計算聲學(xué)第一章數(shù)值計算中的誤差分析

前言課程目的和任務(wù)：通過對一些基本聲學(xué)和水聲學(xué)問題的分析和求解，掌握基本聲學(xué)理論計算與工程研究中常用的數(shù)值計算方法，培養(yǎng)綜合運用聲學(xué)專業(yè)知識、數(shù)學(xué)知識和計算機技術(shù)解決科學(xué)研究中手工所不能解算的問題，具備應(yīng)用現(xiàn)代計算工具解決工程實際問題的能力。當前1頁，總共60頁。水聲學(xué)主要研究聲波在水下的輻射、傳播與接收，用以解決與水下目標探測和信息傳輸過程有關(guān)的各種聲學(xué)問題。聲波是目前在海洋中唯一能夠遠距離傳播的能量輻射形式。因此作為信息載體的聲波，在海洋中所形成的聲場時空結(jié)構(gòu)，就成為近代水聲學(xué)的基本研究內(nèi)容，而提取海洋中聲場信息的結(jié)構(gòu)是我們用來進行水下探測、識別、通信及環(huán)境監(jiān)測等的手段。前言當前2頁，總共60頁。前言海洋環(huán)境當前3頁，總共60頁。波動方程：波動方程是聲學(xué)量在聲場中滿足的基本關(guān)系式，反映了波動特征，也是進行聲場計算的基本關(guān)系式。在導(dǎo)出波動方程前，為了使問題簡化，需要對介質(zhì)和聲波做一些假設(shè)：（1）介質(zhì)是均勻連續(xù)的，即在波長數(shù)量級距離內(nèi)，介質(zhì)的聲學(xué)性質(zhì)保持不變；（2）介質(zhì)是理想流體介質(zhì)，聲波在其中傳播時沒有能量損耗，即忽略介質(zhì)的粘滯性和熱傳導(dǎo)性；（3）研究小振幅波的傳播規(guī)律，所謂小振幅波是指各聲學(xué)量都是一級小量。波動方程是描述波動運動的數(shù)學(xué)表達式，它由連續(xù)性方程、狀態(tài)方程和運動方程推導(dǎo)得到。前言當前4頁，總共60頁。波動方程：理想流體介質(zhì)中小振幅平面波的波動方程為（沿軸向傳播）：小振幅聲壓在三維坐標下的波動方程為為拉普拉斯算符，在直角坐標系中

前言當前5頁，總共60頁。海洋聲場的數(shù)值預(yù)報在建立了能夠反映海洋環(huán)境因素對聲場的制約關(guān)系的聲場物理模型（波動方程+定解條件）的基礎(chǔ)上，根據(jù)可測海洋環(huán)境參數(shù)的測定值或預(yù)報值，編寫程序完成數(shù)值計算，給出相應(yīng)海洋環(huán)境條件下的有關(guān)場值。近年來，由于計算機的快速發(fā)展，數(shù)值計算聲場是一個快速發(fā)展的領(lǐng)域。海洋聲場的數(shù)值預(yù)報方法主要有射線算法、簡正波算法、拋物方程（PE）算法、快速場（FFP）算法等，各自有不同的適應(yīng)范圍。前言當前6頁，總共60頁。前言函數(shù)插值：已知一組不同深度處的聲速值，如何得到任意深度處的聲速值？

深度（m）0.050.0100.0200.0300.0400.0500.0800.0聲速(m/s)1510.51510.41505.81500.81496.01492.01488.11483.21000.01200.02000.03000.04000.01482.61482.41498.01516.61534.8當前7頁，總共60頁。前言當前8頁，總共60頁。前言數(shù)值積分：聲線軌跡計算聲線從深度傳播到深度所經(jīng)過的水平距離為當前9頁，總共60頁。前言問題：利用射線聲學(xué)模型對海洋聲場進行求解

當前10頁，總共60頁。偽彩色圖前言當前11頁，總共60頁。前言三維環(huán)境下聲傳播當前12頁，總共60頁。前言三維海洋環(huán)境下特征聲線求解：為聲線的位置信息，需要求解，其它參數(shù)已知。當前13頁，總共60頁。前言三維海洋環(huán)境下特征聲線求解（線性方程組、非線性方程、非線性方程組）1.牛頓法迭代法：泰勒級數(shù)展開式的線性部分近似2.進化算法：遺傳算法、模擬退化算法、粒子群算法等當前14頁，總共60頁。前言曲線擬合：已知目標散射場指向性的實驗測量結(jié)果如圖所示，如何比對其與理論計算結(jié)果的誤差？鋁球散射聲場指向性頻率kHz當前15頁，總共60頁。微分方程求解：隨機共振系統(tǒng)對微弱信號的檢測非線性雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)

利用四階龍格庫塔算法求解前言當前16頁，總共60頁。前言四階龍格庫塔算法當前17頁，總共60頁。前言當前18頁，總共60頁。前言當前19頁，總共60頁。前言當前20頁，總共60頁。前言必要性：

現(xiàn)代科學(xué)研究和高技術(shù)的發(fā)展越來越需要借助計算機進行數(shù)值計算，水聲領(lǐng)域也不例外。講授的主要內(nèi)容：1、數(shù)值計算方法：誤差分析、方程組求解、非線性方程求解、插值法、最小二乘與曲線擬合、數(shù)值微積分、常微分方程求解；2、進化算法（方程組求解）：量子粒子群算法；3、虛源法聲場建模。當前21頁，總共60頁。數(shù)值計算的對象、任務(wù)與特點對象：數(shù)值計算方法是研究科學(xué)與工程技術(shù)中數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解及其理論的一個分支，涉及代數(shù)、微積分、微分方程等的數(shù)值解問題。任務(wù)：研究適合在計算機上使用的數(shù)值計算方法及相關(guān)理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析等；還要根據(jù)計算機的特點研究如何設(shè)計計算方法做到計算時間短、占用內(nèi)存小。學(xué)習(xí)目的：提高應(yīng)用計算機解決實際問題的能力。

當前22頁，總共60頁。數(shù)值計算的對象、任務(wù)與特點數(shù)值計算流程：特點：

既具有數(shù)學(xué)的抽象性與嚴格性，又具有應(yīng)用的廣泛性與實際實驗的技術(shù)性，是一門與計算機緊密結(jié)合的實用性很強的有著自身研究方法與理論體系的計算數(shù)學(xué)課程。當前23頁，總共60頁。數(shù)值計算中的誤差分析內(nèi)容提要：掌握絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字、數(shù)值計算的誤差估計以及設(shè)計算法的原則。重點內(nèi)容：絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字的概念，數(shù)值計算的誤差估計。當前24頁，總共60頁。誤差與數(shù)值計算的誤差估計一、誤差的來源與分類將一個數(shù)的準確值與其近似值之差稱為誤差。1.分類

過失誤差：人為造成，可以避免

非過失誤差：

無法避免，分析產(chǎn)生原因，限制在許可范圍之內(nèi)當前25頁，總共60頁。§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計2.誤差來源（非過失誤差）模型誤差：數(shù)學(xué)模型是通過對實際問題進行抽象和簡化建立的，是一種近似描述。觀測誤差：測量工具精度與測量手段的限制。舍入誤差：計算機位數(shù)的限制，由于計算機的字長是有限的，對參與計算的數(shù)據(jù)和最后得到的計算結(jié)果，都必然用有限位小數(shù)代替無窮位小數(shù)。當前26頁，總共60頁?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計截斷誤差：由數(shù)值方法求得的數(shù)學(xué)問題的近似解與數(shù)學(xué)模型的精確解之間的誤差，是數(shù)值計算方法固有的。取部分和作近似截斷誤差：當前27頁，總共60頁。絕對誤差與絕對誤差限絕對誤差：

設(shè)某一量的精確值為，其近似值為，則稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差。 時稱為弱近似值或虧近似值； 時稱為強近似值或盈近似值。絕對誤差限：如果存在，使得，則稱為近似值的絕對誤差限，簡稱誤差限或精度（測量時，測量工具最小刻度的一半）。越小，表示近似值的精度越高。在工程技術(shù)上常用表示近似值的精度或精確值的范圍?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計當前28頁，總共60頁。§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計例：用毫米刻度的尺子測得桌子長度近似值為mm，由尺子的精度可以知道，近似值的誤差不超過0.5mm，即

表明精確值在區(qū)間內(nèi)，可以寫成絕對誤差限mm，即絕對誤差限是末位的半個單位。當前29頁，總共60頁。相對誤差和相對誤差限相對誤差：絕對誤差與精確值之比，即稱為近似值的相對誤差。實際中，由于精確值一般無法知道，所以常取作為近似值的相對誤差。相對誤差限：若存在，使得，則稱為近似值的相對誤差限。注意：絕對誤差和絕對誤差限與有相同的量綱，相對誤差和相對誤差限是無量綱的，工程中常以百分數(shù)來表示?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計當前30頁，總共60頁。例1.1國際大地測量學(xué)會建議光速采用其含義是絕對誤差限為多少？而其相對誤差限為多少？§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計當前31頁，總共60頁。§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計絕對誤差限：近似值：相對誤差限：當前32頁，總共60頁。有效數(shù)字如果近似值的絕對誤差限是某一位的半個單位，就稱其“準確”到這一位，且從該位開始直到的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱近似數(shù)有n位有效數(shù)字。有效數(shù)字既能表示近似值的大小，又能表示其精確程度（絕對誤差限）。例1.2 設(shè)，其近似值，問有幾位有效數(shù)字？如果，有幾位有效數(shù)字？§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計當前33頁，總共60頁。練習(xí)題1.指出如下有效數(shù)的絕對誤差限、相對誤差限和有效數(shù)字位數(shù)。

2.將22/7作為的近似值，它有幾位有效數(shù)字？絕對誤差限和相對誤差限各為多少？當前34頁，總共60頁?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計有效數(shù)字

設(shè)的近似值可以寫成如下的標準形式

所以當其絕對誤差限滿足時，稱近似值具有位有效數(shù)字。當前35頁，總共60頁。§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計結(jié)論：如果

，有位有效數(shù)字，則其相對誤差限為反之，如果的相對誤差限滿足則至少有位有效數(shù)字。當前36頁，總共60頁?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計例1.3

要使的近似值的相對誤差小于，至少需取幾位有效數(shù)字？當前37頁，總共60頁。誤差的傳播與估計實際的數(shù)值計算中，參與運算的數(shù)據(jù)往往都是近似值，帶有誤差。而在進一步運算中都會產(chǎn)生舍入誤差或截斷誤差，這些誤差在運算過程中會進行傳播，影響計算結(jié)果?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計當前38頁，總共60頁。一元函數(shù)的泰勒（Taylor）中值定理：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)，，則有其中，拉格朗日型余項（介于之間）。

§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計當前39頁，總共60頁?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計泰勒（Taylor）公式估計誤差的方法：以二元函數(shù)為例，設(shè)和分別是和的近似值，是函數(shù)值的近似值。函數(shù)在點處的Taylor展開式為當前40頁，總共60頁?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計式中一般都是小量值，如果忽略它們的高階無窮小量，則上式簡化為因此的絕對誤差為當前41頁，總共60頁?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計系數(shù)分別是一階偏導(dǎo)數(shù)在處的值，稱為對的絕對誤差的增長因子，分別表示絕對誤差經(jīng)過傳播后增大或縮小的倍數(shù)。

當前42頁，總共60頁。§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計的相對誤差

分別是對的相對誤差的增長因子，表示相對誤差經(jīng)過傳播后增大或減小的倍數(shù)。

當前43頁，總共60頁。

由此可以得到兩近似數(shù)的和、差、積、商的誤差估計（絕對誤差）為§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計當前44頁，總共60頁。例1.4經(jīng)過四舍五入得到，，問他們分別具有幾位有效數(shù)字？，，，的絕對誤差限分別是多少？§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計當前45頁，總共60頁?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計解：記和的精確值分別是和，則分別具有5位有效數(shù)字當前46頁，總共60頁?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計例1.5

測得某電阻兩端的電壓和流過的電流分別為伏、安，求電阻的阻值，并求及。

當前47頁，總共60頁?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計解：有，已知伏，安，得歐的絕對誤差：由于，，所以從而的相對誤差當前48頁，總共60頁。例1.6設(shè)，，都精確到2位小數(shù)，估計的相對誤差。§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計當前49頁，總共60頁?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計解：所以當前50頁，總共60頁。在由誤差估計式得出絕對誤差限和相對誤差限的估計時，由于取了絕對值并用三角不等式放大，是按照最壞情形得出的，所以結(jié)果是保守的。 一般來說，為了保證計算結(jié)果的精確度，在計算過程中，比結(jié)果中所要求的有效數(shù)字位數(shù)多取1位或2位就可以了?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計當前51頁，總共60頁。計算機只能對有限位數(shù)進行計算，從而在運算中產(chǎn)生誤差是不可避免的。許多實際問題的求解往往需要進行成千上萬次的數(shù)值計算，為了保證計算結(jié)果的可靠性，必須防止誤差的產(chǎn)生、傳播與擴大。一個好的算法應(yīng)該是計算量小、精度高，算法穩(wěn)定，在計算過程中占用計算機的存儲單元和工作單元少。§3選用和設(shè)計算法時應(yīng)遵循的原則當前52頁，總共60頁?！?選用和設(shè)計算法時應(yīng)遵循的原則選擇算法應(yīng)遵循的原則：1.算法是否穩(wěn)定；2.算法的邏輯結(jié)構(gòu)是否簡單；3.算法的運算次數(shù)和算法的存儲量是否盡量少。當前53頁，總共60頁。減少運算誤差的幾項措施：1.選用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式，控制舍入誤差的傳播；在數(shù)值計算中，對于某一問題選用不同的算法，所得到的結(jié)果往往不同，有時甚至大不相同。這主要是由于初始數(shù)據(jù)的誤差或計算時的舍入誤差在計算過程中的傳播因算法的不同而異。對某一算法，如果初始數(shù)據(jù)的誤差或舍入誤差對計算結(jié)果的影響較小，則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的；否則，稱為數(shù)值不穩(wěn)定算法。

§3選用和設(shè)計算法時應(yīng)遵循的原則當前54頁，總共60頁。例1.7計算積分解：由算法一

將代入遞推公式分別計算，由于§3選用和設(shè)計算法時應(yīng)遵循的原則當前55頁，總共60頁。所以，因此算法一誤差過大，原因是的近似值所產(chǎn)生的誤差每計算一次放大10倍，誤差隨n的增大迅速遞增算法二

由后項遞推前項，中的誤差傳遞到