高等數(shù)學D7-6高階線性微分方程

高階線性微分方程第六節(jié)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

*四、常數(shù)變易法

一、二階線性微分方程舉例

第七章.一、二階線性微分方程舉例當重力與彈性力抵消時,物體處于平衡狀態(tài),例1.質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖.設時刻

t

物位移為x(t).(1)自由振動情況.彈性恢復力物體所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程..據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動方程:阻力(2)強迫振動情況.若物體在運動過程中還受鉛直外力則得強迫振動方程:.求電容器兩兩極板間電壓例2.

聯(lián)組成的電路,其中R,L,C

為常數(shù),所滿足的微分方程.解:

設電路中電流為i(t),的電量為q(t),自感電動勢為由電學知根據(jù)回路電壓定律:設有一個電阻R,自感L,電容C和電源E串極板上在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0‖~.串聯(lián)電路的振蕩方程:化為關(guān)于的方程:故有‖~如果電容器充電后撤去電源(E=0),則得.n

階線性微分方程的一般形式為方程的共性

(二階線性微分方程)例1例2—可歸結(jié)為同一形式:時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.復習:

一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y.證畢二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1..說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念..定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個函數(shù),使得則稱這

n個函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關(guān).若存在不全為

0

的常數(shù).兩個函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個恒為0,則必線性相關(guān)(證明略)線性無關(guān).定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

推論.是

n

階齊次方程的n

個線性無關(guān)解,則方程的通解為則.三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①.是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù),例如,

方程有特解對應齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解..定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n

階線性非齊次方程..定理5.是對應齊次方程的n

個線性無關(guān)特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解.常數(shù),則該方程的通解是().設線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例3.提示:都是對應齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證).例4.

已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解