20192020學年高中數(shù)學第一章三角函數(shù)章末復習課學案北師大版必修4

第一章三角函數(shù)章末復習課網(wǎng)絡建立核心概括1．三角函數(shù)的觀點：重點掌握以下雙方面內(nèi)容：（1）理解隨意角的觀點和弧度的意義，能正確快速地進行弧度與角度的換算．（2）掌握隨意的角α的正弦、余弦和正切的定義，能正確快速利用三角函數(shù)值在各個象限的符號解題，能求三角函數(shù)的定義域和一些簡單三角函數(shù)的值域．2．引誘公式：能用引誘公式將隨意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，利用“奇變偶不變，符號看象限”切記全部引誘公式．擅長將同角三角函數(shù)的基本關系式和引誘公式聯(lián)合起來使用，經(jīng)過這些公式進行化簡、求值，達到培育推理運算能力和邏輯思想能力提高的目的．3．三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖像πkπ－，定義域RRπkπ＋2(k∈Z)值域[－1,1][－1,1](－∞，＋∞)續(xù)表x＝2kπ＋π2(k∈Z)x＝2π(∈Z)時，kk最值時，ymax＝1；x＝2kπymax＝1；x＝2kπ＋無最大值、最小值π(k∈Z)時，ymin＝－－π(k∈Z)時，ymin21＝－1周期性周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝kπ(k∈Z)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)在在[2kπ－π，π錯誤!(k∈Z)上是增2kπ](k∈Z)上是增在區(qū)間(kπ－2，kπ單一性函數(shù)；在函數(shù)；在[2kπ，2kππ錯誤!(k∈Z)上是減＋π](k∈Z)上是減＋2)(k∈Z)上是增函數(shù)函數(shù)函數(shù)軸對稱圖形，對稱軸軸對稱圖形，對稱軸方程是x＝kπ＋π，方程是x＝kπ，k∈Z；中心對稱圖形，對稱2中心對稱圖形，對稱對稱性kπk∈Z；中心對稱圖形，π中心(k∈Z)，0對稱中心(kπ，0)(k中心kπ＋，0(k22∈Z)∈Z)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應用重點掌握“五點法”，會進行三角函數(shù)圖像的變換，能從圖像中獲得盡可能多的信息，如周期、半個周期、四分之一個周期等，如軸對稱、中心對稱等，如最高點、最低點與對稱中心之間地點關系等．能從三角函數(shù)的圖像概括出函數(shù)的性質(zhì)．堅固掌握三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、單一性、奇偶性和對稱性．在運用三角函數(shù)性質(zhì)解題時，要擅長運用數(shù)形聯(lián)合思想、分類議論思想、化歸轉(zhuǎn)變思想將綜合性較強的試題完好正確地進行解答．重點一隨意角的三角函數(shù)的定義有關三角函數(shù)的觀點主要有以下兩個方面：隨意角和弧度制，理解隨意角的觀點，弧度制的意義，能正確地進行弧度與角度的換算．隨意角的三角函數(shù)，掌握隨意角的正弦、余弦、正切的定義及三角函數(shù)線，可以利用三角函數(shù)線判斷三角函數(shù)的符號，借助三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域．【例1】已知cosθ＝m，|m|≤1，求sinθ，tanθ的值．π解(1)當m＝0時，θ＝2kπ±2，k∈Z；當θ＝2kπ＋π2時，sin

θ＝1，tan

θ不存在；π當θ＝2kπ－

2時，sin

θ＝－1，tan

θ不存在．(2)當

當m＝1時，θ＝2kπ，k∈Z，sinθ＝tanθ＝0.m＝－1時，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sinθ＝tanθ＝0.當θ在第一、二象限時，2sinθ＝2θ＝1－m1－m，tan.m當θ在第三、四象限時，2sinθ＝－2θ＝－1－m1－m，tan.m【訓練1】已知角θ的終邊經(jīng)過點(－3，)(≠0)且sinθ＝2，試判斷角θ所Pmm4m在的象限，并求cosθ和tanθ的值．2解由題意，得r＝3＋m，2所以sinθ＝＝.24m3＋m由于m≠0，所以m＝±5，故角θ是第二或第三象限角．當＝5時，r＝22，點P的坐標為(－3，5)，角θ是第二象限角，mx－36所以cosθ＝r＝22＝－4，y5＝－15；tanθ＝＝3x－3當m＝－5時，r＝22，點P的坐標為(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cosθx－36＝r＝22＝－4，y－515tanθ＝＝＝.x－33重點二引誘公式的應用對于π±α，－α，2π±α記憶為“函數(shù)名不變，符號看象限”．π(2)對于2±α記憶為“函數(shù)名改變，符號看象限”．注意：①名改變指正弦變余弦或余弦變正弦，正切與余切之間變化．②“符號看象限”是指把α看作銳角時原函數(shù)值的符號．③其作用是“負角變正角，大角變小角，小角變銳角”．【例2】(1)若θ∈π，π(注：對隨意角α有sin2α＋cos2α＝1建立)，則21－π＋θ3π)－θ＝(2A．sinθ－cosθB．cosθ－sinθC．±(sinθ－cosθ)D．sinθ＋cosθ(2)已知f()＝sin(π＋α)＋cos(π－β)，此中α，β，a，b均為非零實數(shù)，若xaxbxf(2016)＝－1，則f(2017)等于________．分析(1)1－π＋θ3π－θ2＝1－2sinθcosθ＝|sinθ－cosπ，π，θ|，又θ∈2sinθ－cosθ＞0，故原式＝sinθ－cosθ.(2)由引誘公式知f(2016)＝asinα＋bcosβ＝－1，f(2017)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.答案(1)A(2)13【訓練2】已知角α的終邊經(jīng)過點P5，－5.求sinα的值；sinπ2－αα－π(2)求·的值．α＋ππ－α解(1)∵|OP|＝1，∴點P在單位圓上．3由正弦函數(shù)的定義得sinα＝－5.cosαtanα原式＝－sinα·－cosαsinα1＝sinα·cosα＝cosα，由余弦函數(shù)的定義得cos45α＝.故所求式子的值為.54重點三三角函數(shù)的圖像及變換1．用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖像時，確立五個重點點的方法是分別令ωx＋φ30，2，π，2π，2π.2．對于y＝Asin(ωx＋φ)＋h，應明確A、ω決定“變形”，φ、h決定“位變”，A影響值域，ω影響周期，A、ω、φ影響單一性．針對x的變換，即變換多少個單位，向左或向右很簡單犯錯，應注意先“平移”后“伸縮”與先“伸縮”后“平移”的差別．π【例3】函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2的一段圖像如圖．求f(x)的分析式；把f(x)的圖像向左起碼平移多少個單位，才能使獲得的圖像對應的函數(shù)為偶函數(shù)？解(1)A＝3，2ωπ＝434π－π4＝5π，2故ω＝.5由f(x)＝3sin

25x＋φ

過

π4，0

得

sin

π10＋φ＝0.ππ又|φ|＜2，故φ＝－10，π故f(x)＝3sin5x－10.(2)由f(＋)＝3sin2x＋m－πxm510＝3sin2＋2－π為偶函數(shù)(m＞0)，5x5m102mππ53π知5－10＝kπ＋2(k∈Z)，即m＝2kπ＋2(k∈Z)．∵＞0，∴min＝3π.mm23π故起碼把f(x)的圖像向左平移2個單位長度，才能使獲得的圖像對應的函數(shù)是偶函數(shù)．【訓練3】已知函數(shù)f(x)的部分圖像如下圖，則f(x)的分析式可能為( )πA．f(x)＝2sin2－6πB．f(x)＝2cos4x＋πC．f(x)＝2cos2－3

4．＝2sin4x＋πDf(x)6分析由圖像知周期＝4π，則ω＝1，清除B、D；由f(0)＝1，可清除A.T2答案C重點四三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)，重點應掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的定義域、值域、單一性、奇偶性、對稱性等有關性質(zhì)，在此基礎上掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的有關性質(zhì)．在研究其有關性質(zhì)時，將ωx＋φ當作一個整體，利用整體代換思想解題是常有的技巧．【例4】f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對隨意實數(shù)x知足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上單一遞減，而α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，求證：f(sinα)>f(cosβ)．證明∵f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期為2.f(x)在[－1,0]與[－3，－2]上的單一性同樣．f(x)在[－1,0]上單一遞減．∵f(x)是偶函數(shù)，f(x)在[0,1]上的單一性與[－1,0]上的單一性相反．f(x)在[0,1]上單一遞加．①∵α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，π∴α＋β>，2ππππ∴α>2－β，且α∈0，2，2－β∈0，2.又∵y＝sinx在0，π2上單一遞加，π∴sinα>sin2－β＝cosβ，即sinα>cosβ.②由①②，得f(sinα)>f(cosβ)．ππ【訓練4】已知a＞0，函數(shù)f(x)＝－2asin(2x＋6)＋2a＋b，當x∈0，2時，5≤f(x)≤1.求常數(shù)a，b的值；π設g(x)＝fx＋2且lgg(x)＞0，求g(x)的單一區(qū)間．πππ7π解(1)∵x∈0，2，∴2x＋6∈6，6.1sin2x＋6∈－2，1，π∴－2asin2x＋6∈[－2a，a]．f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，b＝－5,3a＋b＝1，所以a＝2，b＝－5.(2)由(1)得a＝2，b＝－5，πf(x)＝－4sin2x＋6－1，g(x)＝fx＋π＝－4sin2x＋7π－126π4sin2x＋6－1，又由lgg(x)＞0得g(x)＞1，π4sin2x＋6－1＞1，π1∴sin2x＋＞，62ππ5π∴2kπ＋6＜2x＋6＜2kπ＋6，k∈Z，此中當2π＋π＜2＋π≤2π＋π，∈Z時，()單一遞加，即kπ＜≤π＋π，∈k6x6k2kgxxk6kZ，∴g(x)的單一增區(qū)間為kπ，kπ＋π，k∈Z.6又∵當2π＋π＜2＋π＜2π＋5π，∈Z時，(x)單一遞減，即kπ＋π＜＜π＋π，26636k∈Z.∴g(x)的單一減區(qū)間為kπ＋π，π＋π，k∈Z.6k3重點五三角函數(shù)的綜合應用求解復合函數(shù)的有關性責問題時，應同時考慮到內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的各自特點及它們的互相限制關系，正確地進行等價轉(zhuǎn)變；在求三角函數(shù)的定義域時，不單要考慮函數(shù)式存心義，并且要注意三角函數(shù)各自的定義域的要求．一般是歸納為解三角函數(shù)不等式(組)，可用圖像法或單位圓法；求復合函數(shù)的單一區(qū)間應依據(jù)復合函數(shù)單一性的規(guī)則進行；用周期函數(shù)的定義求函數(shù)的周期是求周期的根本方法，在證明有關函數(shù)的周期性問題時，也常用周期函數(shù)的定義來辦理．【例

5】

已知函數(shù)

f(x)＝log12

2sin

x－π4

.求它的定義域和值域、單一區(qū)間；判斷它的奇偶性、周期性，假如是周期函數(shù)，求出它的最小正周期．解令u(x)＝2sinx－π4.f(x)＝log12sinx－π4211sinx－π.＝－＋log422(1)要使f(x)存心義，則sinx－π＞0，所以2kπ＜x－π＜(2k＋1)π(k∈Z)，即x∈442kπ＋π，2kπ＋5π(k∈Z)．44ππ由于0＜sinx－4≤1，所以0＜2sinx－4≤2，所以f(x)＝log1u(x)≥－12.2所以f(x)的值域為－1，＋∞.2x－π∈2kπ，2kπ＋π時，()是增函數(shù)，所以f(x)＝log1()是減函數(shù)．42uxux2所以x∈2kπ＋π，2kπ＋3π時，函數(shù)是減函數(shù)．44同理可求得x∈2kπ＋3π5πk∈Z)時，函數(shù)是增函數(shù)．4，2kπ＋(4(2)由于f(x)的定義域不對于原點對稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)．又＋π11πf(x2)2logsin4211sinx－π＝f(x)，＝－＋log422此中x∈2kπ＋π，2kπ＋5π(k∈Z)，所以f( )是周期函數(shù)，且最小正周期是2π.44x【訓練5】函數(shù)f(x)＝cosx＋2|cosx|在[0,2π]上與直線y＝m有且僅有2個交點，求m的取值范圍．解f(x)π33cosx，x∈0，2∪2π，2π，＝3cosx，x∈2，2π，如圖：由圖可知：當m＝0或1＜m≤3時，直線y＝m與f(x)的圖像有且僅有2個交點.基礎過關1．sin(－60°)的值是( )11A．－2B.233C．－2D.2分析3sin(－60°)＝－sin60°＝－.2答案C2．已知角α是第二象限角，角α的終邊經(jīng)過點(4)，且cosα＝x，則tanα＝( )Px,543A.3B.434C．－4D．－3分析∵α是第二象限角，且終邊經(jīng)過點P(x,4)．∴x＜0.xxcosα＝x2＋42＝5，x＝－3.則P(－3,4)．4tanα＝－3＝－3.答案D3．已知2sinπ＝1，則cos(α＋π)＝( )α＋211A.2B．－233C.2D．－2∵2sinπ＝2cosα＝1，分析α＋2∴cos11α＝，cos(α＋π)＝－cosα＝－，應選B.22答案B4．已知扇形的周長是6，圓心角是1弧度，則該扇形的面積為________．AOBl分析由2R＋l＝6，R＝1，得R＝l＝2，1∴S＝2×2×2＝2.答案2．函數(shù)y＝3sin2x－π在區(qū)間0，π上的最大值是________，此時自變量x＝________.532分析∵∈0，π，∴－π≤2－π≤2π.令u＝2－π，又函數(shù)＝sinu在－π，2π2333333上的最大值為1，∴函數(shù)y＝3sin2x－π在區(qū)間0，π上的最大值是3×1＝3，此時自變量2－π＝π，即32x325πx＝12.答案5π1123－－cos585°·tan－37π.6．計算11π4tan3－3sin120°＋cos225°tanπ解原式＝2π4tan3π1ππ＝－3cos6·－tan＋(－cos45°)·tan433－3＋－2323－2＝－3×××1＝－＝.232222π7．已知函數(shù)f(x)＝3sin2x＋4－1，x∈R，求：(1)函數(shù)f(x)的最小值及此時自變量x的取值會合；1π(2)函數(shù)y＝sinx的圖像經(jīng)過如何的變換獲得函數(shù)f(x)＝3sin2x＋4－1的圖像．解(1)函數(shù)f(x)的最小值是3×(－1)－1＝－4，此時有1＋π＝2kπ－π，解得x＝4kπ－3π(k∈Z)，2x422即函數(shù)f(x)的最小值是－4，此時自變量x的取值會合是xx＝4kπ－3π，k∈Z.2步驟是：①將函數(shù)y＝sinx的圖像向左平移π個單位長度，獲得函數(shù)y＝sinx＋π的圖像；44②將函數(shù)y＝sinx＋π的圖像上全部點的橫坐標伸長為本來的2倍(縱坐標不變)，獲得函4數(shù)y＝sin1x＋π的圖像；241π③將函數(shù)y＝sin2x＋4的圖像上全部點的縱坐標伸長為本來的3倍(橫坐標不變)，獲得函數(shù)＝1πy3sinx＋的圖像；241π1π④將函數(shù)y＝3sin2x＋4的圖像向下平移1個單位長度，得函數(shù)y＝3sin2x＋4－1的圖像．能力提高kπ(－1≤k≤1)與函數(shù)y＝tan2x＋πk＝()8．若直線x＝2的圖像不訂交，則413A.4B．－41313C.4或－4D.4或4分析由2x＋π＝π＋nπ.n∈Z，得x＝π＋nπ.4282ππnπ1＋4n2，k＝由題意得2＝8＋4，又－1≤k≤1.13∴k＝4或k＝－4.答案C5π＝2，f11π9．設函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，此中ω>0，|φ|<π.若f＝0，88且f(x)的最小正周期大于2π，則()A．ω＝2，φ＝πB．ω＝2，φ＝－11π312312111π17πC．ω＝3，φ＝－24D．ω＝3，φ＝245ωπ＋φ＝2k1π＋π分析由題意82，4211ωπ3312218＋φ＝k2π，2π>2π，ω所以0<ω<1，所以ω＝2，φ＝2k1π＋1π，應選A.312π，由|φ|<π得φ＝12答案Asinπ10．已知tan2＋θ－π－θθ＝2，則π－θ－＝________.sinπ－θ2cosθ＋cosθ2cosθ2θ＝－2.分析原式＝cosθ－sinθ＝cosθ－sinθ＝1－tan答案－2sin，sinx≤cosx，11．對于函數(shù)f(x)＝x給出以下四個命題：cosx，sinx＞cosx，①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；②當且僅當x＝π＋kπ(k∈Z)時，該函數(shù)獲得最小值－1；5π③該函數(shù)的圖像對于x＝＋2kπ(k∈Z)對稱；④當且僅當

π2kπ＜x＜2＋2kπ(k∈Z)時，0＜f(x)≤

2.2此中正確命題的序號是________(請將全部正確命題