第六章剛體運動

第六章：剛體運動

(拉氏量方法應(yīng)用)當(dāng)前1頁，總共123頁。1：運動方程：Euler-Lagraingian方程:(2s個狀態(tài),s個方程)2：體系的幾種基本時空不變性：=>守恒定律物理原理回顧當(dāng)前2頁，總共123頁。相應(yīng)地有運動積分(不變量)當(dāng)前3頁，總共123頁。31.角速度運動學(xué)量介紹剛體:質(zhì)點組(多質(zhì)點,>2,不在一直線),質(zhì)點相互直接保持距離不變.離散質(zhì)點組連續(xù)質(zhì)點組求和積分回憶：如何推導(dǎo)出桿子的運動方程通過確定廣義坐標(biāo)，寫出拉氏量，最后化間。發(fā)現(xiàn)只需要3個和密度有關(guān)的內(nèi)部量進(jìn)入運動方程即頭3個距，分布聯(lián)系與：質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量當(dāng)前4頁，總共123頁。為了描述，引入坐標(biāo)(系)注意：為方便，其實可以只研究一個長方體的運動方程，研究它的運動學(xué)量，設(shè)想下，任何一個物體，都可以被長方體所包含，因此，總可以擴(kuò)展成長方體，取新的擴(kuò)展部分密度為0即可。在這種情況下，后者可以看出固定的幾個頂角點。通常的慣性參照系(固定坐標(biāo)系)，和剛體固連并參與運動的坐標(biāo)系(動坐標(biāo)系)當(dāng)前5頁，總共123頁。固定坐標(biāo)系：X，Y，Z動坐標(biāo)系:

當(dāng)前6頁，總共123頁。自由度、廣義自由度動坐標(biāo)系的位置，動坐標(biāo)系的方向(3個軸方向)(注：動坐標(biāo)系(軸)是隨剛體運動的，因此雖然相對剛體取定，但相對慣性參照系還是原則上任意參數(shù),因為剛體本身相對參照系可以是任意方向.)由此：6個自由度。Now：6個獨立廣義坐標(biāo)，如何?。慨?dāng)前7頁，總共123頁。2：物理上，如書所解釋，可以如下看待，對無窮小位移，可以看出是無窮小的固定點平移+無窮小轉(zhuǎn)動，如上圖，對任意一點：1：從數(shù)學(xué)上比較簡單：直接選取o點3個坐標(biāo)，然后取3個軸的方向；(3個軸的方向<-2個軸的方向<-1個軸的方向＋另外一軸相對轉(zhuǎn)角；或者3軸方向本身6個自由度，3個垂直約束，所以最后3個獨立角.)當(dāng)前8頁，總共123頁。引入得到坐標(biāo)系直接的變換關(guān)系，回憶第四章類似內(nèi)容V“質(zhì)心”速度，稱為平動速度剛體轉(zhuǎn)動角速度，方向同與轉(zhuǎn)動角方向()剛體任意點上速度可用平動速度、轉(zhuǎn)動速度以及相對位置表示當(dāng)前9頁，總共123頁。不同固定點的選取之間關(guān)系如上定義得到轉(zhuǎn)動速度不隨固定點的選取變換，這樣廣義坐標(biāo)選取的好處！當(dāng)前10頁，總共123頁。進(jìn)一步物理意義：從的關(guān)系，即對這樣的角速度，剛體上任一點的速度都與之垂直，即在一個平面內(nèi)，也因此意味著可選取到一點，使得其V’=0(特定的時刻)，瞬時轉(zhuǎn)動軸！當(dāng)前11頁，總共123頁。32.慣性張量Now：拉式量:動能對剛體，所有的都相同,定義()當(dāng)前12頁，總共123頁。質(zhì)心定義：展開第3項，得到物理意義，兩部分動能：平動、轉(zhuǎn)動當(dāng)前13頁，總共123頁。固定點不取質(zhì)點的情況具體用分量形式寫出轉(zhuǎn)動部分動能可以看到：體系本身量：對比質(zhì)心當(dāng)前14頁，總共123頁。定義對比最后稱為慣性張量，對稱張量當(dāng)前15頁，總共123頁。相加量，類比總質(zhì)量，質(zhì)心……當(dāng)前16頁，總共123頁。連續(xù)體情況：Now：關(guān)于張量，簡化等選取新的坐標(biāo)軸,對角化慣性張量，此時，相應(yīng)分量，稱主轉(zhuǎn)動慣量:當(dāng)前17頁，總共123頁。注意：正如選取特定的固定點，簡化線性項，這里選取特定的方向，簡化2次形項。不改變自由度，只是變量變換！性質(zhì)：當(dāng)前18頁，總共123頁。非對稱陀螺：3個主轉(zhuǎn)動慣量都不相等對稱陀螺：有2個主轉(zhuǎn)動慣量相等球星陀螺：3個主轉(zhuǎn)動慣量都相等=>軸可以任意取對比振動中的簡正坐標(biāo)的選取、簡并當(dāng)前19頁，總共123頁。求主轉(zhuǎn)動慣：對稱性Ex：平面質(zhì)點系取所在平面為思考當(dāng)前20頁，總共123頁。體系有對稱軸(對稱軸的階數(shù))：質(zhì)心、慣性主軸一條直線上的質(zhì)心系，選該直線為x3轉(zhuǎn)子-杠子當(dāng)前21頁，總共123頁。普遍情況下的慣性張量容易計算不同固定點選取下轉(zhuǎn)動慣量的變換關(guān)系不同軸選取下轉(zhuǎn)動慣量的變換關(guān)系當(dāng)前22頁，總共123頁。剛體：10個表征內(nèi)部性質(zhì)的量Vs.牛頓質(zhì)點：1個內(nèi)部量Vs.經(jīng)典電子：2個內(nèi)部量Vs.現(xiàn)代粒子：………….當(dāng)前23頁，總共123頁。例題1:將分子看作質(zhì)點間距離不變的體系，求下面情況下的主轉(zhuǎn)動慣量(a)形狀為等腰三角形的3原子分子質(zhì)心：高上，距離底邊當(dāng)前24頁，總共123頁。(b)4原子分子，正三菱錐頂角質(zhì)心位于三菱錐高上距底為四面體分子當(dāng)前25頁，總共123頁。33.剛體動量距回憶：不同參照系之間動量距的變換關(guān)系方便地，取相對質(zhì)心做為坐標(biāo)原點，M即固有動量距當(dāng)前26頁，總共123頁。由此用張量分量表示球形陀螺，3個主轉(zhuǎn)動慣量相等當(dāng)前27頁，總共123頁。先研究不受外力作用剛體，此時，可選取參照系，無平動回憶，不用運動方程只用守恒條件可求解體系。對球形陀螺動量距守恒＝>角速度守恒，即繞定常軸作等速轉(zhuǎn)動對轉(zhuǎn)子：角速度垂直于轉(zhuǎn)子軸，即在一平面內(nèi)繞垂直與該平面的一軸轉(zhuǎn)動當(dāng)前28頁，總共123頁。34.剛體運動方程一般情況下，6個自由度，6個運動方程(1)：直接寫下Euler方程，從前面的拉氏量(2):力學(xué)分析辦法當(dāng)前29頁，總共123頁。平動部分U為剛體在勢場中勢能外力和，內(nèi)部約束力和為0注意：質(zhì)心處！當(dāng)前30頁，總共123頁。上面運動方程，自然是可以作為Euler方程得到當(dāng)前31頁，總共123頁。轉(zhuǎn)動部分選擇固定(慣性)參考系，使得給定時刻質(zhì)心靜止在該參考系中V＝0,則力矩當(dāng)前32頁，總共123頁。具體地，由于動量距是相對質(zhì)心定義的，根據(jù)伽利略相對性原理，上面特定參考系下的運動方程在參考系下不變，即對所有參考系不變.坐標(biāo)平移下，力矩的變換當(dāng)前33頁，總共123頁。同樣地，上面方程可以由拉氏量給出！回憶當(dāng)前34頁，總共123頁。無窮小轉(zhuǎn)動下即當(dāng)前35頁，總共123頁。物理討論：假設(shè)相互垂直，則存在矢量a,使得a的選取有一定任意性，可任意疊加平行F的矢量力矩為0，并且有一定平行任意性，即力的作用可以歸結(jié)為作用于一直線的一個力例子：均勻力場當(dāng)前36頁，總共123頁。引入可得力場的影響歸結(jié)為作用在r0點上一個力F.當(dāng)前37頁，總共123頁。34.歐拉角確定3個動坐標(biāo)軸x1,x2,x3相對固定坐標(biāo)軸X，Y，Z位置，選取同一原點Z軸在x1x2平面的投影垂直與N軸，即和x1夾角為\pi/2-\psi當(dāng)前38頁，總共123頁。對比球坐標(biāo)取值范圍一個轉(zhuǎn)動需要一個矢量描述，也即轉(zhuǎn)動是有方向比如：轉(zhuǎn)動\theta或者轉(zhuǎn)動d\theta是有方向當(dāng)前39頁，總共123頁。用歐拉角和其導(dǎo)數(shù)表示角速度在x2,x3方向上的投影，各分量投影和即是矢量(角速度)用歐拉角表示時候在x1,x2,x3方向上的投影當(dāng)前40頁，總共123頁。歐拉角的另一種表示：如何從XYZ到x1x2x3同上圖做如下轉(zhuǎn)動即可得歐拉角當(dāng)前41頁，總共123頁。進(jìn)一步，考慮無窮小時間后，轉(zhuǎn)動注意：是矢量，不代表矢量，或者說不需要是矢量由上面的轉(zhuǎn)動定義，略去二階小量，可以得到這里，在新的角度下，N和N’差無窮小量，繞N或者N’再做無窮小轉(zhuǎn)動是一樣的(略去二階小量下)繼續(xù)即得當(dāng)前42頁，總共123頁。更細(xì)致地，無窮小時間下：1：明顯地，繞著Z軸轉(zhuǎn)動2.然后N’軸轉(zhuǎn)減去繞Z軸轉(zhuǎn)3.繞x3’。。。。。。。。。。。解析代數(shù)方法可以證明：忽略二階小量一致。取單位矢量，標(biāo)出所有坐標(biāo)，N’軸轉(zhuǎn)動theta’=N軸轉(zhuǎn)動theta’先繞N軸轉(zhuǎn)動，再繞Z軸轉(zhuǎn)動，不能得到新角度下的x1’x2’x3’除非先繞N‘當(dāng)前43頁，總共123頁。代表的物理意義：沿Z軸轉(zhuǎn)動\fai角相當(dāng)于第一步沿x_1轉(zhuǎn)。。。如果直接取微分，并認(rèn)theta,psi也是時間相關(guān)函數(shù)時，這時候，表達(dá)式為此時：注意到投影方向已經(jīng)改變!

換言之：當(dāng)前44頁，總共123頁。我們所選的坐標(biāo)系為固定坐標(biāo)系：考慮固連坐標(biāo)系時的運動方程會有所區(qū)別，36節(jié).當(dāng)前45頁，總共123頁。最終選慣性主軸，對對稱陀螺有當(dāng)前46頁，總共123頁。應(yīng)用：對稱陀螺的自由運動選固定坐標(biāo)系的Z軸沿陀螺定常動量距方向，動坐標(biāo)系x3軸沿陀螺對稱軸，x1在給定時刻與N軸重合，則有另N軸垂直于Z軸當(dāng)前47頁，總共123頁。可得固定坐標(biāo)系下的方程求解Vs.下面歐拉方程的形式當(dāng)前48頁，總共123頁。36.歐拉方程書上首行:34節(jié)not33節(jié)回憶前面給出的運動方程固定慣性參考系下當(dāng)前49頁，總共123頁。with當(dāng)前50頁，總共123頁。(取兩坐標(biāo)系坐標(biāo)原點重合)1個矢量相對動坐標(biāo)系不動，則有其相對固定坐標(biāo)系的變化進(jìn)一步，如果矢量本身同時相對動坐標(biāo)系有運動變化，則有矢量疊加其中第一項為矢量相對動坐標(biāo)系的變化。理解為分量形式當(dāng)前51頁，總共123頁。代入運動方程，可得其中，時間求導(dǎo)是相對于動坐標(biāo)系中的，選取動坐標(biāo)系中的時間，空間坐標(biāo)，則直接有分量形式(注：同一坐標(biāo)系中的時間空間坐標(biāo))當(dāng)前52頁，總共123頁。代入注：Omega是固定坐標(biāo)系相對固連坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動，而不是固連坐標(biāo)系相對剛體的轉(zhuǎn)動（0）當(dāng)前53頁，總共123頁。假定選取的是慣性主軸，則有等歐拉方程定點轉(zhuǎn)動方程當(dāng)前54頁，總共123頁。當(dāng)K=0時，歐拉方程退化為當(dāng)前55頁，總共123頁。具體地，對對稱陀螺：由上面方程可知其中代數(shù)化簡當(dāng)前56頁，總共123頁。得到其中A是常數(shù)。由此上述物理解的物理意義角速度在垂直陀螺軸(x3)的平面內(nèi)投影為常數(shù)，并且在該平面內(nèi)角速度固定omega!Vs.固定坐標(biāo)系下求解情況當(dāng)前57頁，總共123頁。固定坐標(biāo)系下當(dāng)前58頁，總共123頁。歐拉方程：分量為x1,x2,x3方向固定坐標(biāo)系方程：分量為X,Y,Z方向兩方程等價，相差一個變換！理解為分量形式當(dāng)前59頁，總共123頁。37.非對稱陀螺假設(shè)現(xiàn)在的剛體(陀螺)運動積分的應(yīng)用(能量守恒和動量守恒)當(dāng)前60頁，總共123頁。用M的分量表示，有橢球面方程和球面方程！運動過程中不變運動學(xué)量當(dāng)前61頁，總共123頁。幾何意義！比如兩球面相交條件etc…精細(xì)求解，利用動力學(xué)方程，先代換變量再利用歐拉方程，代入，可得當(dāng)前62頁，總共123頁。假設(shè)做變量代換(方便)當(dāng)前63頁，總共123頁。引入?yún)?shù)最后有選擇初始時間比較前面能量守恒求一維運動！當(dāng)前64頁，總共123頁。可積分得雅克比橢圓函數(shù)當(dāng)前65頁，總共123頁。當(dāng)前66頁，總共123頁。JacobiSN[u,m],JacobiCN[u,m],當(dāng)前67頁，總共123頁。由此可得其他變量的時間變化關(guān)系，最后有周期函數(shù)，周期為4K,K為第一類橢圓函數(shù).當(dāng)前68頁，總共123頁。對時間的周期為當(dāng)I1=I2時，回到對稱陀螺公式當(dāng)時當(dāng)前69頁，總共123頁。陀螺在空間的絕對運動(相對固定坐標(biāo)系,注前面用的是歐拉方程！)引入x1,x2,x3和X,Y,Z間的歐拉角由此取M沿Z方向當(dāng)前70頁，總共123頁。進(jìn)一步另，對phi角，有當(dāng)前71頁，總共123頁。消去無關(guān)量積分結(jié)果！當(dāng)前72頁，總共123頁。討論不做要求當(dāng)前73頁，總共123頁。其他周期函數(shù)之和！當(dāng)前74頁，總共123頁。38.剛體接觸不要要求39.非慣性參考系中的運動運動方程的變換歸結(jié)為Euler方程形式不變當(dāng)前75頁，總共123頁。1：假設(shè)參考系K0，K’相對速度V(t)，則某個函數(shù)對時間的全導(dǎo)數(shù)(可舍去)當(dāng)前76頁，總共123頁。r’為質(zhì)點在參考系K’中的徑矢代入L，舍去全導(dǎo)數(shù)，可得當(dāng)前77頁，總共123頁。Euler方程等價于一個均勻立場當(dāng)前78頁，總共123頁。2：參考系K,K’有共同原點，有相對角速度(質(zhì)點在K，K‘中的徑矢重合)代入L，有物理意義?當(dāng)前79頁，總共123頁。Euler方程當(dāng)前80頁，總共123頁。運動方程物理意義當(dāng)前81頁，總共123頁。轉(zhuǎn)動參考系產(chǎn)生的“力”3部分科里奧利力；等速轉(zhuǎn)動離心力；等速轉(zhuǎn)動非等速轉(zhuǎn)動大小，方向….當(dāng)前82頁，總共123頁。沒有平動且等速轉(zhuǎn)動情況(質(zhì)點對比剛體,只是自由度坐標(biāo)…)當(dāng)前83頁，總共123頁。能量代入回憶能量的最本質(zhì)定義&時間平移不變。。。離心勢能當(dāng)前84頁，總共123頁。故但能量不相等當(dāng)前85頁，總共123頁?？偨Y(jié)&習(xí)題本章內(nèi)容：4個參照系，兩組廣義坐標(biāo)以及關(guān)于“矢量”約定(運動學(xué))拉氏量(動力學(xué))

固定參照系K0：O,X,Y,Z.固定參照系K0’：坐標(biāo)原點取剛體質(zhì)心,X,Y,Z慣性參照系坐標(biāo)K’：坐標(biāo)原點取剛體質(zhì)心,且瞬時無相對速度.動坐標(biāo)系K：與剛體固連,坐標(biāo)原點取剛體質(zhì)心，任意時刻無相對速度.

廣義“坐標(biāo)”(角度部分)：角速度歐拉角對比非慣性系變換情況，我們用同樣的標(biāo)記！當(dāng)前86頁，總共123頁。Ex：1：轉(zhuǎn)動慣量各分量與所選軸的關(guān)系2：角速度是剛體K相對K’的轉(zhuǎn)動方向和大小(即繞質(zhì)心)換句話說，也是K’相對K的負(fù)轉(zhuǎn)動方向和大小

3：“固有”動量距是剛體在K’中的瞬時角動量在該時刻：下標(biāo)表示K’中的分量注意：質(zhì)心固定下，對于球?qū)ΨQ剛體，無論軸怎么選取，I都是固定，角動量總是平行于角速度。一般情況下，在K0,K0’,K’中I是隨時間變化的?（不對,I是在固連坐標(biāo)系中看到的,Omega是固連坐標(biāo)相對固定坐標(biāo)系的，L已經(jīng)包含了全部的信息.）當(dāng)前87頁，總共123頁。4：運動方程形式1這里的角動量可以是K’中的，也可以是K0,K0’中的，因為兩者都是慣性參考系！（注:還不完全，成立與否看L量的變化，大部分情況下成立）但注意，不是K中觀察到的分量！當(dāng)前88頁，總共123頁。“矢量”的約定:討論中，物理質(zhì)點絕對位置不變，也即矢量本身不變，一般情況下，有意義的討論則是矢量在特定坐標(biāo)系中的分量。而這些分量的表達(dá)式則取決了坐標(biāo)系的原點和軸的取向比如：同一質(zhì)點在K0,K0‘，K,K’中看到的速度V，dV/dt之間的關(guān)系等

即是K‘，K參照系看到矢量的分量之間變換關(guān)系。Or物理上：不同參照系看到的“矢量”當(dāng)前89頁，總共123頁。運動方程形式2：歐拉方程把上述方程變換到K中:討論定點轉(zhuǎn)動時候，K0，K0’，K’重合，此時V=0,且dV/dt=0相應(yīng)無外力作用，無轉(zhuǎn)動時候，動坐標(biāo)系K和固定坐標(biāo)系K’重合相應(yīng)無力矩。當(dāng)前90頁，總共123頁。物理意義的理解：變換后V1,2,3是什么？角速度1,2,3又是什么？變換前，V是K中原點相對K0中原點的速度，V1則是這一速度矢量在K中看到的分量，也即在K中看到K0點(-)速度在K中的投影分量。角速度也是同理，是K’相對K轉(zhuǎn)動的(-)角度速在K中的投影求解思路，先求出這樣的角速度，再通過和歐拉角關(guān)系變回到固定參考系中的解(該參照系中，物理圖像清晰.)另:一些特殊情況下，不需要這樣求解！如P108,P113.當(dāng)前91頁，總共123頁。歐拉角和角速度之間關(guān)系！當(dāng)前92頁，總共123頁。拉氏量：(K0中)1:由質(zhì)量、質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動慣量R、轉(zhuǎn)動角速度表述2：由質(zhì)量、質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動慣量R、歐拉角(速度)表述()當(dāng)前93頁，總共123頁。習(xí)題：1：給定坐標(biāo)系，求轉(zhuǎn)動慣量2：求主轉(zhuǎn)動慣量(注：和坐標(biāo)無關(guān))3：求轉(zhuǎn)動、平動體系動能4：求動量距5：求解運動……當(dāng)前94頁，總共123頁。P105均勻滾動圓柱，求動能當(dāng)前95頁，總共123頁。如圖幾何情況，有質(zhì)心平動速度大小，方向?qū)|(zhì)心不動坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)動速度＝相對速度/相對距離：（地面接觸點速度為0，動坐標(biāo)系其相對圓心速度為aomega,靜止坐標(biāo)系圓心相對它速度也為aomega,故為0）方向其中當(dāng)前96頁，總共123頁。注意坐標(biāo)系，z方向在運動過程中不變當(dāng)前97頁，總共123頁。P105均勻圓錐平面上滾動當(dāng)前98頁，總共123頁。幾何如上圖質(zhì)心位置、質(zhì)心速度2alpha是圓錐頂角投影相對轉(zhuǎn)動軸(注:OA不經(jīng)過質(zhì)心)轉(zhuǎn)動速度，同上題質(zhì)心在OA上投影，相對速度/相對距離當(dāng)前99頁，總共123頁。選主軸，算角度在軸上投影圓錐主軸：x3重合圓錐軸，x2垂直于OA和圓錐軸.角速度(OA)投影為相應(yīng)的主轉(zhuǎn)動慣量當(dāng)前100頁，總共123頁。圓錐主轉(zhuǎn)動慣量計算技巧當(dāng)前101頁，總共123頁。P113下端點固定，對稱陀螺重力場中運動問題幾何圖示、運動學(xué)量、運動方程。。。當(dāng)前102頁，總共123頁。固定點運動！當(dāng)前103頁，總共123頁。拉氏量，見35節(jié)(35.2)和(32.12)坐標(biāo)選取L:質(zhì)點到頂點距離注意：這里的方向都是在x1,x2,x3方向，換句話角速度的分量都是在x1,x2,x3方向的投影，故相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量也是在x1,x2,x3中的！故是常數(shù),因為x1,x2,x3同剛體.這是不同于選取X，Y，Z坐標(biāo)系來表示角速度方向的情況！矢量和其分量：矢量本身與坐標(biāo)系無關(guān)，分量是和坐標(biāo)系有關(guān).Or:當(dāng)前104頁，總共123頁。由此，得到其中又能量守恒當(dāng)前105頁，總共123頁。可求得結(jié)合能量守恒，可得當(dāng)前106頁，總共123頁。求得代入前面，即可得到其他歐拉角關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系！具體的位形分析。。。。。研讀下當(dāng)前107頁，總共123頁。P131求地球自轉(zhuǎn)(小角速度)引起自由落體的偏移當(dāng)前108頁，總共123頁。重力場中有沒平動加速度等速轉(zhuǎn)動的參考系中的運動公式(39.9)，再考慮角速度很小，有微擾逐階求解！當(dāng)前109頁，總共123頁。代入，保留1階，可得0階近似積分當(dāng)前110頁，總共123頁。解的物理意義，幾何圖像：取z軸垂直向上，x軸經(jīng)線指向極點初始速度為0情況代入當(dāng)前111頁，總共123頁。偏移！地軸是一根通過地球南北兩極和地球中心的假想線

在赤道的南北兩邊，畫出許多和赤道平行的圓圈，就是“緯圈”；構(gòu)成這些圓圈的線段，叫做緯線。

從北極點到南極點，可以畫出許多南北方向的與地球赤道垂直的大圓圈，這叫作“經(jīng)圈”；構(gòu)成這些圓圈的線段，就叫經(jīng)線。

南極是根據(jù)地球旋轉(zhuǎn)方式?jīng)Q定的最南點。當(dāng)前112頁，總共123頁。附錄：朗道一書剛體一章可以考慮重新整理下，整體如上面的總結(jié)比較好！確定好運動學(xué)內(nèi)容，然后結(jié)合動力