第一節(jié)定積分

第一節(jié)定積分第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì)

第五章第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日2.變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動,且求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度n

個小段過的路程為第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日3)近似和.4)取極限.上述兩個問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日二、定積分定義任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時稱f(x)在[a,b]上可積

.記作第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值各部分面積的代數(shù)和第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日定理1.定理2.且只有有限個間斷點可積的充分條件:(證明略)例1.

利用定義計算定積分解:將[0,1]n

等分,分點為取第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日注第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日[注]

利用得兩端分別相加,得即第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日例2.用定積分表示下列極限:解:第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日說明:根據(jù)定積分定義可得如下近似計算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森公式,復(fù)化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用.第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))證:=右端第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日證:

當(dāng)時,因在上可積,所以在分割區(qū)間時,可以永遠取

c

為分點,于是第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日當(dāng)a,b,c

的相對位置任意時,例如則有第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日6.

若在[a,b]上則證:推論1.

若在[a,b]上則第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日推論2.證:即7.

設(shè)則第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日例3.

試證:證:

設(shè)則在上,有即故即第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日8.

積分中值定理則至少存在一點使證:則由性質(zhì)7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日說明:

可把故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.

積分中值定理對因第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日例4.

計算從0秒到T秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度.解:

已知自由落體速度為故所求平均速度第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理矩形公式梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計算第二十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日