第十二章第二節(jié)一階微分方程

第二 一階微分方 可分離變量二 齊次方章分微 一階線性方分 全微分方-1第二 一階微分方y(tǒng)f(x,十 P(x,y)dxQ(x,y)dy十二 分 yf(x,分y y0 x 0-2第二 一階微分方 可變量分離方程dyf(x)f( 十二章 M1(x)M2(y)dxN1(x)N2(y)dy 程解分離變量方程gy)dyf-3 g(y)dyf(x)dx y＝(x是方程①的解,g((x))(x)dxf(x)dx第二兩邊積分二章分則分

g(y)dyf(x)dxG( F(G(y)F(x) 程當(dāng)G(y與F(x可微且Gygy0上述過程可逆程y＝(x是①的解同樣,當(dāng)Ff(x)≠0時(shí)x＝(y也是①的解稱②為方程①的隱式通解或通積分-4第二 一階微分方22例1求微分方程

3xy的通解或3說明:在求解過程中|變形,因此可能增、y解:分離變量得d或3說明:在求解過程中|變形,因此可能增、y第

dyy

dx章 ln微

x33lnyx3ln方分lnyx3ln方

eC1ex 令CeC3yCex3

Cy0-5第二 一階微分方xydx(x21)dy例2

y(0)第解:

dy

1二章x2x2x2

ln

ln程方 (C為任意常數(shù)程C1,x2x2-6第二 一階微分方

dycos(xy)cos(xy). dycos(xy)cos(xy)第 dy2sinxsiny章 章微分離變量 2sin程兩邊積分

sin 2sinxdx sinln|cscycoty|2cosx-7第二 一階微分方例4.已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)璏成正比,t0M0求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.第十解:根據(jù)題意

dMM(0d二 Mt

M分對(duì)方程分離變量,然后積分MMoMot

()dtlnC程lnMtlnC,即MCeM利用初始條件,得 M0故所求鈾的變化規(guī)律為MM0et-8第二 一階微分方 成正比,并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)t0速度為0, 解:根 第二定律列方程mdvmg十

dvt0章對(duì)方程分離變量

d

方

ln(mgkv)

t

mgk mgkv0 利用初始條件C1lnmg m ktvtvk-9

(1e k第二 一階微分方 齊次方 形如dy 的方程叫做齊次方程. 十 解法:令uy,則yux,dyuxdu十 章微分方分離變量

uxdud d (u) 兩邊積分

d(u)

dxC積分后再用yu,便得原方程的通解x-10第二 一階微分方例 解微分方程yytany 解:令u ,則yuxu,代入原方程得 uxuutan十二

du 分微分

cosudu

dxln|C 程 lnsinulnxlnC

即sinuC故原方程的通解為sinyCxC為任意常數(shù)xC0時(shí),y0也是方程的解-11第二 一階微分方例7.解微分方程y22xy)dxx2dy0.解 y2y2,令uy,則 uxu2u十1二1章分離變

d u2

即u

1du微方分積分方程

lnuu

lnxlnC

x(u1)

xyxC (C為任意常數(shù)說明x0y0yx也是原方程的解-12第二 一階微分方dy

axby

(c2c20 a1xb1yc1 1).當(dāng)a1b1時(shí),作變換xXh,yYk(hk 章定常數(shù)則dxdXdydY,章 dYaXbYahbk方 a1Xb1Ya1hb1kc1方 ahbkc令a1hb1kc1

h,dYaX a1X

-13第二 一階微分方求出其解后,將XxhYyk代入,2).當(dāng)a1b1時(shí) 十 dy axby十

(b (axby)1章1令vaxby

dvabd微 方 d

a

vv

d d(可分離變量方程dyfaxby

(c2c20

x

yc1-141例8

第二 一階微分方dy y xyyy

k5第解:二 hk6二章

h1kdY 令xX1,yY5微分

d X方Y(jié)＝Xu

1udu u 1ln|u|lnu

Xlnu CXue1u

-15uX

第二 一階微分方Y(jié)CYeY第代回二章

Yy5,Xx1C(y5)e分利用分方程

x14C=1,1y5e-16第二 一階微分方例9求 dyxy4 xy解:令ux

dydu 第十

du1

u du2u 章

u

u微分離變量分程方程

u6du2dxu1u5ln|u1|2x代回原變量得原方程的通解xy5ln|xy1|2xyx5ln|xy1|-17第二 一階微分方例10.求下述微分方程的通解 ysin2(xy解:uxy1, u1十章二章即即程

1usin2usec2ududxtanuxC所求通解 tan(xy1)x

C-18第二 一階微分方

dy

y xsin2( 令z 則dzyxdy 十章 dzy y) 章 xsin2( sin2微分

sin2zdzzsin2zxc

2zsin2z4x zxy代回

2xysin(2xy)4x-19第二 一階微分方 一階線性微分方 一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:dyPxyQ十 若Q(x)十章 若Q(x)章微1分方

稱為齊次方程稱為.dyPxy0y dyP(y

ln

P(x)dxln yCeP(x)dx-20第二 一階微分方 齊次方程dyPxyQ用常數(shù)變易法:作變換yxux)ePx)dx,第ueP(x)dxP(x)ueP(x)d P(x)ueP(x)dxQ(第十即 duQ(x)eP(x)d即 分兩端積分分方

uQ(x)eP(x)dxdx故原方程的通

yeP(x)dxQ(x)eP(x)d

dxCyyCeP(x)deP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx即齊次方程通 非齊次方程特-21第二 2

一階微分3

(x1)2的通解. x1 第 微

dy 2y 0 x1dy2dx x 程

ln|y|2ln|x1|ln|CyC(x yu(x)(xdyu'(x1)22u(x1)-22第二 一階微分方 u'(x1)

積分u2x1)21十 解法 十 dy (x

y(x1)2[2(x1)2C3y(x

3 y程方程

[(x1)2 3

dx(x

(x1)2(x1

dx(x1)2[2(x1)2-23第二 一階微分方 求解微分方程ydx(xy3)dy3 方程化為yx x

十第 dx1x 十二 常數(shù)變易法，相應(yīng)的齊次方程方 dxx方

dxdy

lnxlnyln xc

令xuy

1 則 y 1duu1uy2

y

y -24第二 一階微分方 u 4

x

方法

x章這 P(y)1 Q(y)

方 xeP(y)dy方程1

Q(y)eP(y)dydyC1

(y2e

dyC 1[y2ydyC]1[ C] -25第二 一階微分方 y該曲線弧與AP之間的面積為x3，求該曲線的方y(tǒng)A 解設(shè)所求曲線方程為yy(A二十根據(jù)題意二

P(x,x章xy(x)dx

x[1y(

x3 分兩端對(duì)x 1y(x)

y(x)[ y(x)]3 yy6x -26 y

[(6x

1x

dx x[(6x1)1dx二 x二 x[6x1c]6x21分 分方 y|x1 得到c程所求曲線方程 y15x6-27第二 一階微分方 Bernoulli方程dyP(x)yQ(x) (n0,1) 二 解法:以yn除方程兩邊,二 yndyP(x)y1nQ( 方 令zy1n,則dz(1n)ynd方 dz(1nPxz(1n)Qx)(線性方程),-28第二 一階微分方y(tǒng)14求方程dy4yy

兩端除以yn，yy 1dyyy 二

x2章 2章

4zx2

dz2z

x2yz y微

分程 ze程

2dx

x222

dxc]x2[2

y x2[xc]y

即yx4xc]22-29第二 一階微分方 全微分方 若一個(gè)一階微分方程Pxy)dxQx,y)dy0uxy)二 duP(x,y)dxQ(x,二分 判別:P,Q在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則分 P(x,y)dxQ(x,y)dy0為全微分方PQ

(x,y)-30

第二 一階微分方1u(x方法 湊微分法 二 2.由du=0知通解為u(x,y)=C二章-31例15

第二 一階微分方(5x43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2)dy P 十

6xy3y2

Q,故這是全微分方程 取x00,y00,則x章xu(x,y) 分

5x4dxy0y

(3x2y3xy2

y2)d x53x2y2xy3

13

(x,

y5

y2

xy3

(x,0)(x0,y0

P(x,y)dx3-32例16

第二 一階微分方(5x43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2)dy解法 (5x43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2)d十章 5x4dx3xy2dxy3dx3x2ydy3xy2dy章dx5

y2dx2

dx

3

dy2

xdy3

分 2 分程 dx53d(x2y2)d(xy3)1程 d(x52x2y2xy31y3 x52x2y2xy31y3 -33第二 一階微分方例17.求解(x y)dx1dy 解:P

Q,∴這是一個(gè)全微分方程 第十用湊微分法求通解.二x xdxxdyydxx 分程方 d1x2dy程

或d1x2y

x2y -34第二 一階微分方或取x01,y0 (x,y yu(x,y)y

(x

)dx x x十

xdx02

dy章 1章 微分故原方程的通解為程

x2y u(x,y)

(x,y(x,y P(x,(x,y -35第二 一階微分方思考:如何解方程x3y)dxxdy0這不是一個(gè)全微分方程但若在方程兩邊同乘就