2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題07 數(shù)列專題（數(shù)學(xué)文化）（解析版）

2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題07數(shù)列專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為（一丈＝十尺＝一百寸）（

）．A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸2．（2022秋·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫，現(xiàn)為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.某洞窟的浮雕共層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從下往上計算，從第二層開始，每層浮雕像的個數(shù)依次是下層個數(shù)的倍，且第三層與第二層浮雕像個數(shù)的差是，則該洞窟的浮雕像的總個數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·廣東廣州·高二華南師大附中?？茧A段練習(xí)）《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（

）A．5 B．10 C．15 D．304．（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）位于叢臺公園內(nèi)的武靈叢臺已經(jīng)成為邯鄲這座三千年古城的地標(biāo)建筑，叢臺上層建有據(jù)勝亭，其頂部結(jié)構(gòu)的一個側(cè)面中，自上而下第一層有塊筒瓦，以下每一層均比上一層多塊筒瓦，如果側(cè)面共有層筒瓦且頂部個側(cè)面結(jié)構(gòu)完全相同，頂部結(jié)構(gòu)共有多少塊筒瓦？（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，洛書是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)的圖案，2014年正式入選國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中的九宮格，將自然數(shù)1，2，3，…，放置在n行n列的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對角線上的數(shù)字之和（簡稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“n階幻方”．洛書就是一個3階幻方，其“幻和”為15．則7階幻方的“幻和”為（

）圖1圖2A．91 B．169 C．175 D．1806．（2022·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的：已知

是該數(shù)列的第100項，則m=（

）A．98 B．99C．100 D．1017．（2022春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第50層球的個數(shù)為（

）A．1255 B．1265C．1275 D．12858．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）1883年，德國數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區(qū)間和；第二步，將剩下的兩個閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：，，，；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷步構(gòu)造后，不屬于剩下的閉區(qū)間，則的最小值是（

）．A．7 B．8 C．9 D．109．（2022春·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法．這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下頭一個2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個數(shù)3不動，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素數(shù)．在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到30的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（

）A．333 B．335 C．337 D．34110．（2022·全國·高三專題練習(xí)）談祥柏先生是我國著名的數(shù)學(xué)科普作家，在他的《好玩的數(shù)學(xué)》一書中，有一篇文章《五分鐘挑出埃及分?jǐn)?shù)》，文章告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為的分?jǐn)?shù)（稱為埃及分?jǐn)?shù)）．則下列埃及分?jǐn)?shù)、、、、的和是（

）A． B． C． D．11．（2022春·四川資陽·高一統(tǒng)考期末）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，書中有這樣一個問題：九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．意為：996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費(fèi)，從第二個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止．分配時一定要長幼分明，使孝順子女的美德外傳．據(jù)此，前五個孩子共分得的棉花斤數(shù)為（

）A．362 B．430 C．495 D．64512．（2022秋·江蘇淮安·高三校考階段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年13．（2022秋·江蘇宿遷·高三沭陽縣建陵高級中學(xué)校考期中）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所以論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前6項分別為1，5，11，21，37，61，……則該數(shù)列的第8項為（

）A．99 B．131 C．139 D．14114．（2023春·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責(zé)之粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊．”羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說：“我豬所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個問題中，馬主人比豬主人多賠償了（

）斗．A． B． C．3 D．15．（2021秋·河南商丘·高二校聯(lián)考期中）《莉拉沃蒂》是古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅的數(shù)學(xué)名著，書中有下面的表述：某王為奪得敵人的大象，第一天行軍由旬（由旬為古印度長度單位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行軍由旬到達(dá)地方城市.下列說法正確的是（

）A．前四天共行由旬B．最后三天共行由旬C．從第二天起，每天比前一天多行的路程為由旬D．第三天行了由旬16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“垛積術(shù)”是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等．某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“茭草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是n件．已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的．若這堆貨物總價是萬元，則n的值為（

）A．9 B．10 C．11 D．1217．（2021秋·吉林松原·高二長嶺縣第三中學(xué)校考階段練習(xí)）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2，反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，則當(dāng)時，則使需要的雹程步數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．1018．（2022·全國·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足，，.若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長為1，記前n項所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則其中不正確結(jié)論的是（

）A． B．C． D．19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖是美麗的“勾股樹”，將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復(fù)圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，若不等式恒成立，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．1020．（2022·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考三模）北宋數(shù)學(xué)家賈憲創(chuàng)制的數(shù)字圖式（如圖）又稱“賈憲三角”，后被南宋數(shù)學(xué)家楊輝引用、n維空間中的幾何元素與之有巧妙聯(lián)系、例如，1維最簡幾何圖形線段它有2個0維的端點(diǎn)、1個1維的線段：2維最簡幾何圖形三角形它有3個0維的端點(diǎn)，3個1維的線段，1個2維的三角形區(qū)域；……如下表所示.從1維到6維最簡幾何圖形中，所有1維線段數(shù)的和是（

）元素維度幾何體維度0123…（線段）21（三角形）331（四面體）4641………………A．56 B．70 C．84 D．2821．（2023·全國·高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列，來源于中國古代著作《乾坤普》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前項為：、、、、、、、、、，通項公式為，若把這個數(shù)列排成下側(cè)形狀，并記表示第行中從左向右第個數(shù)，則的值為（

）A． B．C． D．22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在歸國包機(jī)上，孟晚舟寫下《月是故鄉(xiāng)明，心安是歸途》，其中寫道“過去的1028天，左右踟躇，千頭萬緒難抉擇；過去的1028天，日夜徘徊，縱有萬語難言說；過去的1028天，山重水復(fù)，不知?dú)w途在何處．”“感謝親愛的祖國，感謝黨和政府，正是那一抹絢麗的中國紅，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗時刻，引領(lǐng)我回家的漫長路途．”下列數(shù)列中，其前n項和不可能為1028的數(shù)列是（

）(參考公式：)A． B．C． D．23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，則此數(shù)列的第21項是（

）A．200 B．210 C．220 D．24224．（2022春·云南紅河·高二彌勒市一中?？茧A段練習(xí)）斐波那契數(shù)列（FibonacciSequence）又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多，斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列滿足：，現(xiàn)從數(shù)列的前2022項中隨機(jī)抽取1項，能被3整除的概率是（

）A． B． C． D．25．（2022·高二課時練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（

）A．55 B．58 C．60 D．6226．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1，雁柱所在曲線的方程為，第n根弦（，從左數(shù)第1根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線交于點(diǎn)（，）和（，），則(

)

參考數(shù)據(jù)：取.A．814 B．900 C．914 D．100027．（2022秋·陜西渭南·高二校考期中）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，，已知，，成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.928．（2022秋·陜西咸陽·高二?？茧A段練習(xí)）《張邱建算經(jīng)》記載了這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹馬行走的速度逐漸變慢，每天走的路程是前一天的一半，連續(xù)走了7天，共走了700里”．在上述問題中，此馬第二天所走的路程大約為（

）A．170里 B．180里 C．185里 D．176里29．（2022秋·廣東廣州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的三角形叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成，第行有個數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個數(shù)是它下一行左右相鄰的兩數(shù)的和，如，則第8行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為（

）A． B． C． D．二、多選題30．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）朱世杰是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤壩的每人每天發(fā)放大米3升.”則下列結(jié)論正確的有（

）A．將這1864人派譴完需要16天B．第十天派往筑堤的人數(shù)為134C．官府前6天共發(fā)放1467升大米D．官府前6天比后6天少發(fā)放1260升大米31．（2022秋·山西太原·高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）若正整數(shù)m．n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，對于正整數(shù)k，（k）是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)（k）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，．已知?dú)W拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m，n互質(zhì)，那么，例如：，則（

）A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前n項和小于32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：“今有良馬和駑馬發(fā)長安至齊，良馬初日行一百九十三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，九日后二馬相逢.”其大意為今有良馬和駑馬從長安出發(fā)到齊國，良馬第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；駑馬第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良馬先到齊國，再返回迎接駑馬，9天后兩馬相遇.下列結(jié)論正確的是（

）A．長安與齊國兩地相距1530里B．3天后，兩馬之間的距離為里C．良馬從第6天開始返回迎接駑馬D．8天后，兩馬之間的距離為里33．（2022·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）將個數(shù)排成行列的一個數(shù)陣.如圖：該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，記這個數(shù)的和為.下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．34．（2022秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，，，，，，.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個數(shù)均為，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．三、填空題35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他的著作《算盤書》中，從兔子的繁殖問題得到一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，這個數(shù)列稱斐波那契數(shù)列，也稱兔子數(shù)列．斐波那契數(shù)列中的任意一個數(shù)叫斐波那契數(shù)．人們研究發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)在自然界中廣泛存在，如圖所示：

大多數(shù)植物的花斑數(shù)、向日葵花盤內(nèi)葵花籽排列的螺線數(shù)就是斐波那契數(shù)等等，而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著直接的應(yīng)用．設(shè)斐波那契數(shù)列為，其中，有以下幾個命題：①；②；③；④．其中正確命題的序號是________．36．（2022秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中有許多美麗的錯誤，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬通過觀察計算曾提出猜想：形如的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是費(fèi)馬素數(shù)猜想.半個世紀(jì)后善于發(fā)現(xiàn)的歐拉算出第5個費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，從而否定了這一種猜想．現(xiàn)設(shè)：，為常數(shù)，表示數(shù)列的前項和，若，則_______.37．（2022秋·福建漳州·高二校聯(lián)考期中）十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,…,即從第三項開始,每一項都等于它前兩項的和.后人為了紀(jì)念他,就把這列數(shù)稱為“斐波那契”數(shù)列.已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列,數(shù)列的前項和為,若,則______（用含的式子表示）.38．（2022春·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第j列的數(shù)為，則______，表中的數(shù)2021共出現(xiàn)______次．234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……39．（2022·江蘇南京·高三金陵中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）龍曲線是由一條單位線段開始，按下面的規(guī)則畫成的圖形：將前一代的每一條折線段都作為這一代的等腰直角三角形的斜邊，依次畫出所有直角三角形的兩段，使得所畫的相鄰兩線段永遠(yuǎn)垂直（即所畫的直角三角形在前一代曲線的左右兩邊交替出現(xiàn)）.例如第一代龍曲線（圖1）是以為斜邊畫出等腰直角三角形的直角邊、所得的折線圖，圖2、圖3依次為第二代、第三代龍曲線（虛線即為前一代龍曲線）.、、為第一代龍曲線的頂點(diǎn)，設(shè)第代龍曲線的頂點(diǎn)數(shù)為，由圖可知，，，則___________；數(shù)列的前項和___________.40．（2022·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)家已經(jīng)會借助三角數(shù)表來計算二階等差數(shù)列的和，例如計算，把第一個數(shù)表逆時針旋轉(zhuǎn)兩次，得到后兩個數(shù)表，再把3個數(shù)表疊在一起，每一個位置的和都是5，所以，我們使用類似的想法計算：，三個數(shù)表疊加之后每一個位置的和都是___________；推廣可得的求和公式__________．41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學(xué)思想方法，對時代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和.后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，現(xiàn)有與斐波那契數(shù)列性質(zhì)類似的數(shù)列滿足：，，且（），記數(shù)列的前n項和為，若，則___________.42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的.大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題.已知問題中，一個數(shù)被除余，被除余，被除余，則在不超過的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為___________.43．（2022春·山東日照·高二校聯(lián)考期中）“康托爾塵?！笔菙?shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成9個邊長為的小正方形，保留靠角的4個小正方形，記4個小正方形面積之和為：然后，將剩余的4個小正方形分別繼續(xù)9等分，分別保留靠角的4個小正方形，記16個小正方形面積之和為；…；操作過程不斷進(jìn)行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃.若，則操作次數(shù)的最小值為____________.44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）提丟斯—波得定則是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它是1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太陽系第n顆行星與太陽的平均距離（以天文單位A．U.為單位）.現(xiàn)將數(shù)列的各項乘以10后再減4得數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)從第3項起，每一項是前一項的2倍，則______，______.45．（2022秋·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題．現(xiàn)將正自然數(shù)中，能被3除余1且被2除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則__________．46．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考階段練習(xí)）1934年，東印度（今孟加拉國）學(xué)者森德拉姆（Sundaram）發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子如下圖，則其第10行第11列的數(shù)為__________.47．（2022秋·江蘇連云港·高二期末）我國古代用詩歌形式提出的一個數(shù)列問題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八十一，試問塔頂幾盞燈？通過計算可知，塔頂?shù)臒魯?shù)為_____________．48．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子·天下》，其中蘊(yùn)含著等比數(shù)列的相關(guān)知識.已知長度為4的線段，取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則___________；___________.49．（2022秋·湖北襄陽·高二?？茧A段練習(xí)）如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設(shè)原三角形（圖）的邊長為，把圖，圖，圖，中的圖形依次記為，，，，，，則的邊數(shù)__________，所圍成的面積__________．四、解答題50．（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）我國南宋時期的數(shù)學(xué)家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律．此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”．在此圖中，從第三行開始，首尾兩數(shù)為，其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和．(1)把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來的順序排列得一數(shù)列：，，，，，…，寫出與的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，證明：.51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2022北京冬奧會開幕式上，每個代表團(tuán)都擁有一朵專屬的“小雪花”，最終融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界！（如圖一），如圖二是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案．圖形的作法是從一個正三角形開始，把每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一個“雪花”狀的圖案．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為3，把圖二中的①，②，③，④，……圖形的周長依次記為，，，，…，得到數(shù)列．(1)直接寫出，的值；(2)求數(shù)列的通項公式．專題07數(shù)列專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為（一丈＝十尺＝一百寸）（

）．A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸【答案】B【分析】十二個節(jié)氣日影長構(gòu)成一個等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式、前項和公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出芒種日影長．【詳解】由題意知：從冬至日起，依次小寒、大寒等十二個節(jié)氣日影長構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)公差為，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，，解得，，芒種日影長為（寸）尺5寸．故選：B2．（2022秋·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫，現(xiàn)為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.某洞窟的浮雕共層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從下往上計算，從第二層開始，每層浮雕像的個數(shù)依次是下層個數(shù)的倍，且第三層與第二層浮雕像個數(shù)的差是，則該洞窟的浮雕像的總個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)從上到下第層的浮雕像個數(shù)為，分析可知數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，根據(jù)已知條件求出的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)從上到下第層的浮雕像個數(shù)為，由題意可知，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的公比為，由已知可得，可得，故，因此，該洞窟的浮雕像的總個數(shù)為.故選：A.3．（2022秋·廣東廣州·高二華南師大附中校考階段練習(xí)）《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（

）A．5 B．10 C．15 D．30【答案】B【分析】設(shè)五個人所分得的面包為，，，，，（其中），則由總和為100可求得，再由較大的三份之和的是較小的兩份之和，可得，從而可求出，進(jìn)而可求出【詳解】設(shè)五個人所分得的面包為，，，，，（其中），則有，∴，由，得；∴，∴．∴最少的一份為.故選：B4．（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）位于叢臺公園內(nèi)的武靈叢臺已經(jīng)成為邯鄲這座三千年古城的地標(biāo)建筑，叢臺上層建有據(jù)勝亭，其頂部結(jié)構(gòu)的一個側(cè)面中，自上而下第一層有塊筒瓦，以下每一層均比上一層多塊筒瓦，如果側(cè)面共有層筒瓦且頂部個側(cè)面結(jié)構(gòu)完全相同，頂部結(jié)構(gòu)共有多少塊筒瓦？（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知每層筒瓦數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式可求得每一面的筒瓦總數(shù)，由此可得四個側(cè)面筒瓦總數(shù).【詳解】一個側(cè)面中，第一層筒瓦數(shù)記為，自上而下，由于下面每一層比上一層多塊筒瓦，每層筒瓦數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其中，.一個側(cè)面中共有層筒瓦，一個側(cè)面筒瓦總數(shù)是，頂層四個側(cè)面筒瓦數(shù)總和為.故選：C.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，洛書是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)的圖案，2014年正式入選國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中的九宮格，將自然數(shù)1，2，3，…，放置在n行n列的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對角線上的數(shù)字之和（簡稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“n階幻方”．洛書就是一個3階幻方，其“幻和”為15．則7階幻方的“幻和”為（

）圖1圖2A．91 B．169 C．175 D．180【答案】C【分析】根據(jù)“幻和”的定義，將自然數(shù)1至累加除以n即可得結(jié)果.【詳解】由題意，7階幻方各行列和，即“幻和”為.故選：C6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的：已知

是該數(shù)列的第100項，則m=（

）A．98 B．99C．100 D．101【答案】B【分析】根據(jù)題意推出，，，，利用累加法可得，即可求出m的值.【詳解】由題意得，，因為，得，，，，累加，得，因為是該數(shù)列的第100項，即是該數(shù)列的第100項，所以.故選：B.7．（2022春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第50層球的個數(shù)為（

）A．1255 B．1265C．1275 D．1285【答案】C【分析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的個數(shù)與層數(shù)的關(guān)系，得到，進(jìn)而求解結(jié)論．【詳解】解：設(shè)各層球的個數(shù)構(gòu)成數(shù)列，由題意可知，，，，，，故，，故選：C．8．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）1883年，德國數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區(qū)間和；第二步，將剩下的兩個閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：，，，；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷步構(gòu)造后，不屬于剩下的閉區(qū)間，則的最小值是（

）．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)三分康托集的構(gòu)造過程可知：經(jīng)歷第步，每個去掉的開區(qū)間以及留下的閉區(qū)間的區(qū)間長度都是，根據(jù)規(guī)律即可求出屬于，進(jìn)而根據(jù)不等式可求解.【詳解】不屬于剩下的閉區(qū)間，屬于去掉的開區(qū)間經(jīng)歷第步，剩下的最后一個區(qū)間為，經(jīng)歷第步，剩下的最后一個區(qū)間為，……，經(jīng)歷第步，剩下的最后一個區(qū)間為，去掉的最后開區(qū)間為由化簡得，解得故選:A9．（2022春·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法．這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下頭一個2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個數(shù)3不動，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素數(shù)．在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到30的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（

）A．333 B．335 C．337 D．341【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出2到30的全部整數(shù)和，再求出2到30的全部素數(shù)和即可計算作答.【詳解】2到30的全部整數(shù)和，2到30的全部素數(shù)和，所以剔除的所有數(shù)的和為.故選：B10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）談祥柏先生是我國著名的數(shù)學(xué)科普作家，在他的《好玩的數(shù)學(xué)》一書中，有一篇文章《五分鐘挑出埃及分?jǐn)?shù)》，文章告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為的分?jǐn)?shù)（稱為埃及分?jǐn)?shù)）．則下列埃及分?jǐn)?shù)、、、、的和是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用裂項相消法可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，因此，.故選：C.11．（2022春·四川資陽·高一統(tǒng)考期末）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，書中有這樣一個問題：九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．意為：996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費(fèi)，從第二個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止．分配時一定要長幼分明，使孝順子女的美德外傳．據(jù)此，前五個孩子共分得的棉花斤數(shù)為（

）A．362 B．430 C．495 D．645【答案】C【分析】設(shè)這八個孩子分得棉花的斤數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由題設(shè)求得其首項與公差，即可求得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)這八個孩子分得棉花的斤數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由題意知：公差，又，解得，故.故選：C．12．（2022秋·江蘇淮安·高三?？茧A段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【分析】將天干和地支分別看作等差數(shù)列，結(jié)合，，分別求出100年后天干為壬，地支為午，得到答案.【詳解】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為壬，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為午，綜上：100年后的2122年為壬午年.故選：A13．（2022秋·江蘇宿遷·高三沭陽縣建陵高級中學(xué)?？计谥校┠纤螖?shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所以論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前6項分別為1，5，11，21，37，61，……則該數(shù)列的第8項為（

）A．99 B．131 C．139 D．141【答案】D【分析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項為，根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項減去前一項得到一個數(shù)列，即得到了一個等差數(shù)列，如圖：根據(jù)規(guī)律補(bǔ)全：由圖可得，則.故選：D14．（2023春·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責(zé)之粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊．”羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說：“我豬所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個問題中，馬主人比豬主人多賠償了（

）斗．A． B． C．3 D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進(jìn)行求解，設(shè)出未知數(shù)，列出方程，求出馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù).【詳解】由題意得：豬、羊、馬、牛的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)成等比數(shù)列，公比為2，設(shè)豬的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為，則，解得：，故馬主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為，所以馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù)為.故選：B15．（2021秋·河南商丘·高二校聯(lián)考期中）《莉拉沃蒂》是古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅的數(shù)學(xué)名著，書中有下面的表述：某王為奪得敵人的大象，第一天行軍由旬（由旬為古印度長度單位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行軍由旬到達(dá)地方城市.下列說法正確的是（

）A．前四天共行由旬B．最后三天共行由旬C．從第二天起，每天比前一天多行的路程為由旬D．第三天行了由旬【答案】D【分析】由題意，每天行軍的路程為等差數(shù)列，且，，利用基本量表示可得，依次分析，即得解【詳解】由題意，不妨設(shè)每天行軍的路程為數(shù)列，則又以后每天均比前一天多行相同的路程，故構(gòu)成一個等差數(shù)列，不妨設(shè)公差為七天一共行軍由旬，即故，解得，A錯誤；，B錯誤；由于，故從第二天起，每天比前一天多行的路程為由旬，C錯誤；，D正確故選：D16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“垛積術(shù)”是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等．某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“茭草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是n件．已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的．若這堆貨物總價是萬元，則n的值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】先依次求出各層貨物總價，再利用裂項抵消法進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為萬元，第三層貨物總價為萬元，……，第層貨物總價為萬元.設(shè)這堆貨物總價為萬元，則，兩式相減，得，即，則，令，得.故選：B.17．（2021秋·吉林松原·高二長嶺縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2，反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，則當(dāng)時，則使需要的雹程步數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】直接利用遞推關(guān)系逐步計算可得使得需要多少步雹程.【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出42→21→64→32→16→8→4→2→1，所以共需經(jīng)過8個步驟變成1，故使需要的雹程步數(shù)為8.故選：B18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足，，.若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長為1，記前n項所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則其中不正確結(jié)論的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】A選項由前項所占格子組成長為，寬為的矩形即可判斷；B選項由結(jié)合累加法即可判斷；C選項通過特殊值檢驗即可；D選項表示出，作差即可判斷.【詳解】由題意知：前項所占格子組成長為，寬為的矩形，其面積為，A正確；，以上各式相加得，，化簡得，即，B正確；，C錯誤；易知，，D正確.故選：C.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖是美麗的“勾股樹”，將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復(fù)圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，若不等式恒成立，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)第1代“勾股樹”，第2代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)，以此類推，得到第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)，即，從而得到求解.【詳解】解：第1代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為，第2代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為，…，以此類推，第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為，即，所以，因為，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，所以n的最小值為9．故選：C．20．（2022·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考三模）北宋數(shù)學(xué)家賈憲創(chuàng)制的數(shù)字圖式（如圖）又稱“賈憲三角”，后被南宋數(shù)學(xué)家楊輝引用、n維空間中的幾何元素與之有巧妙聯(lián)系、例如，1維最簡幾何圖形線段它有2個0維的端點(diǎn)、1個1維的線段：2維最簡幾何圖形三角形它有3個0維的端點(diǎn)，3個1維的線段，1個2維的三角形區(qū)域；……如下表所示.從1維到6維最簡幾何圖形中，所有1維線段數(shù)的和是（

）元素維度幾何體維度0123…（線段）21（三角形）331（四面體）4641………………A．56 B．70 C．84 D．28【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，可求得，即可求解.【詳解】設(shè)從1維到維最簡幾何圖形的1維線段數(shù)構(gòu)成數(shù)列，由題意可得，，，…，以此類推，可得，所以，所以.故選：A.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列，來源于中國古代著作《乾坤普》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前項為：、、、、、、、、、，通項公式為，若把這個數(shù)列排成下側(cè)形狀，并記表示第行中從左向右第個數(shù)，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】確定在數(shù)列中的項數(shù)，結(jié)合數(shù)列的通項公式可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，設(shè)數(shù)陣第行的項數(shù)為，則數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，所以，是數(shù)列的第項，因此，.故選：D.22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在歸國包機(jī)上，孟晚舟寫下《月是故鄉(xiāng)明，心安是歸途》，其中寫道“過去的1028天，左右踟躇，千頭萬緒難抉擇；過去的1028天，日夜徘徊，縱有萬語難言說；過去的1028天，山重水復(fù)，不知?dú)w途在何處．”“感謝親愛的祖國，感謝黨和政府，正是那一抹絢麗的中國紅，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗時刻，引領(lǐng)我回家的漫長路途．”下列數(shù)列中，其前n項和不可能為1028的數(shù)列是（

）(參考公式：)A． B．C． D．【答案】A【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項和公式以及參考公式求數(shù)列前項和，令，看是否有正整數(shù)解即可判定選項A、B、D的正確性；通過分類討論分別求出和，然后可得到，令，看是否有正整數(shù)解即可選項C的正確性．【詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，對于A：由等差數(shù)列的前項和公式，得：，因為方程無正整數(shù)解，即選項A錯誤；對于B：不妨令，，數(shù)列和的前項和分別為和，則，，由參考公式和等差數(shù)列的前項和公式，得：，，所以，解得，即選項B正確；對于C：①當(dāng)時，，故此時；②當(dāng)時，令，解得，即時，，即選項C正確；對于D：由等比數(shù)列的前項和公式可知，，解得，即選項D正確．故選：A．23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，則此數(shù)列的第21項是（

）A．200 B．210 C．220 D．242【答案】C【分析】由數(shù)列奇數(shù)項的前幾項可歸納出奇數(shù)項上的通項公式，從而得到答案.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列的前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇數(shù)項為0、4、12、24、40，有故其奇數(shù)項上的通項公式為故，故選：C24．（2022春·云南紅河·高二彌勒市一中?？茧A段練習(xí)）斐波那契數(shù)列（FibonacciSequence）又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多，斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列滿足：，現(xiàn)從數(shù)列的前2022項中隨機(jī)抽取1項，能被3整除的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依次寫出數(shù)列各項除以3所得余數(shù)，尋找后可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，數(shù)列各項除以3所得余數(shù)依次為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，…，余數(shù)數(shù)列是周期數(shù)列，周期為8，，所以數(shù)列的前2022項中能被3整除的項有，所求概率為，故選A．25．（2022·高二課時練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（

）A．55 B．58 C．60 D．62【答案】A【分析】表示第n行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個數(shù)，由題意可得，根據(jù)初始值，由此遞推，不難得出所求.【詳解】已知表示第n行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個數(shù)，則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一白一黑兩個圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈2個黑圈，∴，又∵;;;;;,故選：A.26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1，雁柱所在曲線的方程為，第n根弦（，從左數(shù)第1根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線交于點(diǎn)（，）和（，），則(

)

參考數(shù)據(jù)：取.A．814 B．900 C．914 D．1000【答案】C【分析】求出，用錯位相減法求和即可.【詳解】由條件可得①，所以②，－②得：，，所以.故選：C.27．（2022秋·陜西渭南·高二?？计谥校﹫D1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，，已知，，成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】B【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：B28．（2022秋·陜西咸陽·高二?？茧A段練習(xí)）《張邱建算經(jīng)》記載了這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹馬行走的速度逐漸變慢，每天走的路程是前一天的一半，連續(xù)走了7天，共走了700里”．在上述問題中，此馬第二天所走的路程大約為（

）A．170里 B．180里 C．185里 D．176里【答案】D【分析】根據(jù)題意，可知此馬每天走的路程形成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項和公式求得基本量，從而得解.【詳解】由題意得，設(shè)這匹馬的第天走的路程為，則有，，所以數(shù)列是的等比數(shù)列，故，解得，所以．故選：D.29．（2022秋·廣東廣州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的三角形叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成，第行有個數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個數(shù)是它下一行左右相鄰的兩數(shù)的和，如，則第8行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“萊布尼茲調(diào)和三角形”的性質(zhì)，依次運(yùn)算即可.【詳解】設(shè)第行第個數(shù)為，則，，，，故，，，，，，故選：A.二、多選題30．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）朱世杰是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤壩的每人每天發(fā)放大米3升.”則下列結(jié)論正確的有（

）A．將這1864人派譴完需要16天B．第十天派往筑堤的人數(shù)為134C．官府前6天共發(fā)放1467升大米D．官府前6天比后6天少發(fā)放1260升大米【答案】ACD【分析】記數(shù)列為第n天派遣的人數(shù)，數(shù)列為第n天獲得的大米升數(shù)，依題意可得是以64為首項，7為公差的等差數(shù)列，是以192為首項，21為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式計算可得；【詳解】解：記數(shù)列為第n天派遣的人數(shù)，數(shù)列為第n天獲得的大米升數(shù)，則是以64為首項，7為公差的等差數(shù)列，即，是以192為首項，21為公差的等差數(shù)列，即，所以，B不正確.設(shè)第k天派遣完這1864人，則，解得（負(fù)值舍去），A正確；官府前6天共發(fā)放升大米，C正確，官府前6天比后6天少發(fā)放升大米，D正確.故選：ACD31．（2022秋·山西太原·高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若正整數(shù)m．n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，對于正整數(shù)k，（k）是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)（k）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，．已知?dú)W拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m，n互質(zhì)，那么，例如：，則（

）A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前n項和小于【答案】ABD【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)定義及運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，依次判斷各選項即可得出結(jié)果.【詳解】，A對；∵2為質(zhì)數(shù)，∴在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為，∴為等比數(shù)列，B對；∵與互質(zhì)的數(shù)為共有個，∴又∵=，∴一定是單調(diào)增數(shù)列，C錯；，的前n項和為，D對.故選：ABD．32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：“今有良馬和駑馬發(fā)長安至齊，良馬初日行一百九十三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，九日后二馬相逢.”其大意為今有良馬和駑馬從長安出發(fā)到齊國，良馬第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；駑馬第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良馬先到齊國，再返回迎接駑馬，9天后兩馬相遇.下列結(jié)論正確的是（

）A．長安與齊國兩地相距1530里B．3天后，兩馬之間的距離為里C．良馬從第6天開始返回迎接駑馬D．8天后，兩馬之間的距離為里【答案】AB【分析】A,設(shè)良馬第天行走的路程里數(shù)為，駑馬第天行走的路程里數(shù)為，求出良馬和駑馬各自走的路程即得A正確；B，計算得到3天后，兩馬之間的距離為里，即可判斷B正確；C,計算得到良馬前6天共行走了里里，故C不正確；D，計算得到8天后，兩馬之間的距離為390里，故D不正確.【詳解】解：設(shè)良馬第天行走的路程里數(shù)為，駑馬第天行走的路程里數(shù)為，則.良馬這9天共行走了里路程，駑馬這9天共行走了里路程，故長安與齊國兩地相距里，A正確.3天后，良馬共行走了里路程，駑馬共行走了里路程，故它們之間的距離為328.5里，B正確.良馬前6天共行走了里里，故良馬行走6天還末到達(dá)齊國，C不正確.良馬前7天共行走了里里，則良馬從第7天開始返回迎接駑馬，故8天后，兩馬之間的距離即兩馬第9天行走的距離之和，由，知8天后，兩馬之間的距離為390里，故D不正確.故選：AB33．（2022·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）將個數(shù)排成行列的一個數(shù)陣.如圖：該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，記這個數(shù)的和為.下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，，及等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式求出，即可判斷A、C，再利用錯位相減法計算B，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列求和公式計算判斷D.【詳解】解：，，解得或（舍負(fù)），即選項A正確；，即選項C錯誤；令，則①②，①②得，，，當(dāng)時，，即選項B正確；，即選項D正確.故選：ABD.34．（2022秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，，，，，，.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個數(shù)均為，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】寫出的前幾項，通過觀察可得數(shù)列的周期，進(jìn)而結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)以及的定義，可判斷A、B項；因為，可推得，逐項代入即可得到C項；由，可得，逐項代入即可得到，從而得到D項錯誤.【詳解】因為，，，，，，根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)以及的定義可得，，，，，，.同理可推得，當(dāng)時，有，，，，，，所以是以為周期的周期數(shù)列，所以，所以A項錯誤；由周期性可知，，，故B正確；因為，可推得，逐項代入，可得，所以C正確；因為，所以D錯誤故選：BC．三、填空題35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他的著作《算盤書》中，從兔子的繁殖問題得到一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，這個數(shù)列稱斐波那契數(shù)列，也稱兔子數(shù)列．斐波那契數(shù)列中的任意一個數(shù)叫斐波那契數(shù)．人們研究發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)在自然界中廣泛存在，如圖所示：

大多數(shù)植物的花斑數(shù)、向日葵花盤內(nèi)葵花籽排列的螺線數(shù)就是斐波那契數(shù)等等，而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著直接的應(yīng)用．設(shè)斐波那契數(shù)列為，其中，有以下幾個命題：①；②；③；④．其中正確命題的序號是________．【答案】①②③【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的知識對四個命題進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】斐波那契數(shù)列從第項起，每一項都是前項的和，所以，①正確.，②正確.，所以③正確.當(dāng)時，，，所以④錯誤.故答案為：①②③36．（2022秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中有許多美麗的錯誤，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬通過觀察計算曾提出猜想：形如的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是費(fèi)馬素數(shù)猜想.半個世紀(jì)后善于發(fā)現(xiàn)的歐拉算出第5個費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，從而否定了這一種猜想．現(xiàn)設(shè)：，為常數(shù)，表示數(shù)列的前項和，若，則_______.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)定義可得，再結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式求，進(jìn)而求.【詳解】∵，則顯然，則∴數(shù)列是以首項為，公比的等比數(shù)列又∵，則∴故答案為：32.37．（2022秋·福建漳州·高二校聯(lián)考期中）十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,…,即從第三項開始,每一項都等于它前兩項的和.后人為了紀(jì)念他,就把這列數(shù)稱為“斐波那契”數(shù)列.已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列,數(shù)列的前項和為,若,則______（用含的式子表示）.【答案】##【分析】根據(jù)數(shù)列每一項都等于它前兩項的和規(guī)律,從第1項寫出到第2023項,各式左、右兩邊分別相加,即可得到之間的關(guān)系,即可得出.【詳解】解:由已知得,,…,,以上各式左、右兩邊分別相加,得,即,又,,所以.故答案為：m+138．（2022春·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第j列的數(shù)為，則______，表中的數(shù)2021共出現(xiàn)______次．234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……【答案】

57

12【分析】根據(jù)數(shù)表歸納出各行各列的規(guī)律，然后利用整數(shù)的知識求解.【詳解】由數(shù)表可知每行、每列的數(shù)都成等差數(shù)列，第一行和第一列都是以2為首項1為公差的等差數(shù)列，第行和第列的公差都是，因此,,，，，相應(yīng)共12組解，所以表中2021共出現(xiàn)12次.故答案為：57；12.39．（2022·江蘇南京·高三金陵中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）龍曲線是由一條單位線段開始，按下面的規(guī)則畫成的圖形：將前一代的每一條折線段都作為這一代的等腰直角三角形的斜邊，依次畫出所有直角三角形的兩段，使得所畫的相鄰兩線段永遠(yuǎn)垂直（即所畫的直角三角形在前一代曲線的左右兩邊交替出現(xiàn)）.例如第一代龍曲線（圖1）是以為斜邊畫出等腰直角三角形的直角邊、所得的折線圖，圖2、圖3依次為第二代、第三代龍曲線（虛線即為前一代龍曲線）.、、為第一代龍曲線的頂點(diǎn)，設(shè)第代龍曲線的頂點(diǎn)數(shù)為，由圖可知，，，則___________；數(shù)列的前項和___________.【答案】

【分析】推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得的通項公式，可求得的值，再利用裂項相消法可求得.【詳解】解：由題意可知，第代龍曲線是在將個第代龍曲線的首尾頂點(diǎn)相接，則，所以，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，則，，則，，因此，.故答案為：；.40．（2022·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)家已經(jīng)會借助三角數(shù)表來計算二階等差數(shù)列的和，例如計算，把第一個數(shù)表逆時針旋轉(zhuǎn)兩次，得到后兩個數(shù)表，再把3個數(shù)表疊在一起，每一個位置的和都是5，所以，我們使用類似的想法計算：，三個數(shù)表疊加之后每一個位置的和都是___________；推廣可得的求和公式__________．【答案】

14

【分析】根據(jù)3個數(shù)表的特點(diǎn)，可求得三個數(shù)表疊加之后每一個位置的和是1+1+12=14，同理可知：，三個數(shù)表疊加之后每一個位置的和是1+1+n=n+2，而一共有個這樣的位置，進(jìn)而求和.【詳解】，三個數(shù)表疊加之后每一個位置的和是1+1+12=14，又，三個數(shù)表疊加之后每一個位置的和是1+1+n=n+2，而一共有個這樣的位置，故.故答案為：14，.41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學(xué)思想方法，對時代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和.后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，現(xiàn)有與斐波那契數(shù)列性質(zhì)類似的數(shù)列滿足：，，且（），記數(shù)列的前n項和為，若，則___________.【答案】7【分析】根據(jù)遞推關(guān)系寫出的前面若干項，利用并項求和法求得，從而確定的值.【詳解】∵，∴，，則數(shù)列中的項依次為2，4，6，10，16，26，42，68，…，又，，，，…，，將上面的式子相加，可得，又，∴.故答案為：42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的.大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題.已知問題中，一個數(shù)被除余，被除余，被除余，則在不超過的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為___________.【答案】【分析】找出滿足條件的最小整數(shù)值為，可知滿足條件的數(shù)形成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，確定該數(shù)列的項數(shù)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，一個數(shù)被除余，被除余，被除余，則這個正整數(shù)的最小值為，因為、、的最小公倍數(shù)為，由題意可知，滿足條件的數(shù)形成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，則，由，可得，所以，的最大值為，所以，滿足條件的這些整數(shù)之和為.故答案為：.43．（2022春·山東日照·高二校聯(lián)考期中）“康托爾塵?！笔菙?shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成9個邊長為的小正方形，保留靠角的4個小正方形，記4個小正方形面積之和為：然后，將剩余的4個小正方形分別繼續(xù)9等分，分別保留靠角的4個小正方形，記16個小正方形面積之和為；…；操作過程不斷進(jìn)行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃.若，則操作次數(shù)的最小值為____________.【答案】3【分析】由已知得，再由等比數(shù)列的求和公式建立不等式，由函數(shù)的單調(diào)性即可得答案.【詳解】解：是邊長為的4個正方形的面積之和，故；是邊長為的個正方形的面積之和，故；以此類推得：從而，所以，函數(shù)關(guān)于單調(diào)遞減，且時，，時，，故最小值取3.故答案為：3.44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）提丟斯—波得定則是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它是1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太陽系第n顆行星與太陽的平均距離（以天文單位A．U.為單位）.現(xiàn)將數(shù)列的各項乘以10后再減4得數(shù)