正項級數(shù)判別法

正項級數(shù)判別法演示文稿當(dāng)前1頁，總共34頁。正項級數(shù)判別法當(dāng)前2頁，總共34頁。如果級數(shù)滿足條件：稱為正項級數(shù)。一、正項級數(shù)及其審斂法數(shù)列極限存在準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限定理1.

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.當(dāng)前3頁，總共34頁。證明:這是一個正項級數(shù)，其部分和為:故{sn}有界，所以原級數(shù)收斂.當(dāng)前4頁，總共34頁。定理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項級數(shù)，且(1)級數(shù)

收斂，則級數(shù)收斂；(2)級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散.即:大的收斂,小的一定收斂;小的發(fā)散,大的一定發(fā)散.

當(dāng)前5頁，總共34頁。（1）若則由定理1知,因此所以級數(shù)（2）若則由定理1知,因此所以級數(shù)收斂，也有界，收斂；發(fā)散，也無界，發(fā)散；推論：

如果正項級數(shù),則定理2中的結(jié)論仍和從某項N之后滿足關(guān)系式:成立。當(dāng)前6頁，總共34頁。例2.

討論p級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因調(diào)和級數(shù)所以p級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,由比較審斂法可知：因為當(dāng)故時,2)若當(dāng)前7頁，總共34頁?？紤]級數(shù)的部分和故級數(shù)收斂,由比較審斂法知p級數(shù)收斂.結(jié)論：p—級數(shù)當(dāng)

p>1時收斂；當(dāng)

p

1時發(fā)散。當(dāng)前8頁，總共34頁。（2）時，幾何級數(shù)，收斂。設(shè)收斂于S。由定理1知，此時P-級數(shù)收斂。公比

，法二當(dāng)前9頁，總共34頁。調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).而級數(shù)是發(fā)散的；比較審斂法的不便:須有參考級數(shù).由比較判別法可知，所給級數(shù)也發(fā)散.當(dāng)前10頁，總共34頁。解：例3.判別級數(shù)的收斂性。所以所以原級數(shù)為正項級數(shù)。取而是收斂的幾何級數(shù)，所以，是收斂的。當(dāng)前11頁，總共34頁。例4判定級數(shù)的斂散性。解即而級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂。當(dāng)前12頁，總共34頁。0,收斂和有相同的斂散性。收斂;發(fā)散發(fā)散;注意：若發(fā)散，不一定發(fā)散。定理3.(比較審斂法的極限形式)設(shè)兩正項級數(shù)本質(zhì)：比較兩正項級數(shù)一般項作為無窮小量的階當(dāng)前13頁，總共34頁。由比較審斂法,得證.證明由比較審斂法,得證.假設(shè)收斂，由（2）知收斂，與發(fā)散矛盾。故發(fā)散。當(dāng)前14頁，總共34頁。的斂散性.～例5.

判別級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例6.判別級數(shù)解:由比較審斂法的極限形式知～發(fā)散，正確嗎？當(dāng)前15頁，總共34頁。解：例7：判別級數(shù)的收斂性。收斂且由比較判別法的極限形式知，收斂。當(dāng)前16頁，總共34頁。0,收斂和有相同的斂散性。收斂;發(fā)散發(fā)散;(1)特別取則收斂，若(2)取則發(fā)散，若（或為+）發(fā)散當(dāng)前17頁，總共34頁。推論(極限審斂法)設(shè)為正項級數(shù),(1)若，則級數(shù)發(fā)散;(2)如果p>1，而，則級數(shù)收斂.例如.級數(shù)當(dāng)n

時，故所給級數(shù)收斂當(dāng)前18頁，總共34頁。（1）使用比較審斂法（包括推論或極限形式），需選取一個適當(dāng)?shù)?、收斂性為已知的級?shù)作為比較對象。（2）常用的比較對象有：等比級數(shù)、P-級數(shù)和調(diào)和級數(shù)。（3）比較對象的選取有時比較困難。說明：當(dāng)前19頁，總共34頁。定理4

.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知（3）當(dāng)=1時，不能用此法判定級數(shù)的斂散性。當(dāng)前20頁，總共34頁。因此所以級數(shù)發(fā)散.時說明:

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而(2)當(dāng)當(dāng)前21頁，總共34頁。注意:當(dāng)前22頁，總共34頁。比較判別法與比值判別法常結(jié)合使用例8.判定級數(shù)解：因為所以故的收斂性收斂，收斂。比值審斂法的優(yōu)點：無須尋找比較對象，直接利用級數(shù)自身的一般項，因此使用直觀方便。當(dāng)前23頁，總共34頁。例9.判定級數(shù)解：比值判別法失效，需改用其它方法來判別。的收斂性。當(dāng)前24頁，總共34頁。例9.判定級數(shù)的收斂性。解：而級數(shù)由比較判別法知也是收斂的。是p=2的

p

級數(shù)，是收斂的，

注意：當(dāng)某個判別法失效時，不要盲目下結(jié)論，此時要改用其它方法進一步判別。當(dāng)前25頁，總共34頁。例10.

討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;當(dāng)前26頁，總共34頁。(2)當(dāng)>1(或為

)

時，級數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)=1

時,不能用此法判定級數(shù)的收斂性。

同比值審斂法一樣，根值審斂法也有使用直觀方便的優(yōu)點；

比值審斂法與根值審斂法均要求所用到的極限存在，且不等于1。定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項級則數(shù),且根值審斂法適用于通項含有n次冪；當(dāng)前27頁，總共34頁。例11.判定下列級數(shù)的收斂性。解：因為所以由根值判別法知，級數(shù)收斂由兩邊夾法則當(dāng)前28頁，總共34頁。解：因為所以根值判別法失效所以所給級數(shù)發(fā)散。例11.判定下列級數(shù)的收斂性。當(dāng)前29頁，總共34頁。比值判別法與根值判別法的比較：（1）適用對象若一般項中含有因子則一般考慮用比值法，若一般項中含有因子則一般考慮用根值法，（2）適用范圍若用根值法失效，即則用比值法也一定失效，即此時必有反之不成立。（3）一般來說，比值法運算簡單，根值法適用范圍大。當(dāng)前30頁，總共34頁。例12：判定級數(shù)解：因為且含有因子（1）當(dāng)0<a<e，時，所給級數(shù)收斂；的收斂性。（2）當(dāng)a>e，時，所給級數(shù)發(fā)散；當(dāng)前31頁，總共34頁。例12：判定級數(shù)解：因為且含有因子的收斂性。（3）當(dāng)a=e，時，所以所給級數(shù)發(fā)散。當(dāng)前32頁，總共34頁。例13.