專(zhuān)題 導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題（解析版）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)題型精準(zhǔn)復(fù)習(xí)（人教A版）

專(zhuān)題導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題1.零點(diǎn)存在定理①零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．②零點(diǎn)存在定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得.2.隱零點(diǎn)的處理策略已知函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程的根為，則有：①關(guān)系式成立，盡可能將復(fù)雜的關(guān)系式變形為常見(jiàn)的整式或分式，特別注意替換其中的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)式，；②注意確定的合適范圍.考點(diǎn)一求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)考點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)1.已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)2.存在零點(diǎn)考點(diǎn)三隱零點(diǎn)考點(diǎn)四有關(guān)三角函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)一求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)例1．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有兩個(gè)零點(diǎn) B．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心C．有兩個(gè)極值點(diǎn) D．直線是曲線的切線【答案】C【分析】利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性和極值、最值即可求解A,C，再根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系可判斷B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】，令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，且，所以在各有一個(gè)零點(diǎn)，共3個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；由單調(diào)性可知有兩個(gè)極值點(diǎn)為，C正確；對(duì)于D，令，解得則，但是當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線，有，即直線不經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，D錯(cuò)誤，故選:C.例2．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性即可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】的定義域?yàn)?，由題意可得，因?yàn)閱握{(diào)遞增且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以存在唯一一點(diǎn)使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以至多有兩個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，，所以?個(gè)零點(diǎn)，故選：C例3．（2022秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)設(shè)，求在區(qū)間上的最值；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)最大值為，最小值為(2)在上有兩個(gè)零點(diǎn)【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可求最值；(2)討論函數(shù)在上的單調(diào)性，并用零點(diǎn)的存在性定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值.（2）先討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由（1）可知，在上遞減，，所以在上遞減，因?yàn)?，所以在上有唯一零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以是偶函?shù)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn).例4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】答案見(jiàn)解析【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性并畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】由得，設(shè)，

則，令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，令，得，此時(shí)單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，g(x)取得極大值即，由，單調(diào)遞增，可得與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，由，單調(diào)遞減，可得與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，畫(huà)出的大致圖象如圖，可得m≤0或m=時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m>時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)m≤0或m=時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m>時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn).例5．（2021春·陜西西安·高二西安中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明.(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得到最值，即可證明；（2）根據(jù)題意，分與兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，得到函數(shù)的最小值，然后證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，，所以.（2）因?yàn)楹瘮?shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，且，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，可得，由，得，由，得，且，令，則，由，可得，則時(shí)，時(shí)，所以上遞增，上遞減，故，所以，，趨向正無(wú)窮則趨于正無(wú)窮，此時(shí)，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)1.已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)例6．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得有三個(gè)不同的零點(diǎn)，畫(huà)出圖形，利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程，進(jìn)而可得切線斜率，結(jié)合圖象關(guān)系即可求解．【詳解】如圖，由有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得有三個(gè)不同的零點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)的直線與的切點(diǎn)為,，由，得，，故切線方程為，把定點(diǎn)代入得：，即．，即直線的斜率為．則使有三個(gè)不同的零點(diǎn)的的取值范圍是．故選：D例7．（2023春·河南鄭州·高二鄭州市第二高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求解單調(diào)區(qū)間，（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，由，得，且，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由，得；由，得所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，為又，，，且所以實(shí)數(shù)的取值范圍為例8．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則不可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)，令，孤立參數(shù)求出的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的端點(diǎn)值，求解函數(shù)的值域，然后求解的范圍即可，即可得答案．【詳解】令，可得，令，可得，令，恒成立，函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)，所以，所以，在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)，所以有，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，，則的可能取值為：.故選：D．例9．（2023春·重慶萬(wàn)州·高二重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）將導(dǎo)數(shù)化為求其零點(diǎn)并討論零點(diǎn)的大小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解.（2）結(jié)合第（1）問(wèn)的結(jié)果，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值的符號(hào)構(gòu)造不等式求解.【詳解】（1）∵，∵，∴，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增．綜上所述，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）情況一：若，即時(shí)，由的單調(diào)性，其在上恒為正，無(wú)零點(diǎn)，在增區(qū)間至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意．情況二：若，即時(shí)，由于，由零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，取，則，，，，當(dāng)時(shí)，，由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在恒為正，無(wú)零點(diǎn)，由零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，情況三：若，即時(shí)，同情況二可得在增區(qū)間恒為正，無(wú)零點(diǎn)，僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意.綜上，a的取值范圍是．10．（安徽省安慶市2023屆高三模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，..(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，求和的值；(2)若，且的導(dǎo)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由及求得和的值；（2）恰有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有兩根，用導(dǎo)數(shù)研究的圖象，由與有兩個(gè)交點(diǎn)得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程是，所以即解得（2）由得，.顯然因此.令且，則，解方程得，，因此函數(shù)在和內(nèi)單增，在和內(nèi)單減，且極大值為，極小值為.的大致圖象如下：由圖象可知,當(dāng)或時(shí)，直線與曲線分別有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題主要有兩種方法:（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最(極)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，主要是應(yīng)用分類(lèi)討論思想，其本質(zhì)就是在含參函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上再判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題;(2)分離參變量，即由分離參變量，得，研究與圖象交點(diǎn)問(wèn)題。例11．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求在上的最值；(2)若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小值為，最大值為.(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)直接求解函數(shù)最值即可；（2）由題知方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，研究其值域得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解即可得答案.【詳解】（1）解：，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，，所以，函?shù)在上的最小值為，最大值為.（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)沒(méi)有零點(diǎn)，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在處取得最大值因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，?dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，，即，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.2.存在零點(diǎn)例12．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)，若在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_．【答案】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后根據(jù)在上有解列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)，則再由在上有解，是二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，可得，或，即，或解得故答案為:例13．（2023春·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，結(jié)合題意可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，，則恒成立，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，函數(shù)有零點(diǎn)，則，解得．故答案為：．例14．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的導(dǎo)函數(shù)；(2)若在上有零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算可得；（2）由（1）及的取值范圍可得恒成立，即可得到在上單調(diào)遞增，即可求出函數(shù)的最值，依題意可得，即可求出參數(shù)的取值范圍；（1）解：因?yàn)椋裕?）解：由（1）知，因?yàn)?，所以，所以，從而在上單調(diào)遞增，所以，．因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，所以，解得．例15．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)存在零點(diǎn)，函數(shù)存在零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞增，，得到，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算值域得到答案.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故函數(shù)的零點(diǎn)，由，可得，存在零點(diǎn)，即方程在有解，令，則．所以在單調(diào)遞增，則的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D考點(diǎn)三隱零點(diǎn)例16．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，證明：存在唯一的零點(diǎn)，且.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）把函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有兩根，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可求解；（2）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理證明存在唯一零點(diǎn)，利用函數(shù)最值符合證明不等式成立.【詳解】（1）令，則，記，由題意，直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)圖象，如圖:由圖可知，，直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）依題意，，的定義域?yàn)?，則，令，，顯然在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，且時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)?，所以時(shí)，，時(shí)，，故存在唯一的零點(diǎn)；由得，所以.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故有唯一的零點(diǎn)，且.例17．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）分析定義域并求解導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論與時(shí)的正負(fù)，從而可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）結(jié)合（1）的答案判斷得時(shí)，存在兩個(gè)零點(diǎn)，需，再結(jié)合，可得函數(shù)在上有零點(diǎn)，再求解，并構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性求解得，從而可得函數(shù)在上有零點(diǎn)，從而可得的取值范圍為.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，∵，∴．①?dāng)時(shí)，在上恒成立，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．②當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上可知：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，又函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，∴，∴．又，∴，使得，又，設(shè)，則，∵，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴，使得，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過(guò)函數(shù)單調(diào)性列不等式，然后分別在的兩側(cè)取值判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)值小于，即取小于，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性與最大值的方式，從而得函數(shù)在和上存在零點(diǎn).例18．（2021春·陜西延安·高二子長(zhǎng)市中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求證：恒成立；(2)令，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明出不等式恒成立；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值，可得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，令，則恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，即恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，得證．（2），則，當(dāng)時(shí)，在上遞增，∴存在，使得，∴時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，又，故存在唯一的零點(diǎn)，使，即函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查學(xué)生邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．例19．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)若時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若，，方程有解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，可得與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，再結(jié)合大致圖象即可求解；（2）由方程有解，即有解.設(shè)，則則，設(shè)，則恒成立，可得在單調(diào)遞增，結(jié)合，，可得，可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，進(jìn)而求解.【詳解】（1）函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即有3個(gè)根，即有3個(gè)根，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；，令，解得；令解得或，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又，，時(shí)，所以，即的取值范圍為.（2）由方程有解，即有解.設(shè)，則，設(shè)，則恒成立，故在單調(diào)遞增，又，，且存在唯一的，使得，所以，且時(shí)，；時(shí)，.即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，時(shí)，時(shí)，故要使得有解，只需，故，故，解得，而在上單調(diào)遞增，故，又因?yàn)?，故的取值范圍?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合大致圖象進(jìn)行求解.例20．（2023春·河南·高三滎陽(yáng)市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上的最大值在區(qū)間內(nèi)，求整數(shù)m的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式方程求切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定其最大值的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)求其最大值的范圍，由此可求整數(shù)m的值．【詳解】（1），其定義域?yàn)?，，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）由，得，所以．令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以存在，使得，即，即．故?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，（等號(hào)僅在時(shí)成立），所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（等號(hào)僅在時(shí)成立）．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，．所以，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定函數(shù)的極值點(diǎn)的存在，并由此確定函數(shù)的最值.考點(diǎn)四有關(guān)三角函數(shù)的零點(diǎn)例21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，記直線OP（O為坐標(biāo)系原點(diǎn)）的斜率為k，則使得的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）.A．0 B．僅有1個(gè) C．僅有2個(gè) D．至少有3個(gè)【答案】B【分析】由題意可知求點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于求的解的個(gè)數(shù)，令，求，由的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出的解的個(gè)數(shù)，得出選項(xiàng).【詳解】解：由題意可知：，求的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即求的解的個(gè)數(shù)，即的解的個(gè)數(shù).令，則，因?yàn)?，所以恒成立，又，所以恒成立，即在上單調(diào)遞增；所以至多有一解，又，，所以存在且只存在一點(diǎn)，使得.故選：B例22．（2022秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解.（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，然后觀察零點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)?，且，，所以切線方程為，即所求切線方程為．（2）．因?yàn)椋?，，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在上是減函數(shù)，且，所以在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．例23．（2021·陜西榆林·陜西省神木中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求在上的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，試判斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）依題意得，分當(dāng)與當(dāng)兩類(lèi)討論，即可得到在上的單調(diào)性；（2）易知，，利用導(dǎo)數(shù)分析當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到答案．【詳解】（1）∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2），，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，∴在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，又，∴在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．例24．（2021春·陜西渭南·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求證：恒成立；(2)令，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得函數(shù)，從而可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，得證．（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，可得當(dāng)時(shí)，在上遞增，得到函數(shù)的極值，即可得到其零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，令，則恒成立∴在上單調(diào)遞增，∴，即恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，得證．（2），則，當(dāng)時(shí)，在上遞增，，，∴存在，使得，∴時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增．又，，，故存在唯一的零點(diǎn)，使，即函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.例25．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】B【分析】先證明函數(shù)為周期函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)是周期為的周期函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，令，可得或或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以函?shù)在存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以函?shù)在存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以函?shù)在不存在零點(diǎn)；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，所以在上共有個(gè)零點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】對(duì)于具有周期性的函數(shù)的性質(zhì)的研究一般先確定函數(shù)的周期，再研究函數(shù)在一個(gè)周期性質(zhì)，由此解決問(wèn)題.一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則滿足條件的實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意可得：方程有3個(gè)不同的根，構(gòu)建結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得，再根據(jù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式即可．【詳解】函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程有3個(gè)不同的根構(gòu)建，∴∴當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．，∴構(gòu)建，則令，則∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)的圖象如圖所示，且故滿足的實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值為3故選：C．2．（2022·高二單元測(cè)試）函數(shù)與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或或【答案】C【分析】直線過(guò)定點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率并結(jié)合圖象分析判斷.【詳解】∵過(guò)定點(diǎn)，且在上，又∵，則，∴在處的切線斜率為，結(jié)合圖象可得：當(dāng)時(shí)，與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意；當(dāng)時(shí)，與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則不符合題意；當(dāng)時(shí)，與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意；當(dāng)時(shí)，與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則不符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故選：C.3．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】先求時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)，再根據(jù)為偶函數(shù)，可得時(shí)，函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，由此可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以不是函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得最大值，所以當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，又函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以在時(shí)，還有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：A4．（2023春·四川成都·高三成都七中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，其中表示不大于x的最大整數(shù)（如，），則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問(wèn)題，有圖形可得當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，即可得結(jié)果.【詳解】令，則，故函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問(wèn)題，且，即，如圖所示：由圖可得；當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，構(gòu)建，則當(dāng)上恒成立，則當(dāng)上單調(diào)遞增，故，可得：當(dāng)時(shí)，則，即當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；綜上所述：函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).故選：C.5．（2023·四川涼山·二模）已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)且，則函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，有；，有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，，，，，由零點(diǎn)存在定理，所以在，，上各有一個(gè)零點(diǎn)，又是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn).故選：A二、多選題6．（2022秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)），則（

）A．時(shí)，函數(shù)在處的切線方程是B．時(shí)，對(duì)任意的恒成立C．時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)D．時(shí)，有唯一零點(diǎn)【答案】AC【分析】對(duì)A：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解；對(duì)B：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性及最值，分析說(shuō)明；對(duì)C、D：整理可得，將的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖象分析說(shuō)明.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程，A正確；當(dāng)時(shí)，，令，則∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則則對(duì)任意的恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B錯(cuò)誤；令，則令，則即的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程，表示過(guò)定點(diǎn)，斜率為的直線，結(jié)合圖象可得：當(dāng)或時(shí)，則與只有一個(gè)交點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)或時(shí)，則與有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)∴C正確，D錯(cuò)誤；故選：AC.7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，下列正確的是（

）A．若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則B．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則C．若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則，D．若有兩個(gè)零點(diǎn)，則【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法，導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故，函數(shù)的圖象如下圖所示：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，而，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C不正確；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有二個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)只有二個(gè)零點(diǎn)，因此選項(xiàng)B不正確，選項(xiàng)D正確，故選：AD三、填空題8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于x的方程有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【分析】參變分離得，求出的值域即的取值范圍．【詳解】有解，即，令，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以的值域?yàn)?，故的取值范圍為．故答案為：?．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】分離常數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y＝與y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令（x∈R），利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，再給合的正負(fù)分析即可得答案．【詳解】解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)?有兩個(gè)解，即y＝與y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令（x∈R），則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，又因當(dāng)時(shí)，＝＜0，當(dāng)時(shí)，＝＞0，當(dāng)時(shí)，＝＝0，要使y＝與y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0＜＜，即故的取值范圍為．故答案為：．四、解答題10．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)且.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)有極小值，無(wú)極大值(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，然后求解函數(shù)的極值；（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論分析其單調(diào)性即可知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）解：由題意得：，令，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以函數(shù)有極小值，無(wú)極大值.（2）由（1）得.因?yàn)?，①若，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以有極大值，極小值，又，所以函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).②若，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)，所以函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).③若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以有極大值，顯然極小值，又，所以函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.11．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；(2)判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)2個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在原理進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由，而，所以該函數(shù)在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為：；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?）可知：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以函?shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以函?shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）有個(gè)零點(diǎn).12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)的取值范圍分類(lèi)討論的單調(diào)性（2）通過(guò)（1）確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理列出關(guān)于的不等式解出的范圍即可(1)，（Ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞減（Ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞增（Ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減綜上所述，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減(2)由（1）知：當(dāng)時(shí)，即，在無(wú)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，即，在無(wú)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，只需即可即，綜上所述，13．（2022秋·貴州六盤(pán)水·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)極小值，無(wú)極大值；(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，明確函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值；（2）原問(wèn)題等價(jià)于的圖象與直線有唯一的交點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以時(shí)，函數(shù)取到極小值，無(wú)極大值；（2）令，可得，記，原問(wèn)題等價(jià)于的圖象與直線有唯一的交點(diǎn)，，在上單調(diào)遞增，且，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)，做出函數(shù)圖象：由圖可知，當(dāng)或時(shí)，的圖象與直線有唯一的交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.14．（2022秋·安徽·高三碭山中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若x=0為函數(shù)的極值點(diǎn)，且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義即可得到切線方程；（2）由函數(shù)的極值點(diǎn)確定參數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.（1）依題意，故；而，故，又故所求切線方程為；（2）令，則；，.而，解得，經(jīng)檢驗(yàn)成立所以，故函數(shù)的定義域?yàn)镽；令，解得或；故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；而，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出的大致圖象如圖所示，觀察可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知三次函數(shù)的極大值是，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如圖所示，求(1)，，的值；(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)，，；(2).【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷原函數(shù)的極值點(diǎn)，再利用代入法求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，于是有，由，所以有；（2）由（1）函數(shù)的極小值為，極大值為，而知函數(shù)的圖象如下圖所示因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.16．（2022·四川·高三統(tǒng)考對(duì)口高考）已知a，b為實(shí)數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)．【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用奇函數(shù)定義，列式計(jì)算作答.（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理判斷作答.【詳解】（1）因函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，，因此，恒成立，所以.（2）由（1）知，，，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)．17．（2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線l與直線垂直.(1)求切線l的方程；(2)判斷在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后利用垂直關(guān)系求實(shí)數(shù)a的值，最后求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1