專(zhuān)題20 全稱(chēng)量詞與存在量詞（教師版含解析）-2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義（第1套）

專(zhuān)題20全稱(chēng)量詞與存在量詞學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的意義2.能正確使用存在量詞對(duì)全稱(chēng)量詞命題進(jìn)行否定3.能正確使用全稱(chēng)量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定知識(shí)精講知識(shí)精講高中必備知識(shí)點(diǎn)1：全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)命題(1)短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)“?”表示，含有全稱(chēng)量詞的命題，叫做全稱(chēng)命題．(2)全稱(chēng)命題的表述形式：對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立，可簡(jiǎn)記為：?x∈M，p(x)．(3)常用的全稱(chēng)量詞還有“所有”、“每一個(gè)”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部”，表示整體或全部的含義．高中必備知識(shí)點(diǎn)2：存在量詞與特稱(chēng)命題(1)短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示，含有存在量詞的命題，叫做特稱(chēng)命題．(2)特稱(chēng)命題的表述形式：存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立，可簡(jiǎn)記為，?x0∈M，p(x0)．(3)存在量詞：“有些”、“有一個(gè)”、“存在”、“某個(gè)”、“有的”，表示個(gè)別或一部分的含義．高中必備知識(shí)點(diǎn)3：命題的否定(1)全稱(chēng)命題p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：?x0∈M，?p(x0)，全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題．(2)特稱(chēng)命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定?p：?x∈M，?p(x)，特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題．高中必備知識(shí)點(diǎn)4：常見(jiàn)的命題的否定形式原語(yǔ)句是都是>至少有一個(gè)至多有一個(gè)對(duì)任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)存在x∈A使p(x)假典例剖析典例剖析高中必會(huì)題型1：全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的判斷1．判斷下列命題是全稱(chēng)量詞命題還是存在量詞命題.(1)任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)數(shù)；(2)至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被11整除，又能被9整除；(3)，；(4)，.【答案】(1)全稱(chēng)量詞命題；(2)存在量詞命題；(3)全稱(chēng)量詞命題；(4)存在量詞命題.(1)命題中含有全稱(chēng)量詞“任何一個(gè)”，故是全稱(chēng)量詞命題.(2)命題中含有存在量詞“至少有一個(gè)”，是存在量詞命題.(3)命題中含有全稱(chēng)量詞“”，是全稱(chēng)量詞命題.(4)命題中含有存在量詞“”，是存在量詞命題.2．用符號(hào)“”“”表達(dá)下列命題.(1)實(shí)數(shù)都能寫(xiě)成小數(shù)的形式；(2)存在一實(shí)數(shù)對(duì)，使成立；(3)任意實(shí)數(shù)乘，都等于它的相反數(shù)；(4)存在實(shí)數(shù)x，使得.【答案】答案見(jiàn)解析.解：(1)，能寫(xiě)成小數(shù)形式；(2)，使；(3)；(4).3．將下列命題用“”或“”表示．(1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；(2)方程至少存在一個(gè)負(fù)根.【答案】(1)，；(2)，．(1)原命題為全稱(chēng)命題，可改寫(xiě)為“，”；(2)原命題為特稱(chēng)命題，可改寫(xiě)為“，”.4．判斷下列語(yǔ)句是全稱(chēng)量詞命題，還是存在量詞命題．(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直．(4)存在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸無(wú)交點(diǎn)．【答案】(1)全稱(chēng)量詞命題；(2)存在量詞命題；(3)全稱(chēng)量詞命題；(4)存在量詞命題．解：(1)可以改為所有的凸多邊形的外角和等于360°，故為全稱(chēng)量詞命題．(2)含有存在量詞“有的”，故是存在量詞命題．(3)若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱(chēng)量詞命題．(4)含有量詞“存在”，是存在量詞命題．5．判斷下列語(yǔ)句是否為全稱(chēng)量詞命題或存在量詞命題.(1)所有不等式的解集A，都滿(mǎn)足A?R；(2)有些實(shí)數(shù)a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(3)對(duì)任意a，b∈R，若a>b，則；(4)自然數(shù)的平方是正數(shù).【答案】(1)全稱(chēng)量詞命題；(2)是存在量詞命題；(3)全稱(chēng)量詞命題；(4)全稱(chēng)量詞命題.(1)命題中強(qiáng)調(diào)全稱(chēng)量詞“所有”，所以該命題為全稱(chēng)量詞命題；(2)命題中強(qiáng)調(diào)存在量詞“有些”，所以該命題為存在量詞命題；(3)命題中強(qiáng)調(diào)全稱(chēng)量詞“任意”，所以該命題為全稱(chēng)量詞命題；(4)該命題實(shí)質(zhì)是“任意一個(gè)自然數(shù)的平方都是正數(shù)”，強(qiáng)調(diào)全稱(chēng)量詞“任意”，所以該命題為全稱(chēng)量詞命題.高中必會(huì)題型2：全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題真假判斷1．指出下列命題是全稱(chēng)命題還是特稱(chēng)命題，并判斷它們的真假.(1)，是奇數(shù)；(2)，使；(3)能被整除的整數(shù)末位數(shù)是；【答案】(1)是全稱(chēng)命題，真命題；(2)是特稱(chēng)命題，假命題；(3)是全稱(chēng)命題，假命題.解:(1)是全稱(chēng)命題，因?yàn)?，都是奇?shù)，所以該命題是真命題.(2)是特稱(chēng)命題.因?yàn)椴淮嬖?，使成立，所以該命題是假命題.(3)是全稱(chēng)命題.因?yàn)槟鼙?整除，但末位數(shù)不是0，因此該命題是假命題.2．用符號(hào)“?”與“?”表示下列含有量詞的命題，并判斷真假：(1)實(shí)數(shù)都能寫(xiě)成小數(shù)形式.(2)有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù).(3)不論m取什么實(shí)數(shù)，方程x2+x-m=0必有實(shí)根.(4)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+x+4≤0.【答案】答案見(jiàn)解析.(1)?a∈R，a都能寫(xiě)成小數(shù)形式，此命題是真命題.(2)?x∈Q，x沒(méi)有倒數(shù)，有理數(shù)0沒(méi)有倒數(shù)，故此命題是真命題.(3)?m∈R，方程x2+x-m=0必有實(shí)根.當(dāng)m=-1時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，是假命題.(4)?x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立，所以為假命題.3．判斷下列語(yǔ)句是全稱(chēng)量詞命題，還是存在量詞命題，并判斷真假(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的梯形對(duì)角線(xiàn)相等；(3)對(duì)任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一個(gè)函數(shù)，圖象是直線(xiàn)；(5)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直.【答案】(1)(3)(5)是全稱(chēng)量詞命題；(2)(4)是存在量詞命題；(1)(2)(3)(4)(5)是真命題.(1)凸多邊形的外角和等于360°表示所有凸多邊形的外角和等于360°，所以是全稱(chēng)量詞命題，由多邊形的外角和定理可知此命題為真命題；(2)有的梯形對(duì)角線(xiàn)相等表示一部分的含義，所以是存在量詞命題，如等腰梯形的對(duì)角線(xiàn)相等，所以是真命題；(3)對(duì)任意角α，表示全部的含義，所以是全稱(chēng)量詞命題，由同角三角函數(shù)的關(guān)系可知是真命題；(4)有一個(gè)函數(shù)表示部分含義，所以是存在量詞命題，如一次函數(shù)的圖像是直線(xiàn)，所以此命題是真命題；(5)表示所有的菱形，所以是全稱(chēng)量詞命題，由菱形的性質(zhì)可知是真命題，綜上，(1)(3)(5)是全稱(chēng)量詞命題；(2)(4)是存在量詞命題；(1)(2)(3)(4)(5)是真命題.4．判斷下列命題是不是全稱(chēng)量詞命題，如果是，指出其中的全稱(chēng)量詞，并判斷真假：(1)所有正方形都是平行四邊形；(2)能被5整除的整數(shù)末位數(shù)字為0.【答案】答案見(jiàn)解析(1)是全稱(chēng)量詞命題，全稱(chēng)量詞為“所有”，是真命題；(2)是全稱(chēng)量詞命題，其中省略了全稱(chēng)量詞“所有”，是假命題.5．用符號(hào)“?”或“?”表示下面的命題，并判斷真假:(1)實(shí)數(shù)的平方大于或等于0；(2)存在一對(duì)實(shí)數(shù)(x，y)，使2x-y+1<0成立.【答案】(1)?x∈R，有x2≥0，是真命題；(2)?(x，y)，x∈R，y∈R，使2x-y+1<0，是真命題.(1)這是全稱(chēng)量詞命題，隱藏了全稱(chēng)量詞“所有的”.改寫(xiě)后命題為:?x∈，有x2≥0，是真命題.(2)改寫(xiě)后命題為:?(x，y)，x∈，y∈，使2x-y+1<0，是真命題.如x=0，y=2時(shí)，2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.高中必會(huì)題型3：含有一個(gè)量詞的命題的否定1．已知命題p：“?x∈R，x2＞0”，則：__．【答案】?x∈R，x2≤0．解：p：“?x∈R，x2＞0”，則：?x∈R，x2≤0，故答案為：?x∈R，x2≤0．2．命題“存在實(shí)數(shù)x，y，使得x+y>1”，用符號(hào)表示為_(kāi)______，此命題的否定是_____，是_____(填“真”或“假”)命題.【答案】?x0，y0∈R，x0+y0>1；?x，y∈R，x+y≤1；假此命題用符號(hào)表示為?x0，y0∈R，x0+y0>1，此命題的否定是?x，y∈R，x+y≤1，原命題為真命題，所以它的否定為假命題.3．命題“”的否定為_(kāi)_______．【答案】因?yàn)樘胤Q(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題，所以“”的否定為“”.故答案為：.4．若命題，方程恰有一解，則：_______.【答案】，方程無(wú)解或至少有兩解.因?yàn)榈姆穸?，方程恰有一解的否定為方程無(wú)解或至少有兩解，所以，方程無(wú)解或至少有兩解，故答案為，方程無(wú)解或至少有兩解.5．命題“?x∈Z，x2+2x+m＞0”的否定是________．【答案】?x∈Z，x2+2x+m≤0因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，所以命題“?x∈Z，x2+2x+m＞0”的否定是：?x∈Z，x2+2x+m≤0．故答案為：?x∈Z，x2+2x+m≤0．高中必會(huì)題型4：根據(jù)命題的真假求參數(shù)1．已知命題存在實(shí)數(shù)，使成立.(1)若命題P為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)命題任意實(shí)數(shù)，使恒成立.如果p，q都是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2).解：(1)存在實(shí)數(shù)，使成立或，實(shí)數(shù)a的取值范圍為；(2)任意實(shí)數(shù)，使恒成立，，，，由題p，q都是假命題，那它們的補(bǔ)集取交集，實(shí)數(shù)a的取值范圍.2．已知命題p：“至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使不等式成立”的否定為假命題，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】由題意知，命題p為真命題，即在上有解，令，所以，又因?yàn)樽畲笾翟诨驎r(shí)取到，∴只需或時(shí)，即可，∴或，解得或，即．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．3．令p(x)：ax2+2x+1＞0，若對(duì)?x∈R，p(x)是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1，+∞)∵p(x)：ax2+2x+1＞0，若對(duì)?x∈R，p(x)是真命題，即ax2+2x+1＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，+∞)4．已知，，，，若，都是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】[－2，－1)，，若真，可得，而，時(shí)，取得最小值，則；，，若真，可得△，解得．若，都是真命題，可得，則．故的取值范圍是，．5．若對(duì)于一切且，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】若，由得；若，由得.若對(duì)于一切且，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．對(duì)點(diǎn)精練對(duì)點(diǎn)精練1．設(shè)非空集合P，Q滿(mǎn)足P∩Q=Q且P≠Q(mào)，則下列命題是假命題的是()A．?x∈Q，有x∈P B．?x∈P，有x?QC．?x?Q，有x∈P D．?x?Q，有x?P【答案】D因?yàn)镻∩Q=Q且P≠Q(mào)，所以集合Q是集合P的真子集，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有元素集合Q中是沒(méi)有的，所以A，B，C正確，D錯(cuò)誤.故選：D2．下列命題中，存在量詞命題的個(gè)數(shù)是()①實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)；②正方形的四條邊相等；③存在整數(shù)n，使n能被11整除.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A①可改寫(xiě)為，任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，故為全稱(chēng)量詞命題；②可改寫(xiě)為：任意正方形的四條邊相等，故為全稱(chēng)量詞命題；③是存在量詞命題.故選：A3．將a2+b2+2ab=(a+b)2改寫(xiě)成全稱(chēng)量詞命題是()A．?a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2B．?a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2C．?a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2D．?a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2【答案】D命題對(duì)應(yīng)的全稱(chēng)量詞命題為：?a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2.故選：D4．“對(duì)于任意a>0，關(guān)于x的方程x3+ax+1=0至多有三個(gè)實(shí)數(shù)根”的否定是()A．對(duì)于任意a≤0，關(guān)于x的方程x3+ax+1=0至多有三個(gè)實(shí)數(shù)根B．對(duì)于任意a>0，關(guān)于x的方程x3+ax+1=0至少有四個(gè)實(shí)數(shù)根C．存在a>0，關(guān)于x的方程x3+ax+1=0至多有三個(gè)實(shí)數(shù)根D．存在a>0，關(guān)于x的方程x3+ax+1=0至少有四個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】D選D.全稱(chēng)量詞“任意”改為存在量詞“存在”，另一方面“至多有三個(gè)”的否定是“至少有四個(gè)”.

故選：D5．下列四個(gè)命題中，既是特稱(chēng)命題又是真命題的是()A．斜三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角 B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使C．任一無(wú)理數(shù)的平方必是無(wú)理數(shù) D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)，使【答案】B對(duì)于A，命題可改寫(xiě)為：對(duì)于任意斜三角形，其內(nèi)角均為銳角或鈍角，為全稱(chēng)命題，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，命題可改寫(xiě)為：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，為特稱(chēng)命題，且為真命題，B正確；對(duì)于C，命題可改寫(xiě)為：對(duì)于任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，其平方均為無(wú)理數(shù)，為全稱(chēng)命題，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，命題為特稱(chēng)命題，但當(dāng)時(shí)，，命題為假命題，D錯(cuò)誤.故選：B.6．命題“”的否定是()A． B．C． D．【答案】C因?yàn)槿Q(chēng)量詞的否定為存在量詞，所以命題“”的否定是“”.故選：C7．命題“存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根”的否定是()A．存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)根B．不存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于x的方程有實(shí)根C．對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根D．至多有一個(gè)實(shí)數(shù)，使關(guān)于x的方程有實(shí)根【答案】C由題意，命題“存在實(shí)數(shù)m，使關(guān)于x的方程x2+mx﹣1＝0有實(shí)數(shù)根”是存在性命題，根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系，可得命題的否定為：“對(duì)任意實(shí)數(shù)m，方程x2+mx﹣1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根”.故選：C.8．已知命題p：?x∈R，x2﹣2x>0，則()A．￢p：?x0∈R，x2﹣2x<0 B．￢p：?x∈R，x2﹣2x<0C．￢p：?x0∈R，x2﹣2x≤0 D．￢p：?x∈R，x2﹣2x≤0【答案】C根據(jù)全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，可得.故選：C.9．命題“?a，b∈R，使方程ax=b都有唯一解”的否定是()A．?a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一B．?a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一C．?a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在D．?a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在【答案】D選D.該命題的否定：?a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在.【誤區(qū)警示】解答本題，在否定結(jié)論時(shí)容易出現(xiàn)考慮不全面而出錯(cuò)的情況.故選：D10．下列全稱(chēng)量詞命題的否定是假命題的個(gè)數(shù)是()①所有能被3整除的數(shù)都能被6整除；②所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；③三角形的外角至少有兩個(gè)鈍角.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B對(duì)于①，“所有能被3整除的數(shù)能被6整除”的否定形式為“存在能被3整除的數(shù)不能被6整除”正確，如3，是能被3整除，不能被6整除的數(shù)，故①的否定形式正確；對(duì)于②，所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)，其否定為：，，不是正數(shù)，故②的否定形式正確；對(duì)于③，該命題的否定：存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角，而銳角三角形的三個(gè)外角都是鈍角，所以這是一個(gè)假命題.故選：B．11．命題“，”的否定為()A．， B．不存在，C．， D．，【答案】D命題“，”的否定為“，”故選：D12．已知命題p：，；命題q：若，則下列命題為真命題的是()A． B． C． D．【答案】B解：命題，使成立，故命題為真命題；當(dāng)，時(shí)，成立，但不成立，故命題為假命題；故命題，，均為假命題，命題為真命題．故選：B．13．已知命題:“，使得”是真命題，則實(shí)數(shù)的最大值是____.【答案】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椤?，使得”是真命題，所以.故答案為：14．若命題?x∈R，x2+4mx+1＜0為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】[﹣，]解：由命題?x∈R，x2+4mx+1＜0為假命題，則?x∈R，x2+4mx+1≥0為真命題，則＝(4m)2﹣4≤0，解得：﹣，故答案為：[﹣，]．15．若命題“?x0∈R，使得3＋2ax0＋1<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．【答案】[－，]命題“?x0∈R，使得3＋2ax0＋1<0”是假命題，即“?x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命題，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.故答案為：[－，].16．若“有成立”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________【答案】由題意可得，函數(shù)的最大值為1，∴.故答案為：.17．判斷下列命題的否定的真假：(1)任何一個(gè)平行四邊形的對(duì)邊都平行(2)非負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)(3)有的四邊形沒(méi)有外接圓(4)，使得【答案】答案見(jiàn)解析(1)命題的否定為“存在一個(gè)平行四邊形的對(duì)邊不平行”，由平行四邊形的定義知該命題的否定是假命題；(2)命題的否定為“存在一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)”，因?yàn)?，不是正?shù)，所以該命題的否定是真命題；(3)命題的否定為“所有四邊形都有外接圓”，因?yàn)橹挥袑?duì)角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓，所以原命題為真命題，命題的否定為假命題；(4)命題的否定為“，都有”，因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，所以原命題為真命題，命題的否定為假命題.18．寫(xiě)出下列全稱(chēng)量詞命題的否定：(1)任何一個(gè)平行四邊形的對(duì)邊都平行；(2)數(shù)列：1，2，3，4，5中的每一項(xiàng)都是偶數(shù)；(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.【答案】答案見(jiàn)解析.(1)其否定為：存在一個(gè)平行四邊形，它的對(duì)邊不都平行；(2)其否定為：數(shù)列：1，2，3，4，5中至少有一項(xiàng)不是偶數(shù)；(3)其否定為：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在；(4)其否定為：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.19．判斷下列命題是全稱(chēng)命題還是特稱(chēng)命題，寫(xiě)出這些命題的否定，并說(shuō)出這些否定的真假，不必證明．(Ⅰ)存在實(shí)數(shù)x，