斷裂力學(xué)復(fù)習(xí)要點與習(xí)題解析

第一章：主要概念：●應(yīng)力是怎樣定義的？●一點的應(yīng)力和應(yīng)變是什么量？●什么樣的物體，受怎樣的載荷可以用平面應(yīng)力進行分析？●什么樣的物體，受怎樣的載荷可以用平面應(yīng)變進行分析？●什么叫主應(yīng)力和主平面？●虎克定律描述的是什么關(guān)系？●什么是應(yīng)力函數(shù)？應(yīng)力函數(shù)又叫Airy函數(shù)，它是通過構(gòu)造一種應(yīng)力分量表達函數(shù)，用應(yīng)力求解平面問題，使其能夠同時滿足平衡方程、相容方程，進而用應(yīng)力函數(shù)求解受力物體內(nèi)部一點的應(yīng)力應(yīng)變場。第一頁，共52頁。第二章：主要概念：

●為什么材料的實際強度比理論強度低很多？（缺陷。類裂紋產(chǎn)生嚴(yán)重應(yīng)力集中）●材料的理論強度與實際強度差多少？（1/4—1/50)●Griffith理論適用于什么材料？舉例說明?！駭嗔蚜W(xué)中把裂紋分成那幾種類型？它們的特點是什么？●線彈性斷裂力學(xué)裂紋尖端有多大的奇異性？●裂紋尖端應(yīng)力強度因子表征什么？（裂紋尖端應(yīng)力場的強度，它是裂尖奇異性的量度）

●什么是材料的斷裂韌度（含裂紋材料失穩(wěn)破壞時抵抗斷裂吸收能量的能力，K1c是材料常數(shù)）●什么叫應(yīng)力強度因子斷裂判據(jù)？它與材料的最大拉應(yīng)力強度判據(jù)有什么不同？●K1c與Kc有什么區(qū)別？●K1c

與K1有什么區(qū)別？各與什么因素有關(guān)？與什么因素?zé)o關(guān)？●所有的應(yīng)力強度因子K都可以表示成什么形式？●平面應(yīng)力情況下Kc與厚度有什么關(guān)系●什么是能量（應(yīng)變能）釋放率G？能量釋放率G與應(yīng)力強度因子K有什么關(guān)系？●S準(zhǔn)則是怎樣描述的？SC與K1c，K2c，K3c

有什么關(guān)系？第二頁，共52頁。

S是裂尖附近總應(yīng)變能密度大小的量度，它綜合反映復(fù)合加載裂尖應(yīng)力應(yīng)變場強弱程度的單一參數(shù)。

S準(zhǔn)則假設(shè)為：

1、裂紋沿S最小的方向擴展，即由確定開裂方向：

2、當(dāng)達到臨界值Sc時，裂紋失穩(wěn)擴展。第三頁，共52頁。第三章：

主要概念：●Griffith理論和K理論是否可用于小范圍屈服的情況下？●Irwin提出的等效裂紋長度與θ＝0方向原裂尖塑性區(qū)的長度有什么關(guān)系？●Dugdale裂紋的塑性區(qū)尺寸比Irwin裂紋塑性區(qū)尺寸大還是小？●Dugdale裂紋考慮的是平面應(yīng)力還是平面應(yīng)變？●考慮Dugdale裂紋模型得到的CTOD表達式是什么？●CTOD法有什么優(yōu)、缺點？●J積分有什么優(yōu)、缺點？●什么是K判據(jù)、CTOD判據(jù)和J判據(jù)？●在小范圍屈服的情況下，CTOD、J積分與K1有什么關(guān)系？

●在彈塑性情況下J積分與CTOD有什么關(guān)系？第四頁，共52頁。在平面應(yīng)力下，

CTOD

作為開裂的判據(jù)。

D－M法

CTOD＝；Irwin法

CTOD＝。第五頁，共52頁。第四章：主要概念：●什么是疲勞裂紋擴展速率？（一次應(yīng)力循環(huán)的裂紋擴展量—da/dN)●什么叫亞臨界裂紋擴展？

●恒幅疲勞裂紋擴展速率主要與那些因素有關(guān)？●平均應(yīng)力與應(yīng)力比有什么關(guān)系？()●什么是應(yīng)力強度因子范圍？它的一般表達式可以怎樣表示？●裂紋擴展速率與應(yīng)力強度因子范圍在雙對數(shù)坐標(biāo)下可以分成三階段，

Paris公式適用于哪一段？為什么？●損傷容限設(shè)計思想是什么？第六頁，共52頁。

損傷容限設(shè)計

損傷容限設(shè)計是針對有損傷的結(jié)構(gòu)或材料新發(fā)展的一種設(shè)計方法。它是用斷裂力學(xué)原理，根據(jù)材料的裂紋擴展速率da/dN與應(yīng)力強度因子范圍△K的關(guān)系曲線，對含有損傷(即有初始裂紋或缺陷）的構(gòu)件或材料，設(shè)計構(gòu)件的使用壽命或估算其剩余壽命，確定臨界裂紋尺寸或初始裂紋大小。它容許材料有一定損傷，但把裂紋或缺陷控制在允許的尺寸限度之內(nèi)，使其構(gòu)件在使用壽命期間不會發(fā)生失穩(wěn)破壞。這是目前的一種先進的疲勞設(shè)計方法。第七頁，共52頁。一、關(guān)于Griffith理論的計算1、已知裂紋長度計算臨界應(yīng)力

2、已知臨界應(yīng)力計算裂紋長度

3、修正的Griffith理論第八頁，共52頁。例題1舉例：已知一大玻璃板有一中心裂紋2a,其受張力＝40MPa作用，玻璃的彈性模量E＝69GPa;比表面能＝0.3J/m2;用Griffith理論計算臨界裂紋長度。解：由Griffith公式：第九頁，共52頁。例題2

一馬氏體時效鋼薄板的拉伸強度為1950MPa，由于存在一個與加載方向垂直的4mm長的中心穿透裂紋，鋼板的彈性模量Ｅ為200GPa,斷裂比表面能為2J/m2,

每一裂紋尖端的塑性變形功為2x104J/m2.計算斷裂強度降低的百分?jǐn)?shù)。

解：第十頁，共52頁。

一圓柱壓力容器，直徑D=6m，壁厚t=30mm，當(dāng)內(nèi)壓P達到18MPa，發(fā)生災(zāi)難性事故。該壓力容器鋼E=210GPa，屈服強度2400MPa，應(yīng)變能釋放率Gc=130KJ/m2

求:（a）若按vonmises屈服準(zhǔn)則設(shè)計是否會破壞？

(b)若根據(jù)Griffith理論，陳述可能有多大的裂紋引起這次破壞？

解:(a)判斷按vonmises屈服準(zhǔn)則是否破壞，需要先求壓力容器的主應(yīng)力：由于壓力容器很薄:計算主應(yīng)力可按平面應(yīng)力計算：

由vonmises屈服準(zhǔn)則：現(xiàn)左邊：材料遠沒有屈服。無裂紋存在不會破壞。例題3第十一頁，共52頁。(b)按照Griffith理論，可能引起破壞的裂紋長度af為：這說明該壓力容器中可能存在5.4mm以上的裂紋。

例題3續(xù)思考題：該題在計算容器的主應(yīng)力時，忽略了厚度t的影響。如果考慮壁厚t，D為外徑，結(jié)果會產(chǎn)生多大誤差？af≥5.4mm第十二頁，共52頁。

二、有關(guān)線彈性斷裂理論的計算1裂紋尖端應(yīng)力場位移場第十三頁，共52頁。2、臨界應(yīng)力或裂紋長度

利用公式

Y一般取為常數(shù)，則K1，，a三個變量中，已知兩個，可求第三個；K1的臨界值是由，a的值決定的。第十四頁，共52頁。3、求應(yīng)力強度因子

（1）、極限法

（2）、疊加法不同載荷P,MB,MK,的疊加連續(xù)載荷由分離載荷的疊加

（3）、權(quán)函數(shù)法

（4）、近似法（組合法，有限元法）

（5）、查表法

（常用的）例：第十五頁，共52頁。（3）復(fù)合型斷裂準(zhǔn)則——S準(zhǔn)則3、斷裂準(zhǔn)則（1）簡單裂紋斷裂準(zhǔn)則：KKCK1K1C（K2K2C；K3K3C）GGCG1G1C（2）G與K的關(guān)系（4）S準(zhǔn)則與K準(zhǔn)則的關(guān)系Smin=Sc第十六頁，共52頁。例題1第十七頁，共52頁。例題2

一塊大的馬氏體時效鋼板含有一個長40mm的中心裂紋，其斷裂應(yīng)力為480Mpa，如果在同樣的鋼板中，裂紋長度為100mm，試計算其斷裂應(yīng)力。解：（單位用MN和m)

由Griffith理論：c＝

或K理論：

c＝對高強脆性材料都有：c＝const.a-1/2

其中：2a=40mm,因而：480＝const.(0.02)-1/2const.=480(0.02)1/2

當(dāng)2a=100mm時，c＝const.(0.05)-1/2

從而：c＝480（0.02/0.05)1/2＝304(MPa）第十八頁，共52頁。例題3

一高強鋼在380oC回火，，

在600oC回火，，假設(shè)這樣處理的無限大板存在單邊裂紋，設(shè)計工作應(yīng)力為計算上述兩種處理可以容許的臨界裂紋尺寸為多少？解：在380oC回火下：在600oC回火下：

第十九頁，共52頁。例題4

一高強鋼在380oC回火，，

在600oC回火，，假設(shè)這樣處理的無限大板存在中心裂紋1mm，設(shè)計工作應(yīng)力為計算那種處理可以滿足要求？解：在380oC回火下：

在600oC回火下：

顯然600oC回火滿足要求。第二十頁，共52頁。

例題5

醫(yī)用生物護板用Ti6Al4V材料，受拉伸載荷。該材料采取不同熱處理可得到不同屈服強度的板料，但其斷裂韌度隨屈服強度的升高急劇降低。屈服強度為900MPa時，Kc=80MPam;而屈服強度為1000MPa時,Kc=70MPam;該材料含有一4mm的缺陷。有可能加工后正好在邊緣（幾何因子取1.12)。為減少重量，醫(yī)生建議用屈服強度為1000Mpa的板材，若設(shè)計材料的拉伸應(yīng)力為屈服強度的2/3;請問此設(shè)計是否可行？若用屈服強度為900Mpa的板材如何？解：K1＝Y(jié);K1=1.12x(1000x2/3)=83.6(MPam);

由于K1>Kc；設(shè)計不可行。若改用屈服強度為900Mpa的板材，

K1＝1.12x(900x2/3)=79.1(MPam);

此時K1<Kc；設(shè)計可行。若設(shè)計護板材料受拉伸應(yīng)力皆為600MPa是否可行？第二十一頁，共52頁。

某構(gòu)件由高強度鋼板焊成，探傷發(fā)現(xiàn)在焊縫中心存在一個20mm長的中心穿透裂紋。殘余應(yīng)力測試發(fā)現(xiàn)在裂紋周圍存在殘余應(yīng)力場如圖。最大殘余應(yīng)力位于裂紋中心，其值為，假如裂紋面上的殘余應(yīng)力為直線型分布，材料的為1000MPa，K1C=100MPam,

求：1、如果該部件承受遠處拉伸載荷σ

，會在多大應(yīng)力水平下破壞？

2、加載前若消除殘余應(yīng)力，破壞應(yīng)力將提高多少？例題6：第二十二頁，共52頁。解：

1、焊接構(gòu)件除受遠處載荷外，還受殘余應(yīng)力的共同作用。在靜應(yīng)力下，裂紋構(gòu)件破壞的條件是裂紋尖端的K1＝K1c。在外力和殘余應(yīng)力共同作用條件下，可以用權(quán)函數(shù)方法求得：注意:

裂紋面上殘余應(yīng)力分布可以用兩點直線方程求得：從而，因此，第二十三頁，共52頁。564-155=409(MPa)提高了409MPa2、如果消除殘余應(yīng)力，破壞時，當(dāng)a=10mm時，第二十四頁，共52頁。

某構(gòu)件由高強度鋼板焊成，探傷發(fā)現(xiàn)在焊縫中心存在一個10mm長的中心穿透裂紋。殘余應(yīng)力測試發(fā)現(xiàn)在裂紋周圍存在殘余應(yīng)力場如圖。最大殘余應(yīng)力在裂紋中心，其值為，假如裂紋面上的殘余應(yīng)力為拋物線分布，材料的為1000MPa，K!C=100MPam,

求：

1、該部件承受遠處拉伸載荷σ

，在多大應(yīng)力水平下破壞？

2、加載前若消除殘余應(yīng)力，破壞應(yīng)力將提高多少？思考題第二十五頁，共52頁。三、由彈塑性性斷裂理論

計算開裂應(yīng)力或裂紋長度

利用公式

，，a三個變量中，已知兩個，可求第三個。第二十六頁，共52頁。利用公式

考慮鼓脹效應(yīng)鼓脹效應(yīng)系數(shù)M’有相應(yīng)的經(jīng)驗公式確定第二十七頁，共52頁。例題1

某合金焊縫金屬屈服強度為1000MPa，楊氏模量為200GPa,泊松比＝0.3

，平面應(yīng)變斷裂韌度K1C為95MPa.m1/2;測得的CTOD值為40m,按小范圍屈服與K1

的關(guān)系，計算常數(shù)M，并確定這個關(guān)系。解：由；用MN和m作單位計算則

從而，第二十八頁，共52頁。例題2

某壓力容器內(nèi)徑1000mm，壁厚50mm，工作壓力20MPa，存在一個初始環(huán)向焊接裂紋20mm長，該材料的屈服強度為700MPa，斷裂韌度為c=0.05mm，彈性模量E＝2x105MPa;該容器在實驗室打壓試驗P水＝40Mpa，求臨界裂紋長度。解：對壓力容器，環(huán)向裂紋由引起，這里：R=(內(nèi)徑＋壁厚）/2,P為工作壓力，t為壁厚；打壓試驗決定了臨界應(yīng)力，因此：

=(40X525)/(2X50)=210(MPa)

利用平面應(yīng)力下的Dugdale表達式：

；，c=0.05mm，

E＝2x105MPa;代入計算得：ac=48.6(mm)

2ac=97.2(mm)

第二十九頁，共52頁。例題3一個外徑為0.5m,

壁厚2.5mmCr－Mo鋼制造的圓筒形狀的火箭發(fā)動機殼體承受的最大壓力為8Mpa，材料的屈服強度為1200Mpa，楊氏模量為200Gpa，小試樣測得材料的CTOD（c）為50m。為保證發(fā)射安全，試計算該殼體可容許的最大缺陷尺寸（可視為小范圍屈服，約束系數(shù)M=1）。解：由于是薄壁殼體，為平面應(yīng)力狀態(tài)。最危險的缺陷是縱向裂紋，其方向垂直于環(huán)向應(yīng)力。該應(yīng)力的大小為：

在平面應(yīng)力下，即：

（m）=6.0mm,2ac=12(mm)第三十頁，共52頁。上題若考慮鼓脹效應(yīng)，環(huán)向應(yīng)力還會增大，即：

當(dāng)a=6.0mm時，則

是否可用D－M模型得到的公式計算ac?思考題：再迭代一次可得臨界最大可容許尺寸為第三十一頁，共52頁。例題4第三十二頁，共52頁。

例5.直徑d=500mm，壁厚t=2.5mm的圓筒，已知E=200GPa,=0.3,c=0.05mm,

s=1200MPa。殼體的最大設(shè)計內(nèi)壓為p=8MPa,試計算其可容許的最大缺陷尺寸。

解：受內(nèi)壓薄壁殼體中的最大應(yīng)力是環(huán)向應(yīng)力，且：

=pd/2t=80.5/(22.510-3)=800MPa

最危險的缺陷是縱向裂紋，方向垂直于環(huán)向應(yīng)力。由于d>>t，可忽略筒體曲率的影響。視為無限大中心裂紋板，且為平面應(yīng)力.由：

在臨界狀態(tài)下有：

=0.0106ac

c得到：

ac

0.05/0.0106=4.71mm

故可以容許的缺陷總長度為2a=9.42mm。第三十三頁，共52頁。

1、利用Paris公式：da/dN＝A△Km?當(dāng)m≠2時,N＝[]

?當(dāng)m=2時,N＝

四、斷裂力學(xué)方法計算疲勞壽命第三十四頁，共52頁。2、Forman公式：積分上式，有：

當(dāng)m≠2，3時，△K的定義如前。第三十五頁，共52頁。

當(dāng)m=2時,

當(dāng)m=3時,

第三十六頁，共52頁。例題1

一個很大的鋼板，內(nèi)有一個從中心孔起始的1cm長的裂紋，該板承受拉伸循環(huán)加載，應(yīng)力幅從6MPa到60MPa,裂紋擴展曲線可用Paris公式描述，指數(shù)m=3，當(dāng)da/dN為10－9m/cycle時，△K為2.8MPa；若裂紋形狀因子Ｙ＝１.02,載荷頻率為10Hz，求需多少循環(huán)裂紋可以擴展到2cm?

解：首先確定Paris公式系數(shù)A，由da/dN＝A△Km，

A＝（da/dN）/(△Km)＝10－9/2.83＝4.55×10-11;

又由a0＝0.005,af＝0.01,△σ＝(60-6)MPa;代入公式：

第三十七頁，共52頁。

例題2第三十八頁，共52頁。第三十九頁，共52頁。

一個構(gòu)件，無損探傷得知存在一個3mm長的初始裂紋，在服役工況下，由于疲勞，在裂紋擴展到8mm時快速脆斷?，F(xiàn)考慮兩種辦法改進構(gòu)件的疲勞壽命：

1、通過熱處理提高材料的韌性，使構(gòu)件最后的裂紋擴展長度能達到10mm2、使用較好的無損探測方法，保證構(gòu)件的初始裂紋在1mm以下。請問，那一種方法效果較好？計算上述兩種情況構(gòu)件疲勞壽命增加的百分?jǐn)?shù)。（不考慮平均應(yīng)力，構(gòu)件材料的paris指數(shù)m=3)例題3第四十頁，共52頁。解：當(dāng)m=3有：當(dāng)a0=3mm,af=8mm，則有：（1）a0=3mm,af=10mm，則有：

此時疲勞壽命增加17%（2）a0=1mm,af=8mm，則有：

此時疲勞壽命增加189%第四十一頁，共52頁。

Afatiguecrack1.5mmlonghasbeendiscoveredinamainwingsparofaCC-130Herculesmadeof7075alloy.GiventhecrackgeometryfactorY、KcandparametersofAandmforParisformula,estimatethenumberofflyinghours(100cycles/1hr.)tofracture.7075-T73511alloyKc=40MPamA=1.3x10-10m/cycle;m=3;Y=1.27(assumeconstant)Measuredmaximumstressis75MPa;Measuredminimumstressis10Mpa;

例題4解：由a0=0.0015m，=75-10=65(Mpa)第四十二頁，共52頁。

Form=3,constantY:例4續(xù)：第四十三頁，共52頁。例題5

一長鋼板，厚30mm，寬300mm，探傷測得存在一初始單邊缺口裂紋a=10mm。板在遠處承受1.8MN2.7MN的交變虛循環(huán)載荷，該板裂尖的壽命要求達到106循環(huán)，問著塊板能達到要求嗎？（設(shè)計要求考慮平均應(yīng)力，此板Kc＝80MPam，PARIS系數(shù)A＝4x10-12，m=3;Y取1.12)

解：試樣的橫截面積為F＝0.03x0.3(m2)=0.009(m2)；最大循環(huán)應(yīng)力：max=2.7/0.009=300(MPa)

最小