2021屆高考數(shù)學（理）考點復習：導數(shù)的概念及運算（含解析）

2021屆高考數(shù)學(理)考點復習

導數(shù)的概念及運算

1.導數(shù)的概念

⑴一般地，函數(shù))，=〃x)在x=xo處的瞬時變化率是蛔,/=媽/0°/黑―"咐，我們稱它為函數(shù)

nn.、Ay/(xo+Ax)-/a。)

y=/(x)在x=xo處的導數(shù)，記作G(xo)或y'|x=xo.即r的()=r!陽)晨=r媽-----晨------

(2)如果函數(shù)y=/(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點處都有導數(shù)，其導數(shù)值在3,勿內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù),

這個函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(。，份內(nèi)的導函數(shù).簡稱導數(shù)，記作了'(X)或y'.

2.導數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在點x=xo處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=/(x)在點P(xo,『(x()))處的切線的斜率&,

即k=f'(xo).

3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

基本初等函數(shù)導數(shù)

/(x)=c(c為常數(shù))f'W=Q

/(x)=K(aGQ*)f(JC)=axS!

f(x)=sinxf(x)=cosx

f(x)=cosxf(x)=~sinx

f(x)=e*/(力=更

f(x)=ax(a>0)fU)—qxlna

f(x)=:

f(x)=\nx

/(x)=log?x(6f>0,aWl)fW-xlna

4.導數(shù)的運算法則

若/⑴，/(工)存在，則有

(i)i/a)±ga)r=廣⑴墳'㈤；

(2)[/'(x>g(x)]'=f(工)女(x)+f(x)短(x);

⑶第'J⑶噎儼'

5.復合函數(shù)的導數(shù)

復合函數(shù)y=/（g（x））的導數(shù)和函數(shù)y=f（〃），〃=g（x）的導數(shù)間的關(guān)系為"'=",’?〃/，即y對x的

導數(shù)等于y對"的導數(shù)與〃對x的導數(shù)的乘積.

【概念方法微思考】

1.根據(jù)r（X）的幾何意義思考一下，『。）|增大，曲線/（X）的形狀有何變化？

提示，（x）|越大，曲線/（X）的形狀越來越陡峭.

2.直線與曲線相切，是不是直線與曲線只有一個公共點？

提示不一定.

1.（2020?新課標I）函數(shù)/。）=》4-2丁的圖象在點（1,f（1））處的切線方程為（）

A.y=-2x-1B.y=-2x+lC.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【解析】由f（x）=x4-2x3,得f\x）=4x3-6x2,

f'（1）=4-6=-2,

又/（1）=1—2=—1>

???函數(shù)=的圖象在點（1,/（1））處的切線方程為y-（-l）=-2（x-l）,

即y=-2x+l.

故選3.

2.（2020?新課標m）若直線/與曲線、=五和圓/+都相切，則/的方程為（）

A.y—2x+1B.y=2x+~C.y=—x4-1D.y=—x+—

【答案】D

【解析】直線/與圓Y+y2=（相切，那么圓心。0）到直線的距離等于半徑半，

四個選項中，只有A,。滿足題意；

對于A選項：y=2x+l與y=?聯(lián)立，可得2%一?+1=0，此時無解；

對于。選項：P='工+'與丁=五聯(lián)立，可得+=此時解得x=l；

2222

直線/與曲線y=\fx和圓A?+y2=（都相切，方程為y=gX+g，

故選。.

3.（2019?新課標H）曲線y=2sinx+cosx在點（肛-1）處的切線方程為（）

A.x-y-7t-\=QB.2x-y-2^-1=0C.2x+y-2;r+l=0D.x+y-乃+1=0

【答案】C

【解析】由y=2sinx+cosx,得)，=2cosx-sinx,

y'|皿"=2COST-sin7=-2>

曲線y=2sinx+cosx在點(%,-l)處的切線方程為y+l=-2(x-^),

即2x+y-2%+1=0.

故選C.

4.(2019?新課標III)已知曲線y=ae、+x/nx在點(l,ae)處的切線方程為y=2x+6,則()

A.a=e,/?=—1B.a=e,b=1C.a=e',b=lD.a=e~'>b——\

【答案】D

【解析】y=ae*+X/HX的導數(shù)為y'=aex+lnx+\,

由在點(\,ae)處的切線方程為y=2x+b,

可得ae+l+0=2,解得a=e-l

又切點為(1,1),可得l=2+b,即b=-l,

故選。.

5.(2018?全國)若函數(shù)，*)=加+1圖象上點(1,/(1))處的切線平行于直線y=2x+l,則。=(

1

OCD

B.4-

[解析】函數(shù)/(x)=ax'+\的導數(shù)為f'(x)=2ar,

可得點(],/(1))處的切線斜率為2a，

由點(1,f(1))處的切線平行于直線y=2x+l,

可得2a=2,

解得47=1(

故選￡).

6.(2018?新課標I)設(shè)函數(shù)/。)=丁+(<7-1*+ax.若/(x)為奇函數(shù)，則曲線y=/(x)在點(0,0)

處的切線方程為()

A.y=-2xB.y=—xC.y=2xD.y=x

【答案】D

【解析】函數(shù)f(x)=d++or，若/(x)為奇函數(shù)，f(-x)=-f(x),

-x3+(a-l)x2-ax=-(x1+(a-l)x2+ax')=-x3-(a-l)x2-ax.

所以：(a—l)x?=—(a—l)x'

可得a=l,所以函數(shù)f(x)=d+x,可得尸(x)=3d+l,

曲線y=/(x)在點(0,0)處的切線的斜率為：1,

則曲線y=/(x)在點(0,0)處的切線方程為：y=x.

故選O.

7.(2016?山東)若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，

則稱y=/(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有了性質(zhì)的是()

A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3

【答案】A

【解析】函數(shù)y=/(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，

則函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)上存在兩點，使這點的導函數(shù)值乘積為-1,

當丫=$指》時，y=cosx,滿足條件；

當y=時，y=，>0恒成立，不滿足條件；

x

當>="時，y，=e*>0恒成立，不滿足條件；

當y=時，了=3刀2>0恒成立，不滿足條件；

故選A.

8.(2016?四川)設(shè)直線4,4分別是函數(shù)=圖象上點8處的切線，4與/，垂

[lnx,x>1

直相交于點p,且4，4分別與y軸相交于點A，則的面積的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,”)D.(l,+oo)

【答案】A

【解析】設(shè)L，%),P，0,y2)(0<x,<1<x2),

當Ovxvl時，fr(x)=——，當X<1時,/'(%)=一，

.?/的斜率匕=_上，4的斜率網(wǎng)=上

4與4垂直，且工2>X>°，

/.匕&=------二-1,即fw=1.

直線4:y=---(x-%1)-lnxx,12:y=-(x-^)+Inx^.

Xx?

取x=O分別得至IJ4(0,1—/心|),B(O,-l+/nx2)，

|AB|=|1—lnx}—(—1+Inx^)|=|2—(/g+lnx2)\=\2—Inx、％|=2.

聯(lián)立兩直線方程可得交點P的橫坐標為X=2返,

函數(shù)了=%+—在。1）上為減函數(shù)，且0<玉<1,

?.x+—>1+1=2,貝ij0<—,

2

%x1+l

X

/.0<—<1.

%+一

X

/.APAB的面積的取值范圍是(0,1).

故選A.

9.(2020?新課標HI)設(shè)函數(shù)/(》)=￡,若廣(1)=-,則。=

x+a4

【答案】1

【解析】函數(shù)〃x)=￡,.-.f'(x)=(X+a~l\e'.

(x+a)

則a=l

4'"(a+1)2-4

故答案為：1.

10.(2019?全國)若函數(shù)f(x)=*+/〃(x+1),尸(0)=4,則°=

【答案】3

【解析】由〃幻=*+妨(X+1)，得八幻=。*+，一,

x+\

r(0)=4,.-.r(0)=a+l=4,

6Z—3?

故答案為：3.

11.(2018?天津)已知函數(shù)/(》)=/歷%,r(幻為f(x)的導函數(shù)，則廣(1)的值為

【答案】e

［解析】函數(shù)/(x)=e'lnx,

貝lj/'(x)=e'lnx+—ex

x

f(1)=e^l+le=e.

故答案為：e.

12.(2016?天津)已知函數(shù)/(x)=(2x+l)e、，/(幻為/(x)的導函數(shù)，則尸(0)的值為

【答案】3

【解析】f(x)=(2x+l)e\

f'(x)=2ex+(2x+l)ex,

f'(0)=2e°+(2x0+l)e°=2+1=3.

故答案為：3.

13.(2020?上海)已知函數(shù)f(x)=V,是f(x)的反函數(shù)，則尸Yx)=

【答案】?

【解析】由y=/(x)=x3,得x=/,

把x與y互換，可得，(x)=d的反函數(shù)為廠'(x)=也.

故答案為：W.

14.(2020?新課標I)曲線y=/nx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為一

【答案】y=2x

【解析】y=/nx+x+l的導數(shù)為y='+1,

X

設(shè)切點為（八〃），可得k=1+,=2,

m

解得m=1,即有切點（1,2）,

則切線的方程為y-2=2。-1）,即y=2x,

故答案為：y=2x.

15.（2019?天津）曲線y=cosx4在點（0,1）處的切線方程為.

【答案】x+2y-2=0

【解析】由題意，可知：

」1

y=-sinx--,

y[=_sin0_；=一；.

曲線y=cosx_5在點（0,1）處的切線方程：y-l=_gx,

整理，得：x+2y-2=O.

故答案為：x+2y-2=0.

16.（2019?江蘇）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=/，ir上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過

點（-e,-l）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是.

【答案】（e,l）

【解析】設(shè)A（』，lnxn）,由丁=加%,得>，=工，

X

y\=-^則該曲線在點A處的切線方程為丁-勿％=，（工-公），

切線經(jīng)過點（―e,-1），—1—lnxi）—------1,

即lnx{}--,則％=e.

不

.???點坐標為（&1）.

故答案為：（e,l）.

17.（2019?江蘇）在平面直角坐標系X。），中，尸是曲線y=x+4：（%>0）上的一個動點，則點。到直

x

線x+y=0的距離的最小值是.

【答案】4

44

【解析】由y=x+—（x>0）,得y，=l——-,

XX

44

設(shè)斜率為一1的直線與曲線y=x+—(x>0)切于(%,x0+—),

由1----=—1?解得％=V2(x0>0).

%

曲線y=x+d(x>0)上，點P(0,3立)至I」直線x+y=0的距離最小，

X

最小值為ML型11=4.

故答案為：4.

18.(2019?新課標I)曲線y=3(/+x)e*在點(0,0)處的切線方程為.

【答案】y=3x

(解析］y=3(x2+x)ex,

y'=3e'(x2+3x+l),

.,.當x=0時，y'=3,

：.y=3(x2+x)-在點(0,0)處的切線斜率k=3,

切線方程為：y=3x.

故答案為：y=3x.

19.(2018?新課標H)曲線y=2/nx在點(1,0)處的切線方程為.

【答案】y=2x-2

【解析】y=2lnx,

?-.y=2,

X

當x=l時，y'=2

.?.曲線y=21nx在點(1,0)處的切線方程為y=2x-2.

故答案為：y=2x-2.

20.(2018?新課標HI)曲線y=(or+l)e，在點(0,1)處的切線的斜率為一2,則〃=

【答案】-3

【解析】曲線y=(?x+l)e*,可得y'=ae'+(or+l)e*,

曲線y=(or+l)e*在點(0,1)處的切線的斜率為-2,

可得：a+\=-2,解得a=-3.

故答■案.為:—3.

21.(2018?新課標H)曲線y=2/〃(x+l)在點(0,0)處的切線方程為.

【答案】y=2x

【解析】y=2/〃(x+l),

.-2

."x+1'

當x=o時，y=2,

.?.曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x.

故答案為：y=2x.

22.(2017?全國)若曲線y=x+」一(x>l)的切線/與直線y=3x平行，則/的方程為.

x-14

【答案】3x-4y+5=0

【解析】設(shè)切點為("Z,")，

可得機4--------=n，

m-\

y=xd——(x>1)的導數(shù)為y=1----------7，

x-1(x-1)

由切線/與直線y=平行，可得

13

1-----------7=-，解得m=3,

(〃—)24

即有切點為(3,今，

可得切線的方程為y--=-(x-3),

24

即為3x-4y+5=0.

故答案為：3x-4y+5=0.

23.(2017?天津)已知aeR,設(shè)函數(shù)f(x)=or—/nr的圖象在點(1，f(1))處的切線為/,貝M在

y軸上的截距為.

【答案】I

【解析】函數(shù)/(x)=ot-/nx,可得/''(x)=a-L切線的斜率為：k=f'(A)=a-l>

X

切點坐標(1M),切線方程/為：y-a=(a-l)(x-l),

/在y軸上的截距為：a+(a-l)(-l)=l.

故答案為：1.

24.(2017?新課標I)曲線y=V+L在點(1,2)處的切線方程為.

X

【答案】x-y+l=O

【解析】曲線y=/+L可得y=2x-±,

xx'

切線的斜率為：*=2-1=1.

切線方程為：y-2=x-\,即：x-y+l=O.

故答案為：x-y+1=0.

25.(2016?新課標HI)已知/(x)為偶函數(shù)，當x<0時，f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=/(x)在點(1,一3)

處的切線方程是.

【答案】2x+y+l=0

［解析】/(X)為偶函數(shù),可得/(-X)=fix'),

當x<0時，f(x)=ln{-x)+3x,即有

x>0時，/(x)=lnx-3x,f(x)=--3?

x

可得f(1)=lnl—3=—3,f'(1)=1—3=—2,

則曲線y=/(x)在點(1,-3)處的切線方程為y-(-3)=-2(x-l),

即為2x+y+l=0.

故答案為：2x+y+l=0.

26.(2016?新課標III)已知/0)為偶函數(shù)，當用,0時，f(x)=e-x-'-x,則曲線y=/(x)在點(1,2)處

的切線方程是.

【答案】y=2x

【解析】己知/(x)為偶函數(shù)，當％,0時，f(x)=e-x-'-x,

設(shè)x>0,則-x<0，

.,"(X)=/(-X)=e*T+x,

則尸(x)=ei+l,

f(1)=e°+l=2.

曲線y=/(x)在點(1,2)處的切線方程是y-2=2(x-l).

B|Jy=2x.

故答案為：y=2x.

27.(2016?新課標H)若直線y=fcr+b是曲線y=/nr+2的切線，也是曲線y=/〃(x+l)的切線，則

b=.

【答案】1—仇2

【解析】設(shè)y=Ax+力與y=/nx+2和y=加0+1)的切點分別為(3,處+b)、(x2,kx2+b)；

由導數(shù)的幾何意義可得左=工=」一,得X|=X,+1

力龍2+1

kx、+b=lnx+2

再由切點也在各自的曲線上，可得}

kx2+1)

k=2

聯(lián)立上述式子解得為=1;

12

1

從而3+b=/g+2得出8=1—妨2.故答案為：1—ln2.

28.(2018?江蘇)記r(x),g(x)分別為函數(shù)/(x),g(x)的導函數(shù).若存在不￡R,滿足/(Xo)=g(Xo)

且/?)=g'(%)，則稱/為函數(shù)/(力與g。)的一個“S點與

(1)證明：函數(shù)/(x)=x與g(x)=f+2x-2不存在“S點”;

(2)若函數(shù)/(?=加-1與以外=醍存在“S點”，求實數(shù)。的值；

(3)已知函數(shù)/。)=一/+a,g(x)="-.對任意。>0,判斷是否存在b>0，使函數(shù)/(x)與g(x)

x

在區(qū)間(0,+OO)內(nèi)存在"S點”，并說明理由.

【解析】(1)證明：f'(x)=\,g，(x)=2x+2,

則由定義得卜”+2X-2,得方程無解，則/(幻=*與8口)=/+2》-2不存在“S點”;

1=2x+2

(2)/\x)=2ax,g")=一,x>0,

x

由frW=g'(%)得工=2ax，得x=，

f(￡T=gG)T"a2,得"=

(、、’,(、g，/、bex(x-l)

(3)f(x)=-2x,g(x)=-------(x工0),

由r?)=g'(x。)，假設(shè)匕>0，得加->o,得

由/(x0)=g(x°),得一片+“=^=-2^，得a=x：_二,

尤0%T毛-1

人722元~—x^+3x-+UK—Cl/八八1、

々7z(x)—x----------a—------------------------9(ci>0,0<%vl)，

x-1l-x

設(shè)m(x)=-x3+3x2+ax-a,(a>0,0<x<1),

則機(0)=-。<0,,n(1)=2>0,得%(0)，*(1)<0,

又加(x)的圖象在(0,1)上不間斷，

則％(x)在(0,1)上有零點,

則人⑶在(0,1)上有零點,

則存在b>0，使/(%)與g(x)在區(qū)間(0,-KO)內(nèi)存在“S”點.

29.(2016?新課標H)已知函數(shù)/。)=(犬+1)/心-40-1).

(I)當。=4時，求曲線y=/(x)在(1,7(1))處的切線方程；

(II)若當xe(l,+oo)時，/(%)>0,求°的取值范圍.

【解析】(/)當a=4時，/(x)=(x+l)/nx-4(x-l).

f(1)=0.即點為(1,0),

函數(shù)的導數(shù)r(x)=/nr+(x+l)--4,

X

則r(1)=/川+2—4=2—4=-2,

即函數(shù)的切線斜率％(1)=-2,

則曲線y=/(x)在(1,0)處的切線方程為y=—2(x—1)=—2x+2；

(II)f(x)=(x+l)lnx-a(x-1),

/.fr(x)=1+—4-Inx-a，

x

x>\?f,r(x)>0,

.?.r(x)在(i,+oo)上單調(diào)遞增，

f\x)>f'(1)=2-a.

①a,2,f\x)>f(1)..0,

.?./(X)在(1,+oo)上單調(diào)遞增，

:.f{x}>f(1)=0,滿足題意;

@a>2,存在與6(1,+=0),/5)=0,函數(shù)/'(x)在(1,與)匕單調(diào)遞減，在(%,+oo)上單調(diào)遞增,

由/(1)=0,可得存在為w(l,+8),/(x0)<0,不合題意.

綜上所述，4,2.

另解:若當xw(l，加)時,f(x)>0,

可得(x+l)/y(x—l)>0,

即為“〈生國竺，

x-1

1?

X-----------2//?r

由尸3竺的導數(shù)為

x-l(x-l)~

由y=x---2lnx的導數(shù)為'=]+」一J="J)>0,

xx~Xx~

1?

x----Linx

函數(shù)y在x>l遞增，可得(：_7>0,

則函數(shù)y=a+*〃x在x>l遞增,

,,1

z?八/lux+1H—

則lim業(yè)里幽=1而-------^=2,

Ix-1111

可得回士里竺>2恒成立，

x-\

即有q,2.

30.(2020?北京)已知函數(shù)f(x)=12-f.

(I)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程；

(II)設(shè)曲線y=/(x)在點。，/⑺)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為S⑺，求SQ)的

最小值.

【解析】(I)/?。)=12-/的導數(shù)小)=-2工,

令切點為(〃?,〃)，可得切線的斜率為-2加=-2,

.,./?!=1,A2=12—1=11,

切線的方程為y=-2x+13；

(11)曲線y=/(x)在點(f,f(t))處的切線的斜率為加=-2/,

切線方程為y-(12-產(chǎn))=-2f(xT),

令x=0,可得y=12+/，令了=0,可得了=匕+9,

2t

由S(T)=S(t),可知S⑺為偶函數(shù),

不妨設(shè)f>0，則S(f)=L(r+U)(12+“),

4t

,S，(f)W(3及+24-書］佇孥也,

由S")=0,得f=2,

當t>2時，S'(t)>Q,S(f)遞增;當0<1<2時,S,(/)<0,SQ)遞減，

則S。)在r=2和-2處取得極小值，且為最小值32,

所以SQ)的最小值為32.

31.(2020?新課標III)設(shè)函數(shù)/(xXl+bx+c,曲線y=/(x)在點(；，f(；))處的切線與y軸垂直.

(1)求b；

(2)若/3)有一個絕對值不大于1的零點，證明：f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

[解析】(1)由f(x)=x3+bx+c,得/(x)=,

2

r(1)=3x(l)+/?=o,即匕=一(；

a

3

(2)證明：設(shè)/為f(x)的一個零點，根據(jù)題意，/(x0)=x0--^-x0+c=O,且|天)|,,1,

3

則C=—+—XQ,I1.1|,,1i

令c(x)=—d+^M-啜*1)，

4

3II

d(x)=—3rH—=-3(x4—)(x—)，

422

當xe(-l,1)時，d(x)<0,當xe(-L,1)時，d(x)>0

2222

(1,1)上單調(diào)遞減，在(-，，m上單調(diào)遞增.

可知c(x)在(一1,一一),

2

乂c(—1)=1,c(1)=一；’c(4)=~r《)=；’

4

T瓢7-

44

3

x

設(shè)%為了(幻的零點,則必有f(x[)=x^~~\+^=0,

GP-l^=-^21

+Xi一,

4

2

3x1-l=(x1-l)(2x1+\)0,得_啜此],

[4x,3—3X1+1=(%+1)(2^,-1)2..O

即

??./(X)所有零點的絕對值都不大于1.

32.(2016?北京)設(shè)函數(shù)f(x)=丁+#+&c+c.

(1)求曲線y=/(x)在點(0,7(O))處的切線方程；

(2)設(shè)“=)=4,若函數(shù)/(x)有三個不同零點，求c的取值范圍；

(3)求證：3b>0是/(x)有三個不同零點的必要而不充分條件.

【解析】(1)函數(shù)/(》)=*3+32+法+。的導數(shù)為((幻=3/+2公+人，

可得y=/(X)在點(0,/(O))處的切線斜率為k=f\0)=b,

切點為(0,c)，可得切線的方程為y=6x+c；

(2)設(shè)q=b=4,即有f(x)=1+4x2+4x+c,

由/(x)=0，可得-。=％3+4-x2+4x,

由g(x)=d+4x2+4x的導數(shù)g，(x)=3/+8x+4=(x+2)(3x+2)，

當*>一§或x<-2時，g'(x)>0,g(x)遞增；

當時，g'(x)<0,g(x)遞減.

即有g(shù)(x)在x=-2處取得極大值，且為0；

g(x)在％=二處取得極小值，且為一必.

327

由函數(shù)/(x)有三個不同零點，可得

27

解得0<c〈必，

27

則c的取值范圍是(0,2)；

27

(3)證明：若f(x)有三個不同零點，令/(x)=0,

可得/(x)的圖象與x軸有三個不同的交點.

即有/(x)有3個單調(diào)區(qū)間，

即為導數(shù)f\x)=3x2+2ax+b的圖象與x軸有兩個交點，

可得△>(),即4a2—126>0,即為"一3匕>0；

若/-36>0,即有導數(shù)f'(x)=3/+2or+人的圖象與x軸有兩個交點，

當c=0,a=/?=4時，滿足片—3/>>0,

即有/(X)=X(X+2)2,圖象與x軸交于(0,0),(-2,0),則f(x)的零點為2個.

故片-3b>0是f(x)行三個不同零點的必要而不充分條件.

1

1.(2019?西湖區(qū)校級模擬)已知某函數(shù)的導數(shù)為y=則這個函數(shù)可能是()

2(1)

A.y=ln“-xB.y=\n—^^=C.y=\n(1-x)D.y=\n----

Jl—xx—1

【答案】A

【解析】對選項求導.

A、(InJl—X)f=——-(J1—X)，=-—r?符合；

VPx2(1)

對于B,0**y——ln>/l—x

:.y'=—-T~\,不符合;

.2(1)

對于c,y'=--(l-x)'=—――,不符合；

1-x、)\-x

對于D,In(x-1)，y'=-——,不符合；

X—1

故選A.

+b

2.(2020?重慶模擬)函數(shù)/(x)=以2+灰(。>0,6>0)在點(1,/(1))處的切線斜率為2,則-----

ab

的最小值是()

A.10B.9C.8D.372

【答案】B

L

【解析】由/(x)=ax^bx,得了(x)=2ax+b9

又/(x)=ax2+hx(tz>0,b>0)在點(1,/(l))處的切線斜率為2,

所以7(1)=2a+b=2,即。+4=1.

8a+b81

則-------——+—=

ahba

2a+h-2ci=一

當且僅當(包=23

即《時“=”成立.

、b2a

所以配心的最小值是9.

ah

故選B.

3.(2019?西湖區(qū)校級模擬)函數(shù)/(x)=cosx(siar+1)的導數(shù)是()

A.cos2x+sinxB.cos2x-sinxC.cos2x+cosxD.cos2x-cosx

【答案】B

【解析】/(x)=-sinx(siav+1)+cosx*costr=cos2x-sin2r-sinx=cos2x-sinx.

故選B.

則/好(

4.(2019?西湖區(qū)校級模擬)函數(shù)/(x)=cosx+sinx,)

1+y/35/3-11—\[3

---------B----------C.---------立-亨

【答案】C

【解析】/(x)=cosx-sinx,

故選C.

5.(2019?西湖區(qū)校級模擬)下列運算正確的是()

A.(3X),=3x\nx

sinx-xcosx+siav

C.(x--)=1--V

x廠

D.(log”)'=----

xln2

【答案】D

(/%，)'$?

故選D.

6.(2019?新疆模擬)已知/(x)(-1)-1,則/(-1)=()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】A

［解析］/(x)=/-x^f(-1)-1,

則/(%)=37-R(-1),

貝IJ/(-1)=3+2/(-I),

解得了(-1)=-3

故選A.

7.(2019?懷化三模)已知函數(shù)/(x)及其導數(shù)/(x),若存在xo使得/(w)—f(xo),則稱xo是7

(x)的一個“巧值點”.給出下列五個函數(shù)：?f(x)=/,@fCx)=e'x,(§y(x)=lru,@f

(x)=taru,其中有“巧值點”的函數(shù)的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，依次分析所給的函數(shù)：

①、若/(x)=?；則/(x)=2x,由f=2r,得x=0或x=2,這個方程顯然有解，故①符合

要求；

②、若/(x)=e3則,(x)=-e=,即e-*=-eF,此方程無解，②不符合要求；

③、/(x)=lnx,則/(X)=-,若lnx=1，利用數(shù)形結(jié)合可知該方程存在實數(shù)解，③符合要

XX

求；

cinr

④、f(x)=taar,則了(x)=(----)r=----—,即sin.rcosx=1,變形可sin2x=2,無解，

cosxcos^x

④不符合要求;

故選B.

8.（2020?濱州三模）函數(shù)y=lnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線方程為（）

A.x+ey-l+e=0B.x-ey+\-e=0C.x+ey=0D.x-ey=0

【答案】D

【解析】y=lnx的導數(shù)為了=,，

x

可得函數(shù)y=ln?r的圖象在點x=e處的切線斜率為k=—,

e

且切點為（e,1）,

則切線的方程為y-1=1（x-e）,

e

化為x-ey—0.

故選D.

9.（2020?鏡湖區(qū)校級模擬）若曲線>=/在x=0處的切線也是曲線y=lnx+2/?的切線，則實數(shù)匕=

（）

A.-1B.1C.2D.e

【答案】B

【解析】曲線y=，的導數(shù)為了=",

可得在x=0處的切線斜率為％=1,切點為（0,1）,

則切線的方程為y=x+l,

設(shè)直線y=x+l與y=lnx+2。相切的切點為（〃?，2b+lnM,

由y=lnx+26的導數(shù)為/=-,可得切線的斜率為—,

xm

則一=1,2b+]nm=m+],

m

解得"?=1,b—\,

故選B.

10.（2020?香坊區(qū)校級一模）過直線y=x上一點尸可以作曲線/G）=x-lnx兩條切線，則點P橫

坐標f的取值范圍為（）

A.r<lB.t<0C.0</<1D.-<Z<1

e

【答案】C

【解析】設(shè)切點為（H?,?n>0,

由f(x)=x-lar的導數(shù)為/(x)=1——，

x

可得切線的斜率為

m

又P(/,，)，可得

m-tm

化為t-m-m\nm,

設(shè)g(x)—x-xlnx.可得g'(x)=1-(1+lnx)=-Inx,

當x>I時，g'(x)<0>g(x)遞減；當0<x<l時，g'(x)>0,g(x)遞增.

可得g(x)在x=l處取得最大值1,

g(x)的圖象如右圖，

由題意可得當0<r<l時，方程r=〃7-mln,“有兩解，

故選C.

11.(2020?南崗區(qū)校級四模)曲線/GO=/(1)F-(e-1)x在點(0,f(0))處的切線的斜率

為()

1

A.2-eB.----C.1D.4-2e

2-e

【答案】A

【解析】/(x)=/(1)(e-1)x的導數(shù)為了(x)=/(1)F-(e-1),

可得/(1)=/(1)e-(e-1),解得f(1)=1,

所以/(x)=〃-(e-1)x,

f(x)="-(e-1),

則在點(0,/(0))處的切線的斜率為(0)=e°-(e-1)=2-e,

故選A.

12.(2020?漢陽區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(x)=siar在x=0處的切線與y=a/相切，則a的值為()

1

A.1B.eC.—D.c2

【答案】C

【解析】函數(shù)/(x)=siiu,的導數(shù)為了(x)=cosx,

可得函數(shù)/(x)=sinx在x=0處的切線斜率為左=1,

由切點(0,0),可得切線的方程為y=x,

又切線與丫=。/相切，設(shè)此時的切點為(m,ad"),

y—aer的導數(shù)為y'—ae1,

可得ae"'=m=1,

解得a——,

e

故選C.

13.(2020?來賓模擬)設(shè)函數(shù)/(x)^alnx+bx2(〃>0,。>0),若函數(shù)/(x)的圖象在x=l處的切

線與直線x+y-2e=0垂直，則工+:的最小值為()

A.1B.-C.3-25/2D.3+2五

2

【答案】D

【解析】函數(shù)/(x)的導數(shù)為了(x)=—+2bx,

x

可得函數(shù)/(x)的圖象在x=l處的切線斜率為a+2b,

由切線與直線x+y-2e=0垂直，可得a+2b=1,(a>0,b>0),

則'+'=(〃+28)(—+—)=1+2+—+—>3+2./—?—=3+272,

ababba\ba

當且僅當@=絲即4=J5〃二五一1時，取得等號，

ba

則工+」的最小值為3+2加，

ab

故選D.

x

14.