大一高數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題及答案

大一高數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題及答案本頁滿分36分一．填空題（共5小題，每小題4分，共計20分）本頁得分1．1lim(exx)x2x0.dxx2．1x1x1ee2005x.3．設(shè)函數(shù)yy(x)由方程xy確定，則edtxt21.dydxx04.設(shè)fx可導(dǎo)，且，，則tf(t)dtf(x)x(0)1f.1fx5．微分方程的通解y4y4y0為.二．選擇題（共4小題，每小題4分，共計16分）1．設(shè)常數(shù)k0，則函數(shù)的個數(shù)為（）.(A)3個;f(x)lnxxk在(0,)內(nèi)零點e(B)2個;(D)0個.2．微分方程的特解形式為（）.(C)1個;y4y3cos2x（A）yAcos2x;（B）yAxcos2x;（C）yAxcos2xBxsin2x;（D）y*Asin2x.本頁滿分18分2．設(shè)平面圖形由與所確xy2xyx22D定，試求繞直線本頁得分x2D旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.3.設(shè)在內(nèi)的駐點為a1,ftaat()(,)tt(a).問為何值時t(a)最小?并求最小a值.本頁滿分7分本五．證明題（7分）設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可頁f(0)=f(1)0,f(1)1，導(dǎo)且得2分試證明至少存在一點(0,1),使得f()=1.一．填空題（每小題4分，5題共20分）：1．.1lim(ex)12x2xex04dxe2．.xx1eex12005x13．設(shè)函數(shù)yy(x)由方程xye確定，則dye1.dtxt2dxx014.設(shè)可導(dǎo)，且，，則.fxtf(t)dtf(x)x(0)1ffx1x2e215．微分方程的通解為.y(CCx)e2x12y4y4y0二．選擇題（每小題4分，4題共16分）：1．設(shè)常數(shù)，則函數(shù)f(x)lnxxk在內(nèi)零(0,)k0e點的個數(shù)為（B）.(A)3個;(B)2個;(C)1個;(D)0個.2．微分方程的特解形式為（C）y4y3cos2x（A）Acos2x；（B）yyAxcos2x；（C）；（D）yAsin2x*yAxcos2xBxsin2x3．下列結(jié)論不一定成立的是（A）(A)(A)若c,da,b,則必有;fxdxfxdxdbca(B)(B)若f(x)0在a,b上可積,則b;fxdx0a(C)(C)若是周期為的連續(xù)函數(shù),則對fxT任意常數(shù)都有;aTTfxdxfxdxaa0(D)(D)若可積函數(shù)fx為奇函數(shù),則xtftdt0也為奇函數(shù).11ex4.設(shè),則是f(x)的（C）.23efx1x0x(A)連續(xù)點;(B)可去間斷點;(C)跳躍間斷點;(D)無窮間斷點.三．計算題（每小題6分，5題共30分）：1．計算定積分.2x3ex2dx0-------2解：1tetdt12tdet設(shè)x2t,則2x3ex2dx2022001te22etdt-------2t200e21et213e2022--------222．計算不定積分xsinxdx.cos5xdxcos4x4cos4xcos4xxsinxdx1xd(1)1x解：--------3cos5x4x1(tan2x1)dtanx4cos4x4x1tan3x1tanxC-----------34cos4x124xa(tsint),3．求擺線在t處的切線的方程.ya(1cost),2解：切點為-------2(a(1),a)2kdyasintdxta(1cost)-------2t212切線方程為即.yaxa(1)yx(2)a22-------24.設(shè)，則.F(x)xcos(x2t)dtF(x)2xcosx2(2x1)cos(x2x)0(n1)(n2)(n3)(2n)，求limx.5．設(shè)nxnnnn1ln(1i)n解：---------2nlnxnni1limlnxlimln(1i)11ln(1x)dxnnnn--------------2nni10=11xxln(1x)11xdx2ln2100------------2故limx=en2ln214en四．應(yīng)用題（每小題9分，3題共27分）1．求由曲線與該曲線過坐標(biāo)原點的切線yx2及軸所圍圖形的面積.x解：1yx，設(shè)切點為，則過原點的切線方程為0（x,y)2x200由于點在切線上，帶入切線方程，（x,y)00解得切點為.-----3x4,y200和點的切線方程為(4,2)過原點x-----------------------------322y=-------------------3223面積(y222y)dy2s2011223或sxdxxx2)dx24(0222222．設(shè)平面圖形由與所確定，試求繞xy2xyx22D直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.Dx2解：法一：VVV1212(11y)2dy(2y)2dy120021y(y1)dy1220-------61432413(y1)32(1)--------30法二：V=21(2x)(2xx2x)dx0------------------521(2x)2xx2dx21(2xx2)dx0043(22x)2xx222xxdx120(2xx2)21123143204321422123-------------432323.設(shè)在內(nèi)的駐點為t(a).問為a1,f(t)aat(,)ta何值時t(a)最小?并求最小值.由f(t)atlnaa0得t(a)1lnlna.lna解:---------------3又由t(a)lnlna10得唯一駐點aeea(lna)2------------3-----2當(dāng)aee時,t(a)0;當(dāng)aee時,t(a)0,于是aee為t(a)的極小值點.故aee為t(a)的最小值點,最小值為t(ee)1lnee1--------------11.e五．證明題（7分）內(nèi)可導(dǎo)且f(0)=f(1)0,f(1)1，設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)2試證明至少存在一點(0,1),f()=1.使得F(x)f(x)x，F(xiàn)(x)在[0,1]上連續(xù)在(0,1)可導(dǎo)，因f(0)=f(1)=0,F(0)f(0)00,F(1)f(1)11,---------------2證明：設(shè)有f(1)=1F(1)=f()-=1-1=1，[1，1]11上F(x)用零點定理，222222，知在2又由根據(jù)1