2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全

2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全隱圓求最值幾何最值問題大全隱圓求最值幾何最值問題大全（將軍飲馬、造橋選址、胡不歸、阿波羅尼斯圓等）例1在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2.設(shè)tan/BOC=m，則m的取值范圍是例2如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF.連接CF交BD于G,連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是.例3、如圖，4ABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,O為AC的中點(diǎn)，過O作OE^OF,OE、OF分別交射線AB、BC于E、F,則EF的最小值為.2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全練習(xí)1、如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AB=6,點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），且DA=DE,則AD的取值范圍是 .2、如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正^ABC,兩頂點(diǎn)A、B分別在直角NMON的兩邊上滑動(dòng)，點(diǎn)C在NMON內(nèi)部，則OC的長(zhǎng)的最大值為.3、如圖，ZxOy=45°,一把直角三角尺4ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在Ox、Oy上移動(dòng)，其中AB=10,那么點(diǎn)O到頂點(diǎn)A的距離最大值為 ，點(diǎn)O到AB的距離的最大值為.補(bǔ)充練習(xí)1、如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=2,M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是

2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全2、如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=6,BC=8,D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD的垂線交直線BC于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值是 .3、如圖，NMON=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變到點(diǎn)O的最大距離為（ ）其中AB=2,A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變到點(diǎn)O的最大距離為（ ）其中AB=2,BC=1,運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)DA、B、C、\詬5D、74、若在半徑為1的圓O上任取兩點(diǎn)A、B,再以AB為邊向圓外作正方形，則OC的最大值和最小值分別為、.5、如圖，兩同心圓半徑分別為＜3、3,點(diǎn)A、B分別為兩同心圓上的動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作正方形ABCD,則OD的最大值為.

2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全6、如圖4ABC中，AB=3,AC=2,以BC為邊的ABCP是等邊三角形，則AP的最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.67、如圖所示，已知P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA=3,PB=4,則PC的最大值是8、過邊長(zhǎng)為1的正方形的中心O引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A,B兩點(diǎn)，則線段AB長(zhǎng)的取值范圍是.9、如圖，半徑為1的圓0上有一定點(diǎn)M為圓O上的動(dòng)點(diǎn).在射線OM上有一動(dòng)點(diǎn)B,AB=1,0B>1.線段AB交圓O于另一點(diǎn)C,D為線段的OB中點(diǎn).則線段CD長(zhǎng)度的取值范圍.2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全A中考?jí)狠S題突破：幾何最值問題大全（將A中考?jí)狠S題突破：幾何最值問題大全（將軍飲馬、造橋選址、胡不歸、阿波羅尼斯圓等）一、基本圖形所有問題的老祖宗只有兩個(gè)：①［定點(diǎn)到定點(diǎn)］:兩點(diǎn)之間，線段最短；②［定點(diǎn)到定線］:點(diǎn)線之間，垂線段最短。由此派生：③［定點(diǎn)到定點(diǎn)］:三角形兩邊之和大于第三邊；④［定線到定線］：平行線之間，垂線段最短；⑤［定點(diǎn)到定圓］:點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長(zhǎng)）：⑥［定線到定圓］:線圓之間，心垂線截距最短；⑦［定圓到定圓］:圓圓之間，連心線截距最短（長(zhǎng)）。余不贅述，下面僅舉一例證明：［定點(diǎn)到定圓］:點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長(zhǎng)）。已知。O半徑為r,AO=d,P是。O上一點(diǎn)，求AP的最大值和最小值。2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全證明：由“兩點(diǎn)之間，線段最短”得APWAO+PO,AOWAP+PO,得d-rWAPWd+r,AP最小時(shí)點(diǎn)P在B處，最大時(shí)點(diǎn)P在C處。即過圓心和定點(diǎn)的直線截得的線段AB、AC分別最小、最大值。（可用“三角形兩邊之和大于第三邊”，其實(shí)質(zhì)也是由“兩點(diǎn)之間，線段最短”推得）。上面幾種是解決相關(guān)問題的基本圖形，所有的幾何最值問題都是轉(zhuǎn)化成上述基本圖形解決的。二、考試中出現(xiàn)的問題都是在基本圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，如圓與線這些圖形不是直接給出，而是以符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)的形式確定的；再如過定點(diǎn)的直線與動(dòng)點(diǎn)所在路徑不相交而需要進(jìn)行變換的。類型分三種情況：（1）直接包含基本圖形；（2）動(dòng)點(diǎn)路徑待確定；（3）動(dòng)線（定點(diǎn)）位置需變換。（一）直接包含基本圖形例1.在。O中，圓的半徑為6,ZB=30°,AC是。O的切線，貝DCD的最小值是。簡(jiǎn)析：由NB=30°知弧AD一定，所以D是定點(diǎn)，C是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，即為求定點(diǎn)D到定線AC的最短路徑，求得當(dāng)CD±AC時(shí)最短為3。（二）動(dòng)點(diǎn)路徑待確定例2.，如圖，在△ABC中，NACB=90。，AB=5,BC=3,P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將4BCP沿CP所在的直線翻折，得到^B,CP,連接B,A,則B‘A長(zhǎng)度的最小值是。2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全簡(jiǎn)析：A是定點(diǎn)，B'是動(dòng)點(diǎn)，但題中未明確告知B'點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，所以需先確定B'點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形，一般有直線與圓兩類。此題中B'的路徑是以C為圓心，BC為半徑的圓弧，從而轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到定圓的最短路徑為AC-B'C=1。例3.在4ABC中，AB=AC=5,cosNABC=3/5，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A'B'C，點(diǎn)E是BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，在△A'B'C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F'，求線段EF,長(zhǎng)度的最大值與最小值的差。簡(jiǎn)析：E是定點(diǎn)，F(xiàn)'是動(dòng)點(diǎn)，要確定F'點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑。先確定線段A'B'的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)，外圓半徑為BC，內(nèi)圓半徑為AB邊上的高，F(xiàn)'是A'B'上任意一點(diǎn)，因此F'的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)內(nèi)的任意一點(diǎn)，由此轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E到圓環(huán)的最短和最長(zhǎng)路徑。2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全E到圓環(huán)的最短距離為EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8,E到圓環(huán)的最長(zhǎng)距離為EF1=EC+CF1=3+6=9，其差為7.2。（三）動(dòng)線（定點(diǎn)）位置需變換線段變換的方法：（1）等值變換：翻折、平移；（2）比例變換：三角、相似。【翻折變換類】典型問題：“將軍飲馬”例4.如圖，NA0B=30°,點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，OP平分NAOB,且0P=6,當(dāng)4PMN的周長(zhǎng)最小值為。簡(jiǎn)析：動(dòng)線段（或定點(diǎn)）應(yīng)居于動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，本題的三條動(dòng)線段 PM、MN、PN在OA、OB的內(nèi)側(cè)。所以本題的關(guān)鍵是把定線段變換到動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，從而把三條動(dòng)線段PM、MN、PN轉(zhuǎn)化為連接兩點(diǎn)之間的路徑。如圖，把點(diǎn)P分別沿OA、OB翻折得P「P2，APMN的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為P1M+MN+P2N,這三條線段的和正是連接兩個(gè)定點(diǎn)P「P2之間的路徑，從而轉(zhuǎn)化為求P「P2兩點(diǎn)之間最短路徑，得△PMN的周長(zhǎng)最小值為線段P1P2=OP=6。例5.如圖，在銳角4ABC中，AB=4，NBAC=45°，NBAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全簡(jiǎn)析：本題的問題也在于動(dòng)線段BM、MN居于動(dòng)點(diǎn)軌跡AD的同側(cè)，同樣把點(diǎn)N沿AD翻折至AC上，BM+MN=BM+MN'，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的最短路徑，即BN'LAC時(shí)，最小值為2gTOC\o"1-5"\h\z【平移變換類】典型問題：“造橋選址” 」例6.如圖，m、n是小河兩岸，河寬20米，A、B是河旁兩個(gè)村莊，要在河上造一座橋，要使A、B.1之間的路徑最短應(yīng)該如何選址（橋須與河岸垂直）？ ：’簡(jiǎn)析：橋長(zhǎng)為定值，可以想像把河岸m向下平移與n .重合，同時(shí)把點(diǎn)A向下平移河寬，此時(shí)轉(zhuǎn)化成n上 ‘的一點(diǎn)到A、B的路徑之和最短，即轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)A'到定點(diǎn)B的最短路徑。如下圖：思路是把動(dòng)線AM平移至A'M，A'N+BN即轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)A'與定點(diǎn)B之間的最路徑。本題的關(guān)鍵是定長(zhǎng)線段MN把動(dòng)線段分隔，此時(shí)須通過平移把動(dòng)線段A'N、BN變?yōu)檫B續(xù)路徑，也可以把點(diǎn)B向上平移20米與點(diǎn)A連接。例7.如圖，CD是直線y=x上的一條定長(zhǎng)的動(dòng)線段，且CD=2,點(diǎn)A（4,0），連接AC、AD，設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，求m為何值時(shí)，AACD的周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最小值。解析：兩條動(dòng)線段AC、AD居于動(dòng)點(diǎn)所在直線的兩側(cè)，不符合基本圖形中定形（點(diǎn)線圓）應(yīng)在動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)。首先把 AC沿直線CD翻折至另一側(cè)，

2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全如下圖:TP 現(xiàn)在把周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為A'C+CD+AD，還需解決一個(gè)問題：動(dòng)線段A'C與AD之間被定長(zhǎng)線段CD阻斷，動(dòng)線段必須轉(zhuǎn)化成連續(xù)的路徑。同上題的道理，把A'C沿CD方向平移CD的長(zhǎng)度即可，如下圖?，F(xiàn)在已經(jīng)轉(zhuǎn)化為A''D+AD的最短路徑問題，屬定點(diǎn)到定點(diǎn)，當(dāng) A''D與AD共線時(shí)A''D+AD最短，即為線段AA''的長(zhǎng)?！救亲儞Q類】典型問題：“胡不歸”例8.如圖，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距離AH=2V3,AB=2V19,在公路BC上行進(jìn)的速度是在沙漠里行駛速度的2倍。某人在B地工作,A地家中父親病危，他急著沿直線BA趕路，誰知最終沒能見到父親最后一面，其父離世之時(shí)思念兒子，連連問：“胡不歸，胡不歸……！”（怎么2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全還不回來），這真是一個(gè)悲傷的故事，也是因?yàn)椴欢當(dāng)?shù)學(xué)而導(dǎo)致的。那么,從B至A怎樣行進(jìn)才能最快到達(dá)?簡(jiǎn)析：BP段行駛速度是AP段的2倍，要求時(shí)間最短即求BP/2+AP最小，從而考慮BP/2如何轉(zhuǎn)化，可以構(gòu)造含30°角利用三角函數(shù)關(guān)系把BP/2轉(zhuǎn)化為另一條線段。如下圖，作NCBD=30°,PQLBD,得PQ=1/2BP,由“垂線段最短”知當(dāng)A、P、Q共線時(shí)AP+PQ=AQ'最小?！鞠嗨谱儞Q類】典型問題：“阿氏圓”“阿氏圓”：知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足PA/PB=k且不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓，如下圖所示，其中PO：BO=AO：PO=PA：PB=koPA2,34厘米施=配23厘米='55

2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全例9,已知人（-4,-4）、B（0,4）、C（0,例）、D（0,-1）,AB與x軸交于點(diǎn)E,以點(diǎn)E為圓心，ED長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為。E上一動(dòng)點(diǎn)，求1/2AM+CM的最小值。簡(jiǎn)析：本題的主要問題在于如何轉(zhuǎn)化1/2AM,注意到由條件知在M的運(yùn)動(dòng)過程中，EM：AE=1：2保持不變，從而想到構(gòu)造相似三角形，使之與^AEM的相似比為1：2,這樣便可實(shí)現(xiàn)1/2AM的轉(zhuǎn)化，如下圖取EN：EM=1：2,即可得△EMNsaEAM,再得MN=1/2AM,顯然，MN+CM的最小值就是定點(diǎn)N、C之間的最短路徑。之后便是常規(guī)方法先求N點(diǎn)坐標(biāo)，再求CN的長(zhǎng)。2020中考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)利用隱圓求最大或最小值最值大全【解法大一統(tǒng)】萬法歸宗：路徑成最短，折線到直線。（所求路徑在一般情況下是若干折線的組合，這些折線在同一直線上時(shí)即為最短路徑）基本圖形：動(dòng)點(diǎn)有軌跡，動(dòng)線居兩邊。（動(dòng)點(diǎn)軌跡可以是線或圓，動(dòng)線指動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)或定線、定圓的連線，動(dòng)線與折線同指）核心方法：