計算數(shù)學課件 第二章 插值方法1017

第二章插值法插值法工具差商差分Lagrange插值基函數(shù)多項式插值存在唯一性誤差估計插值公式Hermite插值分段多項式插值分段線性插值分段三次Hermite插值三次樣條插值定義、性質(zhì)定義、性質(zhì)定義、性質(zhì)

許多實際問題都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量規(guī)律的數(shù)量關(guān)系，其中相當一部分函數(shù)是通過實驗或觀測的得到的。一般得到的只是上一系列點上的函數(shù)值這只是一張函數(shù)表；有的函數(shù)雖有解析表達式，但由于分析性質(zhì)復雜,例如的計算，找不到原函數(shù),用牛頓-萊布尼茲公式不可行。引言根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫。例如：已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（°）7.044.283.402.542.13插值方法的主要思想是將考察的函數(shù)“簡單化”，即構(gòu)造某個簡單函數(shù)逼近（如多項式、三角函數(shù)、有理多項式等）。如果要求近似函數(shù)取給定的某些點上的函數(shù)值和導數(shù)值，則稱為的插值函數(shù)（或稱逼近）。定義1

設函數(shù)在區(qū)間上有定義，且已知在點

上的值，若存在一簡單函數(shù)，使成立，就稱為的插值函數(shù)，點稱為插值節(jié)點，包含插值節(jié)點的區(qū)間稱為插值區(qū)間,求的方法就是插值法。(i)是次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式，即其中為實數(shù)，就稱為插值多項式

從幾何上看，可以理解成：已知平面上n＋1個不同點，要尋找一條n次多項式曲線通過這些點。插值多項式一般有兩種常見的表達形式，一個是拉格朗日插值多項式，另一個是牛頓插值多項式。插值函數(shù)的分類：

y=f(x)y=P(x)Y(ii)若為分段的多項式，就稱為分段插值

為了避免高次插值可能出現(xiàn)的大幅度波動現(xiàn)象，在實際應用中通常采用分段低次插值來提高近似程度，比如可用分段線性插值或分段三次埃爾米特插值來逼近已知函數(shù)，但它們的總體光滑性較差。為了克服這一缺點，一種全局化的分段插值方法——三次樣條插值成為比較理想的工具。見樣條函數(shù)。(iii)若為三角多項式，就稱為三角插值

當被插函數(shù)是以2π為周期的函數(shù)時，通常用n階三角多項式作為插值函數(shù)，并通過高斯三角插值表出。三角多項式是一類簡單的周期函數(shù),但是，它是近似表示一般的周期函數(shù)的有效工具，隨著三角多項式的階的增高，任何連續(xù)的周期函數(shù)都可以借助于三角多項逼近到預先給定的程度。

插值問題的解的存在唯一性：問題1：求一個n次多項式，使得這里兩兩不同，稱為插值節(jié)點。假設所求插值多項式為滿足插值條件就是下列線性方程組：其系數(shù)行列式就是所謂的范德蒙行列式（Vandermonde）由于這n+1個節(jié)點都是兩兩不相同的，所以不等于零，由克萊姆法則知道，上述插值問題的解存在且唯一。注:如果不要求“的次數(shù)不超過n次”,滿足插值條件的多項式就不唯一了。2.2拉格朗日插值2.2.1線形插值與拋物插值[一次插值與二次插值]問題2給定區(qū)間及端點函數(shù)值，要求線性插值多項式，滿足由于是通過兩點和的直線，所以我們稱這樣的插值為線性插值。（點斜式）（兩點式）記，即這里和為線性插值多項式，稱為線性插值基函數(shù)。例：已知，求解：現(xiàn)在已知，求

基函數(shù)問題3假定插值節(jié)點為，要求二次插值多項式，使它滿足由于是通過三點的拋物線，稱這樣的插值為拋物插值。為了求出類似形式的插值公式，同樣采用基函數(shù)法，此時基函數(shù)是二次函數(shù)，在節(jié)點上滿足由于每個基函數(shù)都有兩個零點，這樣就可以求出它們各自表達式了這樣就得到二次插值多項式，如下很顯然，它是滿足條件。例：已知，，，求解：現(xiàn)在已知，求基函數(shù)，，>>sqrt(115)ans=10.7238052947636與之前的線性插值比較，逼近效果更好2.2.2拉格朗日插值多項式問題4

如何構(gòu)造通過n+1個節(jié)點的n次插值多項式，假定它滿足這樣的n次多項式就稱為n次拉格朗日插值多項式。仿照線性插值和拋物插值的情形，我們先求n

次拉格朗日插值基函數(shù)。即是n次多項式且滿足類似與求的基函數(shù)，易求得n

次拉格朗日插值基函數(shù)

這樣就可以得到n次拉格朗日插值多項式的表達式，如下且它滿足條件。線性插值其實就是拉格朗日插值多項式n=1的情況，拋物插值就是n=2的情況。拉格朗日插值的幾何解釋：通過曲線上給定的n+1個節(jié)點求作一條n次代數(shù)曲線作為的近似。引入記號：易知：例：下面給出二氧化碳在不同溫度下的兩種物性T300400500600alpha2.128e+33.605e+35.324e+37.190e+3beta3.33e+32.50e+32.00e+31.67e+3分別計算當T=321,440,571時，二氧化碳的兩種物性>>T=[300400500600];>>alpha=1000*[2.1283.6055.3247.190];>>T1=[321440571];>>lagrange(T,alpha,T1)y1=1.0e+003*2.41344.26896.6393>>調(diào)用拉格朗日插值公式用matlab計算>>beta=1000*[3.332.502.001.67];>>lagrange(T,beta,T1)y1=1.0e+003*3.12042.26941.7576調(diào)用拉格朗日插值公式functionLagrange=Lagrange(x,y,x1)fork=1:length(x1)omega=1;n=length(x);fori=1:nomega=(x1(k)-x(i))*omega;end%j=1的情況

omega10=1;fori=2:nomega10=omega10*(x(1)-x(i));endy1(k)=y(1)*omega/((x1(k)-x(1))*omega10);

%j>1的情況

forj=2:nomega1=1;fori=1:j-1omega1=(x(j)-x(i))*omega1;endfori=j+1:nomega1=(x(j)-x(i))*omega1;endy1(k)=y1(k)+y(j)*omega/((x1(k)-x(j))*omega1);endendy1

計算計算求和>>x=[100121];>>y=[1011];>>lagrange(x,y,115)y1=10.7143>>x=[100121144];>>y=[101112];>>lagrange(x,y,115)y1=10.7228>>x=[81100121144169196225];>>y=[9101112131415];>>lagrange(x,y,115)y1=10.72382.2.3插值余項與誤差估計由于插值函數(shù)只是近似的刻畫了原來的的函數(shù)（事實上，只是在插值節(jié)點上兩個函數(shù)的值才相符），因此在插值點處計算作為的函數(shù)值，一般總有誤差的，我們定義為插值函數(shù)的截斷誤差，或稱為插值余項。插值余項的大小比較好的刻劃了用簡單的插值函數(shù)替代原來復雜的函數(shù)的有效程度。關(guān)于插值余項的估計有以下定理：定理1設在上連續(xù)，在內(nèi)存在，節(jié)點，是滿足條件的插值多項式，則對任何，插值余項：這里且依賴于，如果求出就有考察易知構(gòu)造輔助函數(shù)假設

有直到n+1階的導數(shù),誤差稱為插值多項式的余項.有n+2個零點，反復應用羅爾定理，有所以,由于的具體位置不可能給出,通?？紤]的是截斷誤差限.線性插值：n=1的拉格朗日插值多項式，它的余項:拋物插值：n=2的拉格朗日插值多項式，它的余項:拉格朗日余項定理在理論上是很有價值，從余項我們可以看出，如果插值點離插值節(jié)點較遠，則插值效果可能不理想，通常稱由插值節(jié)點所界定的范圍為插值區(qū)間；若插值點位于此插值區(qū)間內(nèi)，則稱此插值過程為內(nèi)插，否則稱之為外推。另外，從余項中可以得知，余項公式含有高階導數(shù)，這就要求被插函數(shù)有較高的光滑性，因此，如果被插函數(shù)不具有較好的光滑性，則拉格朗日插值的效果不一定理想。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的實際誤差0.01001利用sin500.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實際誤差0.00596例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50

并估計誤差。內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的x

所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值由插值余項定理可以得到如下推論：推論：若是不超過次的多項式，則它的關(guān)于個互異節(jié)點的不超過次的插值多項式與被插值函數(shù)恒等，即有2.3均差與牛頓插值公式2.3.1均差及其性質(zhì)在構(gòu)造拉格朗日插值多項式時，我們發(fā)現(xiàn)與之間并沒有構(gòu)造上的聯(lián)系，每個多項式都要單獨構(gòu)造，一旦插值節(jié)點增或減時，全部插值基函數(shù)均要隨之變換，n次與n-1次之間沒有任何繼承性。n=2時，基函數(shù)：n=3時，基函數(shù)：n=1時，基函數(shù)：為此我們采用一種新的方法來構(gòu)造插值多項式，使不同的插值多項式之間有一定的遞推關(guān)系：令：遞推關(guān)系：其中為待定系數(shù)，可由插值條件確定。定義2稱為函數(shù)關(guān)于點的一階均差，稱為函數(shù)的二階均差.一般地，稱為的階均差（均差也成為差商）。關(guān)鍵：找不同的元素相減作分母均差有如下的基本性質(zhì)：

階均差可表示為函數(shù)值的線性組合，即有當時當時此性質(zhì)同時也表明均差與節(jié)點的排列次序無關(guān)，稱為均差的對稱性，即如：2.由均差的對稱性與階均差的定義得：3.若在上存在n階導數(shù)，且節(jié)點則n階均差與導數(shù)的關(guān)系如下：例題：已知求和均差計算表：2.3.2牛頓插值公式由均差的定義，把看成上一點，可得其中把后一個式子代入前一式，我們就得到：插值余項很顯然，滿足我們的插值條件的，且次數(shù)不超過n次的多項式，形如.其系數(shù)為稱為牛頓(Newton)均差插值多項式。

和之間有繼承性。由插值問題的唯一性，牛頓插值多項式其實就是拉格朗日插值多項式。012419233例：已知求：根據(jù)上述條件，求3次牛頓型插值多項式2.4差分與等距節(jié)點插值2.4.1差分及其性質(zhì)設函數(shù)在等距節(jié)點上的值為已知，這里為常數(shù)，稱為步長。定義3記號分別稱為在處以為步長的向前差分，向后差分及中心差分。分別稱為向前差分算子、向后差分算子及中心差分算子由一階差分定義二階差分：m階差分為：二階中心差分：其中一階差分二階差分三階差分四階差分向前差分計算表：一階差分二階差分三階差分四階差分向后差分計算表：差分的基本性質(zhì)：1.各階差分均可用函數(shù)值表示2.可用各階差分表示函數(shù)值3.均差與差分的關(guān)系4.差分與導數(shù)的關(guān)系均差與導數(shù)：向前差分：向后差分：2.4.2等距節(jié)點插值公式將牛頓均差插值多項式中各階均差用相應差分代替，就可得到各種形式的等距節(jié)點插值公式。這里給大家介紹常用的前插和后插公式。牛頓均差插值多項式：考慮等距節(jié)點要計算附近的點的函數(shù)值，可令，于是結(jié)合均差與向前差分的關(guān)系式，得到牛頓前插公式：插值余項：如果要求表示附近的函數(shù)值，此時應用牛頓插值公式時，插值點應按照的次序排列，有做變換，并結(jié)合均差與向后差分的關(guān)系，得到牛頓后插公式：其插值余項：通常情況下，求開頭部分插值點附近函數(shù)值時使用牛頓前插公式，求插值節(jié)點末尾附近函數(shù)值時使用牛頓后插公式。用相同節(jié)點進行插值，則向前向后兩種插值公式只是形式上的區(qū)別，計算結(jié)果是相同的。鑒賞Newton插值多項式要計算各階差商值。差商表易于用程序生成。牛頓插值的誤差不要求函數(shù)的高階導數(shù)存在,所以更具有一般性。它對f(x)是由離散點給出的函數(shù)情形或f(x)的導數(shù)不存在的情形均適用。1.Newton插值具有承襲性質(zhì)，即牛頓插值多項式：牛頓基底：K階均差：一階均差二階均差三階均差四階均差均差計算表：一階差分二階差分三階差分四階差分向前差分計算表：一階差分二階差分三階差分四階差分向后差分計算表：2.5埃爾米特插值問題的提出：在上述討論的拉格朗日插值和牛頓插值多項式中，只要求插值函數(shù)在插值節(jié)點上滿足插值條件，即和.在這里不僅要求插值多項式在插值點上滿足插值條件外，還要求其導數(shù)也能在插值節(jié)點與被插函數(shù)的導數(shù)值相等，即要尋求滿足下列插值條件：且次數(shù)不超過2n+1的插值多項式,這就是所謂的埃爾米特插值問題。問題(1)：考慮通過三個插值節(jié)點的三次埃爾米特插值，其滿足插值條件如下：問題（2）：考慮通過兩個插值節(jié)點和的三次埃爾米特插值，其滿足插值條件如下：類似于構(gòu)造拉格朗日插值多項式，同樣采用基函數(shù)法來構(gòu)造，形如其中為基函數(shù)，滿足下列條件：由于基函數(shù)均為次數(shù)不超過3的多項式，根據(jù)上述插值條件，可算得：線性插值基函數(shù):把上述各項代入，就得到三次埃爾米特的表達式：插值余項：這里例題：已知函數(shù)，求解：2.6分段低次插值上面我們所介紹的拉格朗日插值與牛頓插值、Hermit插值是根據(jù)區(qū)間上給出的節(jié)點做插值多項式近似，且插值多項式的次數(shù)隨著插值節(jié)點的增多而升高。一般我們會認為插值多項式的次數(shù)越高，則逼近得精度越高，但實際上并非如此。例如書中所討論的龍格現(xiàn)象，所謂龍格現(xiàn)像就是在大范圍內(nèi)使用高次插值從而引起在端點附近的劇烈振蕩。n

越大，端點附近抖動越大，稱為Runge現(xiàn)象Ln(x)f(x)

為了避免這樣的現(xiàn)象產(chǎn)生，從拉格朗日余項定理可以知道，誤差還依賴于插值區(qū)間的大小，為此，我們把插值區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用低次插值，這就是所謂的分段插值。設所考察的區(qū)間，將它作一分劃：然后在每一個子區(qū)間上構(gòu)造插值多項式。將每個子區(qū)間上的插值多項式拼接在一起作為整個區(qū)間的插值函數(shù)，這樣構(gòu)造出來的插值函數(shù)就是一個分段多項式。分段多項式不是由一個穿過大量點的插值式來對函數(shù)逼近而是采用一個低階插值多項式的集合來進行插值，每一個插值式都定義在整個域的子區(qū)間上。0123450.511.50123450.511.5分段拋物插值分段線性插值0123450.511.5分段三階插值2.6.1分段線性插值

所謂分段線性插值就是通過插值點用折線段連接起來逼近，也就是說在每對連續(xù)的節(jié)點間使用線性函數(shù)進行插值。設已知節(jié)點上的函數(shù)值,記,求一折線函數(shù)滿足：記,,

在每個子區(qū)間上是線性函數(shù)。則稱為分段線性函數(shù)。

用分段線性插值逼近上述例子的效果，取n=10。優(yōu)點:分段低次插值很好的逼近f(x).缺點:僅在節(jié)點處連續(xù),光滑性的要求無法達到。取了9個節(jié)點取了100個節(jié)點由定義可知在每個子區(qū)間可表示：那么在整個區(qū)間上，可寫為：這里分段線性插值的誤差估計依據(jù)前面給出的線性插值的插值余項：分段線性插值的插值余項：或記可見，當時，即故在上一致收斂到.例：已知函數(shù)在區(qū)間上取等距插值節(jié)點，求區(qū)間上的分段線性函數(shù)，并利用它求

.01234510.50.20.10.058820.038462.6.2分段三次埃爾米特插值設已知節(jié)點上的函數(shù)值,記,求一分段函數(shù)滿足：記,

在每個子區(qū)間上是三次多項式。則稱為分段三次埃爾米特插值。由定義可知在每個子區(qū)間上的表達式：這里,那么在整個區(qū)間上，可寫為：其中分段三次埃爾米特多項式插值余項：這里或可見，當時，即故在上一致收斂到.可以通過加密節(jié)點，縮小插值區(qū)間，減小，從而減小插值誤差。2.7三次樣條插值高次插值函數(shù)的計算量大,有劇烈振蕩,且數(shù)值穩(wěn)定性差；在分段插值中，分段線性插值在分段點上僅連續(xù)而不可導，分段三次埃爾米特插值有連續(xù)的一階導數(shù)，如此光滑程度常不能滿足物理問題的需要，樣條函數(shù)可以同時解決這兩個問題,使插值函數(shù)既是低階分段函數(shù),又是光滑的函數(shù)，并且只需在區(qū)間端點提供某些導數(shù)信息?！皹訔l”名詞來源于工程中船體和汽車等的外形設計：給出外形曲線上的一組離散點(樣點),將有彈性的細長木條或鋼條(樣條)在樣點上固定,使其在其它地方自由彎曲,這樣樣條所表示的曲線,稱為樣條曲線(函數(shù)).在數(shù)學上，它表現(xiàn)為近似于一條分段的三次多項式，它要求在節(jié)點處具有一階和二階連續(xù)導數(shù)。2.7.1三次樣條函數(shù)定義4：設在區(qū)間取n+1個節(jié)點函數(shù)在各個節(jié)點上的函數(shù)值