點(diǎn)，學(xué)生和教師共同探究完成練習(xí)題。通過(guò)這3個(gè)題，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生和教師共同探究完成練習(xí)題。通過(guò)這3個(gè)題，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)AFB1-17-因?yàn)锳E=a+-b,FC=-b+a2 2所以AE//FC即A