近年-近年學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量第4節(jié)平面向量的數(shù)量積(第1課時)平面向量數(shù)量積的物理背景及其含

第1課時平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義[核心必知]PP問題． 提示：|F|cosθ. (3)力做功的大小與哪些量有關(guān)? (1)向量的數(shù)量積的定義數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)定義積)記法a·b＝|a||b|cosθ規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0 (2)向量的數(shù)量積的幾何意義①投影的概念: (ⅰ)向量b在a的方向上的投影為|b|cosθ。(ⅱ)向量a在b的方向上的投影為|a|cosθ。②數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量,θ為a與b的夾角．①a⊥b?a·b＝0。②當(dāng)a與b同向時,a·b＝|a||b|,當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.③a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝錯誤!。④cosθ＝錯誤!。⑤|a·b|≤|a||b|. (4)向量數(shù)量積的運(yùn)算律①a·b＝b·a(交換律)．②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[問題思考]向量間的運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果是一個實數(shù)，這個實數(shù) 提示：①在實數(shù)中，若a≠0，且ab＝0,則b＝0,但在數(shù)量積中,若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，這是因為|b|cosθ有可能為0,即a⊥b。②在實數(shù)中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|。 (3)a⊥b與a·b＝0等價嗎? ab(5)a·b中的“·”能省略不寫嗎？(6)對于向量a,b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立嗎？提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向與c相同或相反，而a·(b·c)≠0時其方向與a相同或相反，而a與c方向不一定相同,故該等式不一定成立．[課前反思]; 知識點1算名師指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cosθ。[思考2]你認(rèn)為，求平面向量數(shù)量積的步驟是什么?(1)求a與b的夾角θ,θ∈[0，π];(2)求|a|和|b|；(3)代入公式求a·b的值．1．(1)已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4,|b|＝2，求:①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．(2)設(shè)正三角形ABC的邊長為錯誤!，AB＝c,BC＝a，CA＝b，求a·b＋b·c＋c·a。 [嘗試解答](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12。(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a與b、b與c、c與a的夾角均為120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝錯誤!×錯誤!×cos120°×3＝－3.類題·通法(1)求兩個向量的數(shù)量積,首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩個向量 (2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律,向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項式的乘法運(yùn)1．(1)已知下列命題：①若a2＋b2＝0，則a＝b＝0；②已知a,b，c是三個非零向量，若a＋b＝0，則|a·c|＝|b·c|；③|a|·|b|〈|a·b|；④a·a·a＝|a|3;⑤若向量ababa與b的夾角為銳角．其中所有正確命題的序號是________．(2)已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角θ為60°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)；③|a－b|。解析：(1)對于①,∵a2＋b2＝0，∴|a|2＋|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝0,∴a＝b＝0,故對于②,∵a＋b＝0，∴a與b互為相反向量，設(shè)a與c夾角為θ，則b與c夾角為π－θ，則a·c＝|a||c|cosθ，b·c＝|b||c|cos(π－θ)＝－|b||c|cosθ，∴|a·c|＝|b·c|,所以②正確；對于③，|a·b|＝|a|·|b||cosθ|≤|a|·|b|,故③錯誤；對于④，a·a·a＝|a|2·a，其結(jié)果為向量，故④錯誤；對于⑤，當(dāng)a與b為同向的非零向量時，a·b＝|a||b|cos0＝|a|·|b|〉0，但夾角 (2)①a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos60°＝3.②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32③|a－b|＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!.1)①②2[思考]如何求向量的模|a|？提示:|a|＝錯誤!。2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61。 (1)求a與b的夾角θ; (2)求|a＋b|。[嘗試解答](1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61,得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.將|a|＝4，|b|＝3代入上式,得a·b＝－6，所以cosθ＝錯誤!＝錯誤!＝－錯誤!.又0≤θ≤π,所以θ＝錯誤!。 (2)因為|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b222＝|a|＋2a·b＋|b|22所以|a＋b|＝錯誤!.類題·通法在求向量的模時，直接運(yùn)用公式|a±b2＝錯誤!.a|＝a·a，但計算兩向量的和與差的長度用|a±b|＝2．(1)已知非零向量a＝2b＋2c,|b|＝|c|＝1，若a與b的夾角為,則|a|＝________；(2)已知向量a、b滿足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，則|a－b|＝________。解析：(1)由于c＝錯誤!a－b，所以c2＝錯誤!|a|2＋|b|2－2×錯誤!|a||b|×錯誤!，整理得|a|2－2|a|＝0，所以|a|＝2或|a|＝0(舍去)．(2)由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42,∴a2＋2a·b＋b2＝16。(*)∵|a|＝2，|b|＝3,∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(＊)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，∴|a－b|＝錯誤!.知識點3名師指津：利用cosθ＝錯誤!求出cosθ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ. 名師指津：兩非零向量a與b垂直的充要條件是a·b＝0.3．(1)已知向量a,b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________． [嘗試解答](1)設(shè)a與b的夾角為θ，依題意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝錯誤!,因為0≤θ≤π,故θ＝錯誤!。即錯誤!②－①得23b2－46a·b＝0，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!.∵θ∈[0，π],∴θ＝錯誤!.類題·通法 (1)求向量的夾角的關(guān)鍵是計算a·b及|a||b|,在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cosθ算cosθ＝|a||b|，最后借助θ∈[0,π]，求出θ值．(2)在個別含有|a|,|b|與a·b的等量關(guān)系式中,常利用消元思想計算cosθ的值．解：由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3.由c⊥d，得c·d＝0,即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60 [課堂歸納·感悟提升] (1)數(shù)量積的計算，見講1； (2)向量的模的計算，見講2； (3)向量的夾角及垂直問題，見講3. (1)在實數(shù)運(yùn)算中，若ab＝0,則a與b中至少有一個為0。而在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,不能從a·b＝0推出a＝0或b＝0。實際上由a·b＝0可推出以下四種結(jié)論： (2)在實數(shù)運(yùn)算中，若a,b∈R，則|ab|＝|a|·|b|，但對于向量a,b，卻有|a·b|≤|a||b|，當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立．這是因為|a·b|＝|a||b||cosθ|，而|cosθ|≤1. (3)實數(shù)運(yùn)算滿足消去律：若bc＝ca，c≠0，則有b＝a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,若a·b＝a·c(a≠0)，則向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c。 (4)實數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律,但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．課下能力提升(十九)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]1．下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是()①0·a＝0；②a·b＝b·a;③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.解析：選C①②③正確，④⑤錯誤,|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|≥a·b，(a·b)2＝(|a|·|b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.2．已知|b|＝3,a在b方向上的投影是錯誤!，則a·b為()∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×錯誤!＝錯誤!.ABCMBCAMPAMAPPMAPPB＋PC)等于()49A.B。錯誤!C．－錯誤!D．－錯誤!9且AP＝2PM,∴|AP|＝錯誤!.＝錯誤!。AP·(PB＋PC)＝AP·2PM＝AP·AP＝(AP)2＝錯誤!24。如圖所示，在平行四邊形ABCD中，|AB|＝4,|AD|＝3,∠DAB＝60°。求：(1)AD·BC; (2)AB·CD；(3)AB·DA。解：(1)AD·BC＝|AD|2＝9；(2)AB·CD＝－|AB|2＝－16；(3)AB·DA＝|AB||DA|cos(180°－60°)＝4×3×錯誤!＝－6.題組2向量的模解析:選B根據(jù)題意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝錯誤!.故選B。6．若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72,則|a|＝()解析：選C∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72,∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|________.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，∴|a＋2b|＝錯誤!，|a－2b|＝錯誤!。故cos120°＝錯誤!＝錯誤!錯誤!＝錯誤!，即錯誤!＝錯誤!。23答案：3題組3兩向量的夾角與垂直問題8．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為()AB°解析：選C因為(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－錯誤!|b|2.設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝錯誤!＝錯誤!＝－錯誤!，故θ＝120°。9．已知|a|＝3，|b|＝2,且a，b的夾角為60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的)A。錯誤!B.錯誤!C.錯誤!D。錯誤!解析:選C由題意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，3m×32＋(5m－3)×3×2cos60°－5×22＝0，解得m＝錯誤!.10．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，則a與b的夾角θ的取值范解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cosθ1－2×16＝－14－3×3×4cosθ≥4，∴cosθ≤－2，∴θ∈錯誤!。 (1)求(2a－b)·(a＋b)；(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求實數(shù)λ的值．解：(1)由題意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×錯誤!＝2.∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12。(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12。升綜合練]1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a與b的夾角θ＝45°,則向量a在向量b上的投影為()解析：選A由已知|a|＝3，|b|＝5，cosθ＝cos45°＝錯誤!，而向量a在向量b上的投影為|a|cosθ＝3×錯誤!＝錯誤!。ab－4e2，ab|故選C.AD解析：選D因為AC＝BC－BA＝錯誤!BD－BA，所以AC·AD＝(錯誤!BD－BA)·AD＝錯誤!BD·AD－BA·AD。又AD⊥AB,所以BA·AD＝0,所以AC·AD＝錯誤!BD·AD.又BD＝AD－AB,所以AC·AD＝錯誤!BD·AD＝錯誤!(AD－AB)·AD＝錯誤!AD2－錯誤!AB·AD＝錯誤!。解析：選B|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝x2，兩式相減得4a·b＝1－x2.又a·b＝－錯誤!x，所以1－x2＝－錯誤!x，解得x＝2或x＝－錯誤!(舍去)．故選B.5．已知平面向量α，β,|α|＝1，|β|＝2,α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0,2α·β＝所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝錯誤!。錯誤!ete求實數(shù)t的取值范圍．∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2t