新高考高二下學(xué)期期中考試必刷真題強(qiáng)化訓(xùn)練（廣東卷）期中專題01 數(shù)列大題綜合 解析版

新高考高二下學(xué)期期中考試必刷真題強(qiáng)化訓(xùn)練（廣東卷）期中專題01數(shù)列大題綜合1．（2022春·廣東深圳·高二翠園中學(xué)?？计谥校┰O(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（2022春·廣東廣州·高二校考期中）記是公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的的最小值，3．（2022春·廣東佛山·高二佛山一中?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足：，，其前項(xiàng)和為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（2022春·廣東江門·高二江門市第二中學(xué)?？计谥校┰O(shè)是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且、、成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，求的前項(xiàng)和．5．（2022秋·廣東廣州·高二校考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，遞增的等比數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和分別為，求．6．（2022春·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械诙袑W(xué)?？计谥校┰O(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.7．（2022春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求證：.8．（2022春·廣東佛山·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列、滿足，若數(shù)列是等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前項(xiàng)和為.9．（2022春·廣東佛山·高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，公比，其前n項(xiàng)和為，且，______．從①，②，③是與2的等差中項(xiàng)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題中的橫線上，并作答．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．10．（2022春·廣東佛山·高二順德市李兆基中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列是由數(shù)列的項(xiàng)刪去數(shù)列的項(xiàng)后按從小到大的順序排列構(gòu)成的新數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和.11．（2022春·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)九江中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.12．（2022春·廣東深圳·高二?？计谥校┑炔顢?shù)列前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求n的最小值．13．（2022春·廣東深圳·高二深圳市建文外國語學(xué)校?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，且求其通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．14．（2022春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列中，，.(1)求，并證明為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.15．（2022春·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列中，，，且.(1)設(shè)，證明數(shù)列是常數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前2022項(xiàng)的和.16．（2022春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)校考期中）已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，且2，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.17．（2022春·廣東汕頭·高二?？计谥校┰冖伲?；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若______.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（2022春·廣東·高二校聯(lián)考期中）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足，記.(1)求證：數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前10項(xiàng)和.19．（2022春·廣東佛山·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.20．（2022春·廣東江門·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（2022春·廣東揭陽·高二普寧市華僑中學(xué)?？计谥校┮阎猄n為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＋a5＝5，S4＝7．(1)求an；(2)記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.22．（2022春·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）“綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書記習(xí)近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷，2017年10月18日，該理論寫入中共十九大報(bào)告.為響應(yīng)總書記號(hào)召，我國某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方公里，其中70%是沙漠，從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠，記該地區(qū)今年綠洲的面積為萬平方公里，第n年綠洲的面積為萬平方公里.(1)求第n年綠洲的面積與上一年綠洲的面積的關(guān)系；(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(3)求第幾年該地區(qū)的綠洲面積可超過60%?（參考數(shù)據(jù)：）23．（2022春·廣東佛山·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，且，為等比數(shù)列數(shù)列的第2、3項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求證：24．（2022春·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.25．（2022秋·廣東廣州·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．26．（2022春·廣東江門·高二臺(tái)山市華僑中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.27．（2022春·廣東韶關(guān)·高二校考期中）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．28．（2022春·廣東廣州·高二廣州市協(xié)和中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列中，前項(xiàng)和為，，為等比數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，，且滿足：.（1）求與；（2）記，求的前項(xiàng)和；（3）若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.29．（2022春·廣東廣州·高二廣州市育才中學(xué)校考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，數(shù)列滿足，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明列數(shù)是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)數(shù)列滿足對(duì)任意的成立，求的值．30．（2022春·廣東廣州·高二廣州市禺山高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列中，，，且．(1)設(shè)，試用表示，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．期中專題01數(shù)列大題綜合1．（2022春·廣東深圳·高二翠園中學(xué)?？计谥校┰O(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，（）.(2)，（）.【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，結(jié)合已知條件聯(lián)立方程可求出和，即可求出通項(xiàng)公式.（2）表示出，裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】（1）解：由題可知，，即，解得，，所以，（）.（2）由（1）知，，所以，所以，（）.2．（2022春·廣東廣州·高二?？计谥校┯浭枪畈粸榈牡炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的的最小值，【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可求得，由此可得；（2）由等差數(shù)列求和公式可得，由可得不等式，解不等式求得的范圍，進(jìn)而得到的最小值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.（2）由（1）得：；由得：，化簡(jiǎn)得：；解得：或，又，的最小值為.3．（2022春·廣東佛山·高二佛山一中?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足：，，其前項(xiàng)和為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意及等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得；(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，∴，(2)解：由（1）可得，∴數(shù)列的前項(xiàng)和為4．（2022春·廣東江門·高二江門市第二中學(xué)?？计谥校┰O(shè)是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且、、成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用等比數(shù)列的求和公式求出，再利用分組求和法可求得.(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?、、成等差?shù)列，則，可得，解得，所以，.(2)解：，所以，.5．（2022秋·廣東廣州·高二校考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，遞增的等比數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和分別為，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)求出的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，故可看作方程的兩根，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出，從而得到公比，求出的通項(xiàng)公式；（2）利用等比數(shù)列的公式求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，滿足上式故的通項(xiàng)公式為，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以可看作方程的兩根，解得：或，因?yàn)榈缺葦?shù)列單調(diào)遞增，所以舍去，故，解得：，故的通項(xiàng)公式為；（2）由等比數(shù)列求和公式得：.6．（2022春·廣東珠海·高二珠海市第二中學(xué)?？计谥校┰O(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與得關(guān)系，計(jì)算即可得出答案；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法即可得出答案.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，所以，，，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比得等比數(shù)列，是以；（2）解：，則，，兩式相減得，所以.7．（2022春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出方程求得進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，結(jié)合題意求得，得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法，求得數(shù)列的前項(xiàng)和為，進(jìn)而證得，即可求解.(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，可得，即，解得或（舍去），所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)解：由，可得因?yàn)榕c之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，可得，所以，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，可得，則，兩式相減，所以，因?yàn)椋?，所以，?8．（2022春·廣東佛山·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列、滿足，若數(shù)列是等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前項(xiàng)和為.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由條件解出的公比后求通項(xiàng)公式，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求；（2）寫出的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法求和．【詳解】（1）

當(dāng)時(shí)，，，又，∴

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

∴當(dāng)時(shí)，由累加法可得：，又當(dāng)時(shí)，也適合上式，∴（2）

∴①∴②①-②得：

∴9．（2022春·廣東佛山·高二校考期中）在等比數(shù)列中，公比，其前n項(xiàng)和為，且，______．從①，②，③是與2的等差中項(xiàng)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題中的橫線上，并作答．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）無論選哪一個(gè)，都利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法、累和法進(jìn)行求解即可.(1)選條件①．由及，得，，兩式相減得，即，所以，又，所以，代入，得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．選條件②．因?yàn)?，，所以，，兩式相除，得，又，所以，所以，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為．選條件③是與2的等差中項(xiàng)．由是與2的等差中項(xiàng)，得，即，又，所以，所以，，消去，得，又，所以，代入，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）得，，當(dāng)時(shí)，．又也符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．10．（2022春·廣東佛山·高二順德市李兆基中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列是由數(shù)列的項(xiàng)刪去數(shù)列的項(xiàng)后按從小到大的順序排列構(gòu)成的新數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和.【答案】(1)，.(2)3066.【分析】（1）由可推出，從而得是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，設(shè)數(shù)列的公差為d，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程，求解即可；（2）數(shù)列的前50項(xiàng)即為數(shù)列的前56項(xiàng)刪去數(shù)列中的前6項(xiàng)，利用分組求和求數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)因?yàn)棰?，所以②，由②①得，即，?dāng)時(shí)，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)數(shù)列的公差為d，，，所以，所以，.(2)因?yàn)?，，所以?shù)列的前50項(xiàng)即為數(shù)列的前56項(xiàng)刪去數(shù)列中的前6項(xiàng)，故所求數(shù)列的前50項(xiàng)和.所以.11．（2022春·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)九江中學(xué)校考期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得及，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和可求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.(1)因?yàn)?，①，所以?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，②，①－②得即，而，故，故，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；(2)由（1）得，所以.12．（2022春·廣東深圳·高二校考期中）等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求n的最小值．【答案】(1)(2)8【分析】（1）根據(jù)題中給的等式求解出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再寫出通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求解其前項(xiàng)和，最后根據(jù)不等式的知識(shí)求解的最小值．(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，則，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)，，由題得，解得，因?yàn)?，所以的最小值?．13．（2022春·廣東深圳·高二深圳市建文外國語學(xué)校校考期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，且求其通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）利用可得答案；（2）利用錯(cuò)位相減求和可得答案．【詳解】（1）當(dāng)n＝1時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①－②得，，∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，∴，∴，，∴，∴．14．（2022春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列中，，.(1)求，并證明為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由遞推公式化簡(jiǎn)，根據(jù)等比數(shù)列的定義證明（2）由分組求和法求解(1)，，，故是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．(2)由（1）得，即，15．（2022春·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列中，，，且.(1)設(shè)，證明數(shù)列是常數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前2022項(xiàng)的和.【答案】(1)證明見解析(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)遞推公式可得即，再由即可得證；（2）由（1）可得，從而得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；（3）依題意可得，列出的前幾項(xiàng)，即可找到規(guī)律，從而得解；(1)證明：因?yàn)椋?，且所以，又，即，，又，所以，即是常?shù)列；(2)解：由（1）可得，即，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，記數(shù)列的的前項(xiàng)和為，則；(3)解：因?yàn)樗运?，，，．所以同理可得，，，，所以，，每?jīng)過4個(gè)數(shù)循環(huán)一次，且，，所以，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，，16．（2022春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，且2，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）利用基本量代換求出公差d，即可得到通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，即可證明.(1)設(shè)數(shù)列的公差為d（d>1）.由題意可得：，即，解得：（舍去）.所以.即.(2)由（1）可知：，所以.所以.所以.即證.17．（2022春·廣東汕頭·高二?？计谥校┰冖?，；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若______.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①②，用基本量法即可求出通項(xiàng)公式，選③，根據(jù)和的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項(xiàng)相消法，即可求解.(1)解：若選①，，則，解得，所以；若選②，，則，解得，所以；若選③，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以(2)因?yàn)椋?8．（2022春·廣東·高二校聯(lián)考期中）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足，記.(1)求證：數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由遞推公式化簡(jiǎn)后證明（2）求出的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消法求解(1)，，故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列(2)由（1）知，，，故19．（2022春·廣東佛山·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)，；(2)．【分析】(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求、，進(jìn)而可求、；(2)根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，采用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和．(1)等差數(shù)列中，，，，解得，，；；(2)∵，∴，∴．20．（2022春·廣東江門·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系，求出，再利用與的關(guān)系式求出；（2）首先求出，再利用裂項(xiàng)求和的方法求出.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，符合上式，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得所以.21．（2022春·廣東揭陽·高二普寧市華僑中學(xué)校考期中）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＋a5＝5，S4＝7．(1)求an；(2)記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式建立方程組，求解即可；（2）由（1）得bn＝，運(yùn)用裂項(xiàng)求和法可求得答案.(1)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則解得，故an＝；(2)解：因?yàn)閍n＝，所以bn＝＝＝2(－)，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2()

＝2＝.22．（2022春·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）“綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書記習(xí)近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷，2017年10月18日，該理論寫入中共十九大報(bào)告.為響應(yīng)總書記號(hào)召，我國某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方公里，其中70%是沙漠，從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠，記該地區(qū)今年綠洲的面積為萬平方公里，第n年綠洲的面積為萬平方公里.(1)求第n年綠洲的面積與上一年綠洲的面積的關(guān)系；(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(3)求第幾年該地區(qū)的綠洲面積可超過60%?（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)，；(2)證明見解析，；(3)第6年.【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式、化簡(jiǎn)即可作答.（2）利用（1）中等式，變形并結(jié)合等比數(shù)列定義判斷，求出通項(xiàng)公式作答.（3）利用（2）中結(jié)論，列出不等式，借助對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解作答.(1)依題意，，，所以.(2)由（1）知，，，即，又，有，于是得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以.(3)由（2）知，，即，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，則，即，所以第6年該地區(qū)的綠洲面積可超過60%.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際意義給出的數(shù)列問題，正確理解實(shí)際意義，列出關(guān)系式，作等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求解.23．（2022春·廣東佛山·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，且，為等比數(shù)列數(shù)列的第2、3項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求證：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)可求出，從而可求出，則可得公比，從而可求出的通項(xiàng)公式，（2）先利用錯(cuò)位相減法求出，然后利用放縮法可證得結(jié)論(1)由，則當(dāng)時(shí)，且時(shí)滿足上式，所以，，設(shè)數(shù)列的公式為，則，所以，(2)令∴24．（2022春·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系，推出的遞推關(guān)系，從而判定是等比數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）利用（1）的結(jié)論，求出和，根據(jù)的特征采用裂項(xiàng)相消法求其前項(xiàng)和(1)當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，則，即，從而是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，故.(2)由（1）可得，則，則.25．（2022秋·廣東廣州·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得到，化為基本量和的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差設(shè)為，由，，成等比數(shù)列，則，即，即，解得，所以.（2）由題意，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得即，化簡(jiǎn)得.26．（2022春·廣東江門·高二臺(tái)山市華僑中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可構(gòu)造方程組求得，由此可得公比，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得；（2）由（1）可得，采用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.【詳解】（1）數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，或（舍），數(shù)列的公比，.（2）由（1）得：，，，兩式作差得：.27．（2022春·廣東韶關(guān)·高二校考期中）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公