2023年mathematica數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

*********************

姓名***學(xué)院數(shù)信學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)

***

實(shí)驗(yàn)題目素?cái)?shù)評(píng)分

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?/p>

1、掌握素?cái)?shù)的判別方法，并會(huì)求解某些范圍內(nèi)的素?cái)?shù)；

2、通過(guò)編程演示某些范圍內(nèi)的素?cái)?shù)、深刻了解其求解過(guò)程；

3、通過(guò)上機(jī)來(lái)增強(qiáng)自己的動(dòng)手能力及實(shí)踐創(chuàng)新能力。

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：

學(xué)校機(jī)房，Mathematica4.0軟件

實(shí)驗(yàn)基本理論和方法：

1、Mathematica中常用的函數(shù)及函數(shù)調(diào)用的方法；

2、對(duì)素?cái)?shù)的概念及特性的掌握，運(yùn)用素?cái)?shù)的特性求素?cái)?shù)。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和環(huán)節(jié)：

假如一個(gè)大于1的自然數(shù)只能被1及它自身整除，則該數(shù)稱為素?cái)?shù)。否則被稱

為合數(shù)。從數(shù)學(xué)史的黎明時(shí)期開(kāi)始，數(shù)學(xué)家就一直在探索自然數(shù)的奧秘。遠(yuǎn)在古希臘時(shí)

代，歐幾里得就證明了每一個(gè)合數(shù)都可以分解為若干個(gè)素?cái)?shù)的乘積,并在不計(jì)較素?cái)?shù)的排

列順序時(shí)這種分解是唯一的，這就是所謂的算術(shù)基本定理，算術(shù)基本定理表白，素?cái)?shù)是構(gòu)

造自然數(shù)的基石，正如物質(zhì)的基本粒子同樣。正是由于素?cái)?shù)如此重要的地位才使得一代又

一代數(shù)學(xué)家努力地探索素?cái)?shù)的規(guī)律。一方面，一個(gè)最基本的問(wèn)題是

素?cái)?shù)到底有多少個(gè)？

會(huì)不會(huì)在某一充足大的自然數(shù)以后就沒(méi)有素?cái)?shù)了呢?答案是否認(rèn)的。歐幾里得時(shí)代已

證明了這一結(jié)論。他使用的簡(jiǎn)潔而優(yōu)美的論證方法至今仍不失為數(shù)學(xué)推理的光輝典范。

假設(shè)素?cái)?shù)只有有限個(gè)，按從小到大的順序排列為。令可=Plp2...p?+1,則N不

被p,々=1,2,...,〃中任何一個(gè)整除。因而，N要么是素?cái)?shù)，要么有比p,大的素因子，這與p.

為最大素?cái)?shù)相矛盾。

關(guān)于素?cái)?shù)的下一個(gè)基本問(wèn)題是：如何求出小于某一給定整數(shù)的所有素?cái)?shù)？

1.Eratosthenes篩法求素?cái)?shù)

古希臘的另一位學(xué)者Eratosthenes給出了解決這一問(wèn)題的方法，這一方法被后

人稱為Eratosthenes篩法。Eratosthenes篩法的基本思想是，將自然數(shù)列從2開(kāi)始按順序

排列至某一整數(shù)N。一方面，從上述數(shù)列中劃去所有2的倍數(shù)（不涉及2）。在剩下的數(shù)

中，除2外最小的是3。接著，從數(shù)列中劃去3的倍數(shù)（不涉及3）。然后在剩下的數(shù)中，

再劃去5的倍數(shù)……。這個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行下去，則最后剩下的數(shù)就是不超過(guò)N的所有素

數(shù)。下面我們就運(yùn)用篩法通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)求某個(gè)數(shù)的所有素?cái)?shù)。

運(yùn)用Eratosthenes篩法,通過(guò)計(jì)算機(jī)編程求100,500,1000,1500的所有素?cái)?shù)，

運(yùn)營(yíng)過(guò)程如下:

IsUntilled-1?a回兇

lnp)：=Sieve[n^Integer]:=▲

Module]

<t={),i,t?mp)z

For[1=2,in,i++zAppendTo[t,i]];

For[i=1,Prime[i]mSqrt[n]zi++z

tei^=Prime[i];

t=Select[tz(#lzzteir?i||ltod[#lztei^]#0)&]];

t]

Sieve[100]

0ut[4]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,

43,47,53,59,61,67,71z73,79,83,89,97)

▼

100%▲?

￡Untitled-1?1I回兇

ln[5]：=Sieve[n_Integer]:=

Module]

<t={),i,tei咂},

For[i=2,isn,i++,卿pendTo[t,i]];

For[i=1,Prime[i]Sqrt[n]zi++,

tein)=Prime[1];

t=Select[t,teu^11Mod[#lzteu^]#0)&]];

Sieve[500]

Out[6]={2,3,5,3,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47z53,

59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,

113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,

179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,

239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,

307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,

373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,

439,443,449,457,461,463,467,479,487,491z499)

100%▲<

Untitled-1?目回區(qū)］

lnp]:=Sieve[n_Integer]:=

Module[

{t={1,i,ten?),

For[i=2,imit,1++,^pendTo[t,i]];

For[i=1,Prime[1]mSqrt[n],i++z

tei^p=Prine[i];

峰

t=Select[t,(#1==te11Mod[#lzteiqp]#0)&]];

t]

Sieve[1000]

Out[8]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37z41,43,

47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,

107,109,113,127,131z137,139,149,151,157,163,

167,173,179,181,191z193,197,199,211,223,221,

229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,

283,293,307,311,313,317,331,337,347z349,353,

359,367,373,379,383,389,397,401z409,419,421z

431,433,439,443,449,457,461,463,467,479z487,

491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,

571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,

641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,

709,719,727,733z739,743z751,757,761,769,773z

787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,

859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,

937,941,947,953,967,971,977,983,991,997}

100%-<I

Untitled-1?目回區(qū)）

in[13]：=Sieve[n_Integer]:=▲

Module[

{t=(},iztenp},

For[1=2,1nzi++,AppendTo[t,i]];

For[i=1,Prime[1]Sqrt[n],i++,

ten^=Prime[i];

t=Select[t,(#1==teir<)11ltod[?lzteu^]#0)&]];

t]

Sieve[1500]

0ut[14]={2,3,5,3,llz13,17z19,23,29,31z37,41,43,1

47,53,59,61,67,71,73,79,83z89,97,101,103,

107z109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,

167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,221,

229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,

283,293,307z311,313,317,331,337,347,349,353,

359,367,373,379,383,389,397,401,409z419,421z

431,433,439,443z449,457,461z463,467,479,487z

491,499,503,509,521,523,541z547,557,563,569,

571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,

641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,

709,719,727,733,739,743z751,757,761,769,773,

787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,

857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,

929,937,941,947z953,967,971,977,983,991,

997,1009,1013,1019,1021,1031,1033,1039,1049,

1051,1061,1063,1069,1087,1091,1093,1097,1103,

1109,1117,1123,1129,1151z1153,1163,1171,1181,

1187,1193,1201,1213,1217,1223,1229,1231,1237,

1249,1259z1277,1279,1283,1289,1291,1297,1301,

1303,1307,1319,1321,1327,1361,1367,1373,1381,

1399,1409,1423,1427z1429,1433,1439,1447,1451,

1453,1459,1471,1481,1483,1487,1489,1493,1499)

▼

__________________________100%▲<I|上「

2.運(yùn)用試除法求素?cái)?shù)

篩法是用乘法尋找素?cái)?shù)，事實(shí)上，也可以用試除法判斷一個(gè)數(shù)是否是素?cái)?shù)。并且，用

試除法的效率也許會(huì)更高。假設(shè)我們已經(jīng)找到了前n個(gè)素?cái)?shù)p,=2,p?=3,…,p“，為了尋找

下一個(gè)素?cái)?shù),我們從pn+2開(kāi)始依次檢查每一個(gè)整數(shù)N,看N是否能被某個(gè)p,,i=1,2,...,〃

整除。假如N能被前面的某個(gè)素?cái)?shù)整除，則N為合數(shù)。否則N即為下一個(gè)素?cái)?shù)pe。事

實(shí)上，為了提高算法的效率，我們不需要用前面的每一個(gè)素?cái)?shù)去試除N,而只需用不超過(guò)

而的素?cái)?shù)去除就可以了。

下面我們運(yùn)用試除法來(lái)求100,500,1000所有的素?cái)?shù)，程序運(yùn)營(yíng)如下:

■

號(hào)Untitled-1?目回兇

^Untitled-1?目回岡

PI

ln(l7]：=DivPrime[nlnteger]:=

Module[

{t={),±,j,teiT^zdivided}z

For[i=2,isn,i++z

j=1;divided=False;

TOiile[Prine[j]wSqrt[￡]&&《！divided),

teir^=Prime[j];

divided=(Nod[izteir<>]==0);

j=j+U；

If[!divided,鄴pendTo[t,i]]

］；

t]

DivPrire[500]

Out[18]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,

59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,

113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,

179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,

239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,

307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,

373,379,383,389,397,401z409,419,421,431z433,

439,443,449,457,461463,467,479,487,491,499}

z--_▼

100%▲4?

SUntitled-1?目回區(qū)]

In[19]：=DivPriJie[nlnteger]:=

Module[

{t={},i,j,teu^zdivided),

For[i=2,imn,i++z

j=1;divided=False;

Khlle[Prure[j]Sqrt[i]&&(!divided),

temp=Prine[j];

divided=(Mod[izter^]==0);

j=j+1]；

If[!divided,鄴pemiTo[t,i]]

]；

t]

DivPrijie[1000]

Out[20]=[2,3,5,1,11,13,17,19,23,29,31z37,41,43,

47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,

107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,

167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,

229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,

283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,

359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,

431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,

491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,

571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,

641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,

709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,

787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,

859,863,877,88JL,883,887,907,911,919,929,

937,941,947,953,967,971,977,983,991,997)

100%▲“I?I-

從以上的運(yùn)營(yíng)過(guò)程可以看出，試除法求素?cái)?shù)比￡「2251116睢5篩法更快。

3.數(shù)素性的判別

數(shù)素性的判別方法有三種，即：l）n-l檢查法2）基于廣義黎曼猜想的判別法3）概率

判別法，下面我們運(yùn)用概率判別法對(duì)〃=2,3,...,100這些數(shù)進(jìn)行數(shù)素性判別，程序運(yùn)營(yíng)如

下：

Untitled-1■目回兇

Mersenne[n_Integer]:=▲

Module[

(M,±,u=4),

If[!PrineQ[n],False,

A

M=2li-1;For[i=1,i<n-lzi++z

u=Mod[uA2-2,M]];