高等代數(shù)北大版第章習(xí)題參考

第七章線性變換1．?鑒識下面所定義的變換那些是線性的，那些不是：1）?在線性空間V中，A2）?在線性空間V中，A3）?在P3中，A(x1,x2,x3)4）?在P3中，A(x1,x2,x3)5）?在P[x]中，Af(x)6）?在P[x]中，Af(x)

其中V是一固定的向量；其中V是一固定的向量；(x12,x2x3,x32)；(2x1x2,x2x3,x1)；f(x1)；f(x0),其中x0P是一固定的數(shù)；7）?把復(fù)數(shù)域上看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，A。8）在PnnA其中B,Cnn是兩個固定的矩陣.P?解1)當0時,是;當0時,不是。2)當0時,是;當0時,不是。3)不是.比方當(1,0,0),k2時,kA()(2,0,0),A(k)(4,0,0),A(k)kA()。4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)=kA()，故A是P3上的線性變換。5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)則(f(x)g(x))u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=Af(x)(g(x))，A=A+A再令v(x)kf(x)則A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)kA(f(x))，故A為P[x]上的線性變換。6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]則.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)kA(f(x))。7)不是，比方取a=1,k=I，則AAAA。(ka)=-i,k(a)=i,(ka)k(a)8)是，因任取二矩陣X,YnnP，則(XY)B(XY)CBXCBYCAX+Y，AAA(kX)=B(kX)k(BXC)kAX，故A是Pnn上的線性變換。在幾何空間中,取直角坐標系oxy,以A表示將空間繞ox軸由oy向oz方向旋轉(zhuǎn)90度的變換,以B表示繞oy軸向ox方向旋轉(zhuǎn)90度的變換,以C表示繞oz軸由ox向oy方向旋轉(zhuǎn)90度的變換，證明：A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2，并檢驗(AB)2=A2B2可否成立。解任取向來量a=(x,y,z)，則有由于AA2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z)，a=(x,-z,y),BB2a=(-x,y,-z)，B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z)，a=(z,y,-x),Ca=(-y,x,z),C2a=(-x,-y,z)，C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z)，所以A4=B4=C4=E。2)由于ABA，BAB，(a)=(z,y,-x)=(z,x,y)(a)=(x,-z,y)=(y,-z,-x)所以ABBA。3)由于A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以A2B2=B2A2。3)由于(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A2B2(a)=(-x,-y,z)，所以(AB2A2B2。)3.在P[x]中，A'f(x)f(x),Bf(x)xf(x)，證明。:AB-BA=E證任取f(x)P[x]，則有(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)xf;(x)-xf'(x)=f(x)所以AB-BA=E。4.設(shè)A,B是線性變換，若是AB-BA=E，證明：AkB-BAk=kAk1(k>1)。證采用數(shù)學(xué)歸納法。當k=2時A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，結(jié)論成立。歸納假設(shè)km時結(jié)論成立，即AmB-BAm=mAm1。則當km1時，有m1m1=(Am1B-AmBA)+(Amm1)=Am(AB-BA)+(Ammmmm1A=(m1)AB-BABA-BAB-BA)A=AE+AAm。即km1時結(jié)論成立.故對所有k1結(jié)論成立。5.證明：可逆變換是雙射。證設(shè)A是可逆變換，它的逆變換為A1。若ab，則必有AaAb，不然設(shè)Aa=Ab，兩邊左乘A1，有a=b，這與條件矛盾。其次，對任向來量b，必有a使Aa=b，事實上,令A(yù)1b=a即可。所以,A是一個雙射。6.設(shè)1,2,,n是線性空間V的一組基，A是V上的線性變換。證明：A是可逆變換當且僅當A1,A2,,An線性沒關(guān)。證因A2,,n)=(A1,A2,,An)=(1,2,,n)A，(1,故A可逆的充要條件是矩陣A可逆，而矩陣A可逆的充要條件是A1,A2,,An線性無關(guān)，故A可逆的充要條件是A1,A2,,An線性沒關(guān).。求以下線性變換在所指定基下的矩陣:1)第1題4)中變換A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩陣；[o;1,2]是平面上素來角坐標系,A是平面上的向量對第一和第三象限角的均分線的垂直投影,B是平面上的向量對2的垂直投影，求A,B,AB在基1,2下的矩陣；3)在空間P[x]n中，設(shè)變換A為f(x)f(x1)f(x)，試求A在基i=x(x1)(xi1,n-1)下的矩陣A；1)(I=1,2,i!4)六個函數(shù)1=eaxcosbx,2=eaxsinbx，3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx，1=1x2eaxcosbx,1=1eaxx2sinbx，的所有實數(shù)線性組合組成實數(shù)域上一個六維線性空22間，求微分變換D在基i(i=1,2,,6)下的矩陣；5)已知P3中線性變換A在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩陣是101110，求A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩陣；121在P3中，A定義以下：AAA

123

(5,0,3)(0,1,6)，(5,1,9)其中123

(1,0,2)(0,1,1)，(3,1,0)求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩陣；7)同上，求A在1,2,3下的矩陣。解1)A1=(2,0,1)=21+3，A2=(-1,1,0)=-1+2，A3=(0,1,0)=2，210故在基1,2，3下的矩陣為011。1002）取1=（1，0），2=（0，1），則A1=11+12，A2=11+12，112222故A在基1，2下的矩陣為A=22。1122又由于B=，B2=2，所以B在基1，2下的矩陣為B=00，別的，（AB）2A（B2）1001==A2=11+12，2201所以AB在基21，2下的矩陣為AB=。0123）由于01,1x,2x(x1),,n1x(x1)[x(n2)]，2!(n1)!所以A0110，A1(x1)x0，An1(x1)x[x(n3)]x(x1)[x(n2)](n1)!(n1)!=x(x1)[x(n3)]{(x1)[x(n2)]}(n1)!=n2，0101所以A在基0,1,,n1下的矩陣為A=。104）由于D1=a1-b2,D2=b1-a2,6，D3=1+a3-b4,D4=2+b3+a4,D5=3+a5-b6,D6=4+b5+a6，ab1000ba0100所以D在給定基下的矩陣為D=00ab10。00ba0010000ab0000ba1105）由于(1,2,3)=(1,2，3)101，所以111111(1,2，3)=(1,2,3)011=(1,2,，3)X101故A在基1,2，3下的矩陣為110101111112B=X1AX=101110011=220。1111211013021036）由于(1,2,3)=(1,2，3)011，210103所以A,2,3)=A(1,2，3)011,(1210505但已知A1,2,3)=(1,2，3)011，(369505103A1,2，3)=(1,2，3)0110111故(369210133505777=(1,2，3)01126177736921177752020777=(1,2，3)452。7772718247771037）由于(1,2，3)=(1,2,3)0111，210103505所以A1,2,3)=(1,2,3)0111011(210369235=(1,2,3)101。110．在P22中定義線性變換A(X)=abX,A2(X)=XabA2(X)=abab,求81cdc,cXcdddA1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩陣。解因A1E11=aE11+cE12,A1E12=aE12+cE22,A1E21=bE11+dE21,A1E22=bE21+dE22,a0b0故A1在基E11,E12,E21,E22下的矩陣為A1=0a0b。c0d00c0d又因A2E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,A2E21=aE21+bE22,A2E22=cE21+dE22,ac00故A2在基E11,E12,E21,E22下的矩陣為A2bd00=0ac。000bd又因A3E11=a2E11+abE12+acE21+bcE22，A3E12=acE11+adE12+c2E21+cdE22，A3E21=abE11+b2E12+adE21+bdE22，A3E22=bcE+bdE+cdE+d2E22，111221a2acabbc故A3在基E11,E12,E21,E22下的矩陣為A3abadb2bdac2ad。ccdbccdbdd2設(shè)三維線性空間V上的線性變換A在基1,2,3下的矩陣為a11a12a13A=a21a22a23，a31a32a33求A在基3,2,1下的矩陣；求A在基1,k2,3下的矩陣，其中且；3)求A在基12,2,3下的矩陣。解1)因A3=a333+a232a131，A2=a323a222a121，A1=a313a212a111，a33a32a31故A在基3,2,1下的矩陣為B3a23a22a21。a13a12a112)因A1=a111+a21(k2)a313，kA(k2)=ka121+a22(k2)+ka323，A3=a131+a23(k2)+a333，ka11ka12a13故A在1,k2,3下的矩陣為B2a21a22a23。kka31ka32a333)因A(12)=(a11a12)(13)+(a21a22a11a12)2+(a31a32)3，A2=a12(12)+(a22a12)2+a323，A3=a13(12)+(a23a13)2+a333，a11a12a12a13故A基12,2,3下的矩陣為B3a21a22a11a12a22a12a23a13。a31a32a32a3310.設(shè)A是線性空間V上的線性變換，若是Ak10,但Ak，求證：=0,A,,Ak1(k>0)線性沒關(guān)。證設(shè)有線性關(guān)系l1l2AlkAk10，用Ak1作用于上式,得l1Ak1=0(因An0對所有nk均成立)，又由于Ak10,所以l10,于是有l(wèi)2Al3A2lkAk10，再用Ak2作用之,得l2Ak1=0.再由,可得l2=0.同理,連續(xù)作用下去,即可得l1l2lk0,即證,A,,Ak1(k>0)線性沒關(guān)。11.在n維線性空間中，設(shè)有線性變換A與向量使得An10，求證A在某組下的矩陣是0101。010證由上題知,,A,A2,,An1線性沒關(guān)，故,A,A2,,An1為線性空間V的一組基。又由于A01A0A2+0An1，AA)=0+0A+1A2+0An1，(A（An1）=0+0A+0A2+0An1，故A在這組基下的矩陣為0101。01012．設(shè)V是數(shù)域P上的維線性空間，證明：與V的全體線性變換能夠交換的線性變換是數(shù)乘變換。證由于在某組確定的基下，線性變換與n級方陣的對應(yīng)是雙射，而與所有n級方陣可交換的方陣必為數(shù)量矩陣kE，進而與所有線性變換可交換的線性變換必為數(shù)乘變換K。A是數(shù)域P上n維線性空間V的一個線性變換，證明：若是A在任意一組基下的矩陣都相同，那么是數(shù)乘變換。證設(shè)A在基1,2,,n下的矩陣為A=(aij)，只要證明A為數(shù)量矩陣即可。設(shè)X為任一非退化方陣，且(1,2,n)=(1,2,,n)X，則1,2,L,n也是V的一組基，且A在這組基下的矩陣是X1AX，進而有AX=XA，這說明A與所有非退化矩陣可交換。若取12X1，n則由AX1=X1A知aij=0(ij)，即得a11a22A=，ann再取01000010X2=00011000由AX2=X2A，可得a11a22ann。故A為數(shù)量矩陣，進而A為數(shù)乘變換。14.設(shè)1,2,3,4是四維線性空間V的一組基，已知線性變換A在這組基下的矩陣為10211213125，522121)求A在基11224,23234,334,424下的矩陣；求A的核與值域；在A的核中選一組基,把它擴大為V的一組基,并求A在這組基下的矩陣；在A的值域中選一組基,把它擴大為V的一組基,并求A在這組基下的矩陣。解1)由題設(shè),知1000(1,2,3,4)=(1,2,3,4)2300，01101112故A在基1,2,3,4下的矩陣為1000110211000B=X1AX=2300121323000110125501101112221211122332241010=3333。8164040333301782)先求A1(0).設(shè)A1(0)，它在1,2,3,4下的坐標為(1,2,3,4)，且A在1,2,3,4下的坐標為(0,0,0,0,)，則1021x101213x2=0。1255x302212x40因rank(A)=2，故由x12x3x40，x12x2x33x40可求得基礎(chǔ)解系為X1=(2,3,1,0),X2=(1,2,0,1)。2若令1=(1,2,3,4)X1，2=(1,2,3,4)X2，則1,2即為A1(0)的一組基，所以A1(0)=L(1,2)。再求A的值域A。由于VA1=12324，A2=222324，A3=212534，A43=1325324，rank(A)=2，故A1,A2,A3,A4的秩也為2，且A1,A2線性沒關(guān)，故A1,A2可組成A的基，進而AA1,A2)。VV=L(4)由2)知1,2是A1(0)的一組基，且知1,2,1,2是V的一組基，又10210132(1,2,a1,a2)=(1,2,3,4)200，100001故A在基1,2,1,2下的矩陣為102111021102152000132121301329100B=22=2125500020。001011000012212000122004)由2)知A1=12324,A2=222324易知A1,A2,3,4是V的一組基，且1000(A1,A2,3,4)=(1,2,3,4)1200121，01201故A在基A1,A2,3,4下的矩陣為1000110211000C=12001213120012101255121012012212120152219132=22。00000000給定P3的兩組基1(1,0,1)12(2,1,0)23(1,1,1)3定義線性變換A:Ai=i(i=1,2,3)，

(1,2,1)(2,2,1)，(2,1,1)1)寫出由基1,2,3到基1,2,3的過分矩陣；寫出在基1,2,3下的矩陣；寫出在基1,2,3下的矩陣。解1)由(1,2,3)=(1,2,3)X，引入P3的一組基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)，則121(1,2,3)=(e1,e2,e3)011=(e1,e2,e3)A，101所以122(1,2,3)=(e1,e2,e3)221=(e1,e2,e3)B=(e1,e2,e3)A1B，111故由基1,2,3到基1,2,3的過分矩陣為123312122221X=A1B=011221=133。10111122115222)因23322A3)=(1,2,3)=(1,2,3)133，(1,2,2211522故A在基1,2,3下的矩陣為33222A=33。122151224)因A,2,3)=A(1,2,3)X=(1,2,3)X，(1故A在基1,2,3下的矩陣仍為X.。證明1i12與i2相似，其中(i1,i2,,in)是1,2,,n的一個排nin列。證設(shè)有線性變換A，使1A(1,2,,n)=(1,2,,n)2=(1,2,,n)D1，ni1則A(i1,i2,i2=(i1,i2,,in)D2，,in)=(i1,i2,,in)in于是D與D2為同一線性變換A在兩組不相同基下的矩陣,故11i12與i2相似。nin若是A可逆,證明AB與BA相似。證因A可逆,故A1存在，進而A1(AB)A=(A1A)BA=BA，所以AB與BA相似。18.若是A與B相似，C與D相似，證明：A0與B00B0相似。D證由已知，可設(shè)B=X1AX,D=Y1CY，則X10A0X0=B0，0Y10C0Y0D這里X10=X01，故A0與B0相似。0Y10Y0C0D求復(fù)數(shù)域上線性變換空間V的線性變換A的特色值與特色向量.已知A在一組基下的矩陣為：111163340a11151011)A=2)A=a03)A=114)A=1521121111110010213105)A=0106)A=2037)A=410100130482解1)設(shè)A在給定基1,2下的矩陣為A，且A的特色多項式為EA34=2-5-14=(7)(2)，故A的特色值為7，-2。=25先求屬于特色值=7的特色向量。解方程組4x14x20，它的基礎(chǔ)解系為1，因5x15x201此A的屬于特色值7的所有特色向量為k1(k0)，其中1=1+2。再解方程組5x14x20，它的基礎(chǔ)解系為4，所以A的屬于特色值-2的所有特5x14x205征響向量為k2(k0)，其中2=41-52。設(shè)A在給定基022)1,，且當a=0時，有，所以EA==，2下的矩陣為AA=00故A的特色值為1=。解方程組0x10x20，它的基礎(chǔ)解系為1,0，所以A的屬2=00x10x2001于特色值0的兩個線性沒關(guān)特色向量為1=1，2=2，故A以V的任一非零向量為其特色向量。當a0時，EA=a=2+a2=(ai)(ai)，故A的特色值為1=ai，a2=-ai。aix1ax20i，故A的屬于特色值ai的所有特當1=ai時，方程組aix20的基礎(chǔ)解系為ax11征向量為k1(k0)，其中1=-i1+2。當2=-ai時，方程組aix1ax20的基礎(chǔ)解系為i，故A的屬于特色值-ai的所有ax1aix201特色向量為k2(k0)，其中2=i1+2。3)設(shè)A在給定基1,2,3,4下的矩陣為，由于EA=(2)3(2)，故A的特色A值為1=2=32,42。111當2時,相應(yīng)特色方程組的基礎(chǔ)解系為X1100，故A的屬于特,X2,X3001001征值2的所有特色向量為k11+k22+k33(k1,k2,k3不全為零)，其中1=1+2，2=1+3，3=1+4。1當時，特色方程組的基礎(chǔ)解系為X41A的屬于特色值-2的所有特色向2，故11量為k4(k0)，其中4=1-2-34。4）設(shè)A在給定基1,2,3下的矩陣為A，因563EA=1134224=(2)(13)(13)，121故A的特色值為1=2，2=1+3，31-3。3x16x23x302當1=2時,方程組x12x2x30的基礎(chǔ)解系為1，故A的屬于特色值2的全x12x23x300部特色向量為k1(k0)，其中1=21-2。(43)x16x23x303當=1+3時,方程組x1(13)x2x30的基礎(chǔ)解系為1，故A的屬于x12x2(23)x3023特色值1+3的所有特色向量為k2(k0)，其中2=31-2+(23)3。(43)x16x23x303當=1-3時,方程組x1(13)x2x30的基礎(chǔ)解系為1，故A的屬于x12x2(23)x3023特色值13的所有特色向量為k3(k0)，其中3=31-2+(23)3。設(shè)A在給定基1,2,3下的矩陣為A，因01EA=010=(1)2(1)，10故A的特色值為121,31。x1x3010當1，方程組0,1，故A的屬于特色值1的全12的基礎(chǔ)解系為x1x3010部特色向量為k11k22(k1,k2不全為零)，其中113,22。x1x301當31時，方程組2x20的基礎(chǔ)解系為0，故A的屬于特色值-1的所有特x1x301征向量為k3(k0)，其中313。設(shè)A在給定基1,2,3下的矩陣為A，因21EA=23(214)=(14i)(14i)，13故A的特色值為10,214i,314i。2x2x303當10時，方程組2x13x30的基礎(chǔ)解系為1，故A的屬于特色值0的所有特x13x202征向量為k1(k0)，其中131223。614i當214i時，該特色方程組的基礎(chǔ)解系為2314i，故A的屬于特色值14i的10所有特色向量為k2(k0)，其中2(614i)1(2314i)2103。614i當14i時，該特色方程組的基礎(chǔ)解系為2314i，故A的屬于特色值1014i的所有特色向量為k3(k0)，其中3(614i)1(2314i)2103。設(shè)A在給定基1,2,3下的矩陣為A，因310EA=410=(1)2(2)，482故A的特色值為121,32。3當11，該特色方程組的基礎(chǔ)解系為6，故A的屬于特色值1的所有特色向220量為k1(k0)，其中13162203。0當32，該特色方程組的基礎(chǔ)解系為0，故A的屬于特色值-2的所有特色向量為1k2(k0)，其中23。在上題中,哪些變換的矩陣能夠在合適的基下變成對角形?在能夠化成對角形的情況下，寫出相應(yīng)的基變換的過分矩陣T，并驗算T1AT。解已知線形變換A在某一組基下為對角形的充要條件是有n個線形沒關(guān)的特色向量,故上題中1)~6)能夠化成對角形,而7)不能夠.下面分別求過渡矩陣T。1)由于(1,2)(1,2)141415，所以過渡矩陣T=，1554341470T1AT=99=52150。112992)當a0時,已經(jīng)是對角型。當a0時,有(1,2)(1,2)ii，過渡矩陣T=ii，1111i10aiiai0T1AT=22。a0110aii122111111113)由于(1,2,3,4)=(1,2,3,4)100110010101，過渡矩陣T=10，01001100112T1AT=2。222334)由于(1,2,3)=(1,2,3)111，023232332過渡矩陣T=111，T1AT13。02323131011015)由于(1,2,3)=(1,2,3)010，過渡矩陣T=010，10110110100110110022T1AT010010010010。101100101001223614i614i6)由于(1,2,3)(1,2,3)12314i2314i,210103614i614i即過渡矩陣為T=12314i2314i,21010000且T1AT014i0。0014i在P[x]n(n>1)中,求微分變換D的特色多項式，并證明D在任何一組基下的矩陣都不能能是對角陣。解取P[x]n的一組基1,x,x2,...,xn1，則D在此基下的矩陣為2(n1)!010...0001...0D=...............，000...1000...010...001...0進而ED...............n，000...1000...故D的特色值是0(n重)，且D的屬于特色值0的特色向量只能是非零常數(shù)。進而線性沒關(guān)的特色向量個數(shù)是，它小于空間的維數(shù)n，故D在任一組基下的矩陣都不能能是對角1形。142設(shè)A=034，求Ak。043142解:由于EA034(1)(5)(5)，043故A的特色值為11,25,35，且A的屬于特色值1的一個特色向量為X1(1,0,0)'，A的屬于特色值5的一個特色向量為X2(2,1,2)'，A的屬于特色值-5的一個特征向量為X3(1,2,1)'。121100于是只要記T=(X1,X2,X3)012，則T1AT050B，021005100且Bk05k0。00(5)k121100101于是AkTBkT101205k001202100(5)k5502155125k11(1)k15k14(1)k1=05k114(1)k25k11(1)k1。025k11(1)k15K14(1)k設(shè)1,2,3,4是四維線性空間V的一個基,線性變換A在這組基下的矩陣為52433132A195。32221031171)求A的基112234，221323，33，44下的矩陣；求A的特色值與特色向量；求一可逆矩陣T,使T1AT成對角形。1200解1)由已知得(1,2,3,4)(1,2,3,2300,2,3,4)X，4)11(1101001故求得A在基1,2,3,4下的矩陣為0065B=X1AX00540073。2200522)A的特色多項式為f()EAEB2(1)(1)，1,2所以A的特色值為120,341。2A的屬于特色值0的所有特色向量為k11k22，其中k1,k2不全為零，且2124。A的屬于特色值1的所有特色向量為k33，其中k30，且2341223+64。A的屬于特色值1的所有特色向量為k44,其中k40，且4312324。3）由于2143（1,2,3,4)(1,2,3,4)3121101，101622143003121，且T1AT為對角矩陣。所求可逆陣為T=0111120162124.1)設(shè)1,2是線性變換A的兩個不相同特色值，1,2是分別屬于1,2的特色向量，證明：2不是A的特色向量；2)證明:若是線性空間V的線性變換A以V中每個非零向量作為它的特色向量，那么A是數(shù)乘變換。證1)由題設(shè)知A(1)11,A(2)22,且12，若12是A的特色向量，則存在0使A（A（即(

12）=(12)=12，12）=1122=12，1)1(2)20。再由1,2的線性沒關(guān)性，知120，即12，這是不能能的。故12不是A的特色向量。2）設(shè)V的一組基為1,2,...,n，則它也是A的n個線性沒關(guān)的特色向量，故存在特色值1,2,...,n,使A(i)ii(i1,2,...,n)。由1）即知12...nk。由已知，又有A()k(V)，即證A是數(shù)乘變換。25.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，A，B是V上的線性變換，且AB=BA.，證明：如過0是A的一個特色值，那么V0是B的不變子空間；A，B最少有一個公共的特色向量。證1)設(shè)V0，則A0，于是由題設(shè)知ABBAB)0(B)，()=()=(0故BV0，即證V0是B的不變子空間。由1)知V0是B的不變子空間，若記B|V0=B0，則B0也是復(fù)數(shù)域上線性空間V0的一個線性變換，它必有特色值0,BV0,且B0)，使B0=0B(B顯然也有A(B)=，故B即為A與B的公共特色向量。0B26.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，而線性變換A在基1,2,...,n下的矩陣是一若當塊。證明：V中包含1的A-子空間只有V自己；V中任一非零A-子空間都包含n；V不能夠分解成兩個非平凡的A-子空間的直和。證1)由題設(shè),知1A,...,n)=(.，(1,21,2,...,n)....1A112A223即.........................，An1n1nann設(shè)為A子空間,且則，進而有1W,A1W2A11WA2W，3A22WA3W，.nAn1n1W，故W=L{1,2,...,n}=V。為任一非零的A子空間,對任一非零向量有2)設(shè)W-W,不如設(shè)10,則A1A12A2...nAn=1(12)+2(23)++nn=1223...n1nW于是1223...n1nW同理可得1324...n2n，，1nWW進而nW，即證V中任一非零的-子空間W都包含n。A）設(shè)W,W是任意兩個非平凡的A子空間，則由）知3-212nW1且nW2,于是nW1W2，故V不能夠分解成兩個非平凡的A子空間的直和。-27．求以下矩陣的最小多項式：001313113131)010,2)31311001313001解1)設(shè)A010，由于A2E，所以21是A的零化多項式，但-=0100AE0,AE0，故A的最小多項式為mA()21。-+2)由于f()EA4，所以A的最小多項式為,2,3,4之一,代入計算可得A的最小多項式為mA()2。二補充題參照解答設(shè)A,B是線性變換,A2=A,B2=B證明:若是(A+B)2=A+B那么AB=0;若是,AB=BA那么(A+B-AB)2=A+B-AB.證1)由于A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B由(A+B)2=(A+B)(A+B)=A22+AB+BA+B,故A+B=A+AB+BA+B,即AB+BA=0.222又2AB=AB+AB=AB-BA=A-BA=AB+ABA=A(AB+BA)=A0=0所以AB=0.2)由于A2=A,B2=B,AB=BA所以(A+B-AB)2=(A+B-AB)(A+B-AB)=A222-A2B-BAB+ABAB+BA-ABA+AB+B-AB=A+AB-AAB+AB+B-AB-AB-ABB+AABB=A+AB-AB+AB+B-AB-AB-AB+AB=A+B-AB。設(shè)V是數(shù)域P上維線性空間,證明:由V的全體變換組成的線性空間是n2維的。證因E11，LE1n，E21，L，E2n，L，En1，LEnn是Pnn的一組基，Pnn是n2維的。V的全體線性變換與Pnn同構(gòu),故V的全體線性變換組成的線性空間是n2維的。設(shè)A是數(shù)域P上n維線性空間V的一個線性變換,證明:1)在P[x]中有一次數(shù)n2的多項式f(x),使f(A)0;2)若是f(A)0,g(A)0,那么d(A)0,這里d(x)是f(x)與g(x)的最大公因式.；A可逆的充分必要條件是:有一常數(shù)項不為零的多項式f(x)使f(A)0。證1)由于P上的n維線性空間V的線性變換組成的線性空間是n2維的，所以n2+1個線性變換An2,An21,、、、,A,E，必然線性相關(guān),即存在一組不全為零的數(shù)a2,a21,L,a1,a0使nnan2An2+an21An21+La1A+a0E=0，令f(x)an2xn2an21xn21La1xa0,且ai(i0,1,2,L,n2)不全為零，（（fx））n2。這就是說，在P[x]中存在一次數(shù)n2的多項式f(x),使f(A)0。即證。2)由題設(shè)知d(x)u(x)f(x)v(x)g(x)由于f(A)0,g(A)0，所以d(A)u(A)f(A)v(A)g(A)=0。3)必要性.由1)知,在P[x]中存在一次數(shù)n2的多項式f(x),使f(A)0。即an2An2+an21An21+La1A+a0E=0，若a00,則f(x)a2xn2a21xn21La1xa0即為所求。若a00，nnan2An2+an21An21+La1A+a0E=0，因A可逆，故存在A1,(A1)j(Aj)1也存在，用(Aj)1右乘等式兩邊，得an2An2j+an21An2j1++ajE=02+an2n2j1令f(x)an2xnj++aj(aj0)，即f(x)為所求。1x充分性.設(shè)有一常數(shù)項不為零的多項式f(x)a2xn2a21xn21La1xa0(a00)使f(A)0，nn即amAmam1Am1aAaE0，10所以amAmam1Am1a1Aa0E，于是1(amAm1a1E)AE，a0又A1(amAm1a1E)E，a0故A可逆。設(shè)A是線性空間V上的可逆線性變換。證明:A的特色值必然不為0；2)證明:若是是的A特色值，那么1是A1的特色值。證1)設(shè)可逆線性變換A對應(yīng)的矩陣是A,則矩陣A可逆,A的特色多項式f()為f()n(aaann)n1(1)nA，A可逆,故A0。1122又由于A的特色值是的所有根，其積為A0,故A的特色值必然不為。02)設(shè)是的A特色值,那么存在非零向量,使得A,用A1作用之，得（A1），于是A11，即1是A1的特色值。設(shè)A是線性空間V上的線性變換，證明；A的行列式為零的充要條件是A以零作為一個特色值。證:設(shè)線性變換A矩陣為A,則A的特色值之積為A。必要性，設(shè)A0,則A的特色值最少有一個為零,即一另為一個特色值。充分性，設(shè)A有一個特色值0,那么A0。0設(shè)A是一個n階下三角矩陣，證明：1)若是aiiajj(ij,i,j1,2n),那么A相似于一對角矩陣；2)若是a11a22ann，而最少有一ai0j00(i0j0)，那么A不與對角矩陣相似。證：1)由于A的多項式特色是f()=EA(a11)(a22)(ann)，又因aiiajj(ij,i,j1,2n)，故A有n個不相同的特色值，進而矩陣A必然可對角化，故A似于對角矩陣。假設(shè)a111A=a11與對角矩陣B=2相似，ai0j0a11n則它們有相同的特色值1,2,,n,由于A的特色多項式f()=a11n，所以2na11,1a11由于B=a11=a11E是數(shù)量矩陣，它只能與自己相似，故A不能能與對角a11矩陣相似。證明:對任一nn復(fù)系數(shù)矩陣A,存在可逆矩陣T,使T1AT證:存在一組基11，，1r1,,s1,,sr,使與矩陣A相應(yīng)的線性變換A在該基下的矩陣成若爾當標準形J，且A1111112，A1r111r