第七章 量綱分析與相似理論

第七章量綱分析與相似理論第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7-1量綱分析

一、量綱與單位1.單位：表征各物理量的大小。

如長度單位m、cm、mm；時間單位小時、分、秒等。質(zhì)量單位千克、克等2.量綱：表征各物理量單位的種類。

如m、cm、mm等同屬于長度類，用L表示；小時、分、秒等同屬于時間類，用T表示；公斤、克等同屬于質(zhì)量類，用M表示。第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日3.基本量綱和導出量綱（1）基本量綱：量綱互不依賴、相互獨立。

長度量綱質(zhì)量量綱時間量綱（2）導出量綱：由基本量綱表示的量綱，可用基本量綱的指數(shù)乘積來表示。力粘度

速度第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日4.量綱分類

（1）幾何學量綱：

（2）運動學量綱：

（3）動力學量綱：

（4）無量綱數(shù)：

第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、量綱和諧性原理1.量綱和諧原理是指在一個反映客觀規(guī)律的物理方程式中，各項的量綱必須是一致的，它是被無數(shù)事實所證明的一個客觀原理。連續(xù)性方程

伯諾里方程

2.在經(jīng)驗公式中常有帶量綱的系數(shù)，這類公式的量綱是不和諧的。

動量方程

第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日三、量綱分析法量綱分析法：在量綱和諧性原理的基礎(chǔ)上，形成了兩種按照物理量之間的量綱和諧性建立各物理量之間的函數(shù)關(guān)系式的方法。瑞利法若某一物理過程與個物理量有關(guān)，即

其中一個物理量可以表示成其它物理量的指數(shù)乘積形式

無量綱數(shù)

待定系數(shù)

第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7-1已知作用在做勻速圓周運動物體上的離心力，與物體的質(zhì)量、速度和圓周半徑有關(guān)，試用瑞利法推導離心力公式。[解]根據(jù)已知條件，離心力可以寫成以下指數(shù)形式根據(jù)量綱和諧性，有

第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7-2由實驗得知：恒定有壓管流的臨界流速與管徑、流體密度和粘度有關(guān)，試用瑞利法求出它們之間的關(guān)系式。[解]根據(jù)已知條件，有以下待定函數(shù)關(guān)系根據(jù)量綱和諧性有

第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.定理法

(布金漢法)

若物理方程為

而這些變量中含有m個基本物理量，則可組合這些變量成為(n–m)個無量綱π數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即…這三個基本量分別表征流體物性、幾何特性和運動特征第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日必須相互獨立

表征流體物性：密度、粘度等

表征幾何特性:管徑、管長等

表征運動特性：速度、重力加速度等

第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日定理法的運用步驟：

（1）找出對物理過程有影響的個物理量，寫成函數(shù)形式。所謂有影響的物理量是指對研究的物理過程起作用的各種獨立因素（2）選出個相互獨立的基本量，一般取個（4）根據(jù)量綱和諧性原理，找出各項的待定系數(shù)、、。

（3）將個基本量依次與其余量組成個無量綱項

（5）寫出描述該物理過程的關(guān)系式

第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7-3已知圓球的繞流阻力與流體的密度和粘度、圓球的直徑、來流的流速相關(guān)，試用定理推導繞流阻力公式。[解]（1）建立函數(shù)關(guān)系式

（2）選取、、為三個基本量，求各項。

第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日根據(jù)量綱和諧性原理

同理

（3）寫出無量綱方程

第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7-4根據(jù)實驗，某氣體管流現(xiàn)象的物理方程為

壓強損失：

氣體密度：

流速：

動力粘度：

管徑：

管長：

管壁粗糙度：

試用定理推導氣體管路壓強損失公式。[解]

（1）取、、作為三個基本量，求各項

第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日（2）根據(jù)量綱和諧性原理，略去具體計算步驟，求得各項結(jié)果為（3）寫出無量綱方程

第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7-2相似的基本概念一、幾何相似模型和實際流場的幾何形狀相似，即對應的線段成比例，對應的夾角相等。長度比尺

面積比尺

體積比尺

第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、運動相似

兩個流場對應點上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即速度比尺

加速度比尺

時間比尺

重力加速度比尺

第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日三、動力相似兩個流動各對應點上受到的各種同名力方向相同、大小成比例，即粘性力重力壓力彈性力表面張力慣性力力的比尺

密度比尺粘度比尺

第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日四、初始條件和邊界條件相似1.初始條件和邊界條件的相似是保證兩個流動相似的充分條件，正如初始條件和邊界條件是微分方程的定解條件一樣。2.對于非恒定流，初始條件是必須的，而對于恒定流，初始條件則失去了意義。3.邊界條件是指兩個流動相應邊界性質(zhì)相同，比如，自由表面上的壓強等于大氣壓強，固體邊界上的法線速度為零等。幾何相似是運動相似和動力相似的前提；動力相似是決定流動相似的主要因素；運動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7-3相似準則

1.相似準則：兩個流動要實現(xiàn)動力相似，作用在相應質(zhì)點上的各種作用力的比尺要滿足的約束關(guān)系。一、牛頓相似準則

2.牛頓相似準則慣性力比尺

力的比尺

牛頓數(shù)

牛頓相似準則是兩個流動動力相似的充分與必要條件

第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、動力相似準則

1.雷諾準則（粘性力準則）粘性力比尺

雷諾數(shù)

雷諾準則：粘性力起主要作用。第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.佛汝德準則（重力準則）重力比尺

佛汝德數(shù)

佛如德準則：重力起主要作用。第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日3.歐拉準則（壓力準則）壓力比尺

歐拉數(shù)

歐拉準則：動壓力起主要作用。第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日4.其它準則韋伯準則（表面張力準則）

柯西準則（彈性力準則）馬赫準則（彈性力準則）韋伯數(shù)

柯西數(shù)

馬赫數(shù)

水擊、水流誘發(fā)振動超音速氣流小規(guī)模流動，表面張力顯著第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7-5一潛艇長為L＝78m，水面航速為13kn,現(xiàn)用1：50的模型在水池中做實驗測它的興波阻力，試確定水池拖車的拖曳速度。

解：實驗應按佛汝德準則進行。已知船模長度：實艇水面航速為：故實驗時船模的拖曳速度為：第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日

例7-6已知直徑為15cm的輸油管，流量0.18m3/s，油的運動粘度νp=0.13cm2/s?，F(xiàn)用水作模型實驗，水的運動粘度νm=0.013cm2/s。當模型的管徑與原型相同時，要達到兩流動相似，求水的流量Qm。若測得5m長輸水管兩端的壓強水頭差，試求100m長的輸油管兩端的壓強差？解：（1）因圓管中流動主要受粘滯力作用，所以應滿足雷諾相似準則因，上式可簡化為第二十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日流量比尺，所以模型中水的流量為（2）流動的壓降滿足歐拉準則

因，則5m長輸油管兩端的壓強差為