巖石力學(xué)之 線彈性力學(xué)問(wèn)題的微分提法

第五章線彈性力學(xué)問(wèn)題的微分提法第一節(jié)線彈性力學(xué)的基本方程在連續(xù)性、小變形、線彈性假設(shè)的基礎(chǔ)上，從第二章到第四章，我們已從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一般規(guī)律出發(fā)，建立了線彈性力學(xué)的基本方程，它們是1、平衡(運(yùn)動(dòng))方程2、幾何方程還有應(yīng)變協(xié)調(diào)方程3、本構(gòu)方程1)、2)、3)、如果采用張量記法，上述方程可寫(xiě)為1、平衡方程2、幾何方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程(Saint-Venant)3、本構(gòu)方程(1)、(2)、(3)、上面這組方程包括15個(gè)未知量，它們是6個(gè)應(yīng)力，6個(gè)應(yīng)變和3個(gè)位移，方程數(shù)也是15個(gè)。因此，方程是封閉的。在給了邊界條件和初始條件(對(duì)彈性動(dòng)力學(xué))后，可以求出這15個(gè)未知量。第二節(jié)線彈性力學(xué)問(wèn)題的邊界條件為了求出上述偏微分方程的唯一解，還必須給出定解條件。在彈性靜力問(wèn)題中就是邊界條件。通常有以下三類(lèi)邊界條件：1、位移邊界條件。在全部邊界上位移已知，即在上，(5.1)式中是彈性體的外表面，是上的已知位移。此時(shí)彈性力學(xué)的邊值問(wèn)題歸結(jié)為在上面三個(gè)邊界條件下解15個(gè)方程。2、應(yīng)力邊界條件在全部的邊界上，面力，即應(yīng)力已知，此時(shí)按斜面應(yīng)力公式，可得到在上，此時(shí)，彈性力學(xué)的邊值問(wèn)題歸結(jié)為，在以上應(yīng)力邊界條件下求解15個(gè)方程。3、混合邊界條件若邊界可以分為兩部分，即，在上應(yīng)力已知，而在上位移已知，則這樣的邊界條件，稱(chēng)為混合邊界條件。上面所說(shuō)的三類(lèi)邊值問(wèn)題分別被稱(chēng)為位移邊值問(wèn)題、應(yīng)力邊值問(wèn)題和混合邊值問(wèn)題。邊界條件的提法不是任意的，它必須使在特定的邊值條件下的基本方程，不僅是可解的(即解是存在的)，而且還是唯一的和穩(wěn)定的。這三個(gè)條件共同構(gòu)成了微分方程邊值問(wèn)題的適定性。如果在同一邊界上，既給定了位移，又給定了應(yīng)力，則問(wèn)題是無(wú)解的，因而是不適定的。但是除了上述最常用的三種邊界條件外，也仍有其它邊界條件，使得線彈性問(wèn)題的微分提法是適定的，如下圖所示的，在同一邊界上，已知部分位移和部分應(yīng)力的邊界條件。在這種情況下，y方向的位移是已知的，而x方向的剪應(yīng)力為零。圖5.1圖5.1在面AB上：(5.2)相應(yīng)于三類(lèi)邊界條件，彈性力學(xué)問(wèn)題的解法也分三類(lèi)：1、位移解法；2、應(yīng)力解法；3、混合解法。第三節(jié)線彈性力學(xué)邊值問(wèn)題的位移解法位移解法是以位移(或者u、v、w)為基本未知量的解法，將彈性力學(xué)的基本方程化為只用三個(gè)位移分量表示的平衡方程，連同邊界條件一起構(gòu)成定解問(wèn)題，從中求出位移(或者u、v、w)，將其代入幾何方程求應(yīng)變，最后將應(yīng)變代入本構(gòu)方程求應(yīng)力的方法。下面推導(dǎo)位移解法的基本方程，已知應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為因此將它們代入x方向的平衡方程，得出以應(yīng)變表示的平衡方程(a)利用幾何方程可得將上面3個(gè)方程代入(a)式，可得整理上式即式中是Laplace算子。按同樣的方法可以得到其它兩個(gè)方程，這樣以位移表示的平衡方程為(5-3)用位移求解彈性力學(xué)問(wèn)題，適用的邊界條件可以是位移邊界條件，也可以是應(yīng)力邊界條件。當(dāng)采用應(yīng)力邊界條件時(shí)，邊界條件需要用位移表示，如將彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入上式，有類(lèi)似地可以得到其它2個(gè)應(yīng)力邊界條件，因此用位移表示的邊界條件為(5-4)當(dāng)然也可以保持應(yīng)力邊界條件形式不變，但這時(shí)需要將所得到的包括積分常數(shù)的位移的解，通過(guò)幾何方程和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，變換為應(yīng)力，然后利用應(yīng)力邊界條件確定常數(shù)。方程(5-3)常被稱(chēng)為L(zhǎng)ame(拉梅)方程或Navier(納維葉)方程，只要位移分量滿足所要求的光滑度，則從(5-3)式求出的位移滿足變形協(xié)調(diào)方程，因此可以保證變形以后的物體仍是連續(xù)的。若再通過(guò)邊界條件求出應(yīng)力，這些應(yīng)力也滿足平衡方程。下面對(duì)Lame方程做進(jìn)一步的討論。用指標(biāo)符號(hào)Lame方程可寫(xiě)為(5-5)此處，k是啞標(biāo)，i是自由指標(biāo)。利用彈性系數(shù)之間的關(guān)系代入(5-5)式得到將上式對(duì)xi求導(dǎo)得到利用位移的連續(xù)性，并將啞標(biāo)成對(duì)交換后，上式可以寫(xiě)為即(5-6)這表明此處，k、i遍歷x、y、z。注意到是體積應(yīng)變，也是第一應(yīng)變不變量，那么式(5-6)表明，在無(wú)體力情況下，是雙調(diào)和函數(shù)。利用本構(gòu)方程，可以表明在這種情況下，平均應(yīng)力和應(yīng)力第一不變量也是雙調(diào)和函數(shù)。不采用指標(biāo)符號(hào)，可以更直觀地得到上面的結(jié)論。將(5-3)的第一式對(duì)x求偏導(dǎo)，第二式對(duì)y求偏導(dǎo)，第三式對(duì)z求偏導(dǎo)，然后相加，可得迭加以上三式，得到即因此第四節(jié)線彈彈性力學(xué)邊邊值問(wèn)題的的應(yīng)力解法法如果我我們以應(yīng)力力為基本未未知量，消消去應(yīng)變和和位移，來(lái)來(lái)導(dǎo)出得到到彈性力學(xué)學(xué)問(wèn)題的基基本方程時(shí)時(shí)，平衡方方程必須保保留，但是是三個(gè)平衡衡方程，無(wú)無(wú)法求出六六個(gè)應(yīng)力分分量?？紤]到應(yīng)力已知知，可以利利用本構(gòu)方方程(4-455)求應(yīng)變變。(4-455)是代數(shù)數(shù)方程組，因因此可以求求出一組唯唯一的應(yīng)變變。但通過(guò)過(guò)幾何方程程從應(yīng)變求求位移時(shí)，需需要做積分分，因此會(huì)會(huì)出現(xiàn)待定定的積分常常數(shù)與函數(shù)數(shù)，為了確確保位移的的連續(xù)性，還還應(yīng)滿足變變形協(xié)調(diào)條條件，這樣樣將應(yīng)力作作為基本未未知量時(shí)，為為了保證位位移的連續(xù)續(xù)性，需導(dǎo)導(dǎo)出以應(yīng)力力表示的協(xié)協(xié)調(diào)條件。為為此，首先先將廣義虎虎克定律改改寫(xiě)為式中，同一平面面上的應(yīng)變變協(xié)調(diào)方程程為將廣義虎克定律律代入，可可得(5-8a)可以類(lèi)似地得到到其它方程程(5-8b)(5-8c)另一方面，不同同平面上的的應(yīng)變協(xié)調(diào)調(diào)方程為將本構(gòu)方程代入入上式，得得到因此，不同平面面上的應(yīng)力力協(xié)調(diào)方程程為(5-8d)(5-8e)(5-8f)利用平衡方程，可可以簡(jiǎn)化上上面的六個(gè)個(gè)方程，使使每個(gè)方程程中包含一一個(gè)體積應(yīng)應(yīng)力，一個(gè)個(gè)應(yīng)力分量量和體積力力f，推導(dǎo)如如下y和z方向的平衡方程程為因此這樣將上式代入應(yīng)力力協(xié)調(diào)方程程(5-8b)式，得到到(aa)由于即將上面兩個(gè)方程程代入(a)式，得到到整理上式(b)利用平衡方程，可可以得到因此(b)式可可變?yōu)?c)類(lèi)似地，可以得得到其它兩兩個(gè)方程(d)(e)迭加(c)、((d)、(e)三式，得得到即(f)簡(jiǎn)化(c)式，并并將(f)式代入入有最后，可以得到到(5-9a)類(lèi)似地，可以得得到其它兩兩個(gè)式子(5-9b)(5-9c)按照類(lèi)似地方法法，還可以以得到其它它三個(gè)應(yīng)力力協(xié)調(diào)方程程(5-9d)(5-9e)(5-9f)第五節(jié)彈性性力學(xué)邊值值問(wèn)題的迭迭加原理彈性力學(xué)邊值問(wèn)問(wèn)題的解，必必須滿足基基本方程和和邊界條件件。若彈性性體的體積積為V，所受體體力為，在在表面上的的面力為，在在表面上的的位移為，則則彈性力學(xué)學(xué)的迭加原原理是：若彈性體在體力力，表面上的的面力，表表面上的位位移作用下下處于平衡衡時(shí)的應(yīng)力力為，應(yīng)變變?yōu)?，位移移為。在體體力，表面面上的面力力，表面上的的位移作用用下處于平平衡時(shí)的應(yīng)應(yīng)力為，應(yīng)應(yīng)變?yōu)?，位位移為。則則在這兩組組載荷同時(shí)時(shí)作用下，處處于平衡時(shí)時(shí)，彈性體體的應(yīng)力、應(yīng)應(yīng)變、位移移為這兩組組力分別作作用時(shí)應(yīng)力力、應(yīng)變、位位移的迭加加，即有證明：在二組力分別作作用下的應(yīng)應(yīng)力，必定定滿足平衡衡方程、應(yīng)應(yīng)力邊界條條件和位移移邊界條件件，這樣在在第一組力力作用下的的應(yīng)力、應(yīng)應(yīng)變、位移移滿足下列列方程在V內(nèi)(5-10a)在上(5-11a)在上(5-12a)在第二組力作用用下的應(yīng)力力、應(yīng)變、位位移，也滿滿足平衡方方程、應(yīng)力力邊界條件件和位移邊邊界條件，即即在V內(nèi)(5-100b)在上(5-111b)在上(5-122b)在這兩兩組力分別別作用下，產(chǎn)產(chǎn)生的應(yīng)力力和應(yīng)變，還還滿足幾何何方程和應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)關(guān)系，即(5-13a)((5-133b)(5-14a)(5-144b)現(xiàn)在設(shè)體力為：：面力為：邊界位移：一方面，在這組組力作用下下，彈性體體處于平衡衡時(shí)的應(yīng)力力為滿足在V內(nèi)(5-15a)在上(5-155b)在上(5-15c)另一方面，迭加加(5-10a、b)可得((5-16a)(5-16bb)(5-16c)對(duì)比(5-155)和(5-166)容易看看出(5-177)迭加(5-144a、b)并注意到到(5-177)，可得得(g)另一方面(5-155d)對(duì)比(g)和((5-155d)可得(5-188)迭加(5-133a、b)，并注意意到(5-188)，可得得(h)另一方面(5-115e)對(duì)比(h)和((5-155e)，并注意意到(5-16c)可得(5-199)(5-17)、((5-188)、(5-200)即由這這兩組載荷荷分別產(chǎn)生生的應(yīng)力、應(yīng)應(yīng)變、位移移的迭加，它它們也滿足足幾何方程程和本構(gòu)方方程。證畢。第六節(jié)彈性性力學(xué)邊值值問(wèn)題解的的唯一性定定理設(shè)彈性性體的體積積為V，表面為為，在體積積V上受體積力力的作用，在在表面上受受邊界力的的作用，表表面上給定定位移，則則彈性體處處于平衡時(shí)時(shí)，體內(nèi)各各點(diǎn)的應(yīng)力力、應(yīng)變、位位移都是唯唯一的。為證明該定理，首首先證明一一個(gè)引理：：彈性體在體積力力，在上表面面力，在表表面上位移移的條件下下，處于平平衡時(shí)，體體內(nèi)各點(diǎn)的的應(yīng)力、應(yīng)應(yīng)變、位移移均為零。證明：無(wú)體積力力作用時(shí)的的平衡方程程為(i)上無(wú)邊界面力的的條件為在上((j)在上表面位移為零零的條件是是在上(k)將分別與(i)的的第一、第第二、第三三式相乘后后，在V上積分得得到利用Gauss公式式，右端的的第一個(gè)積積分可改寫(xiě)寫(xiě)為面積分分，即有右右端的第二二個(gè)積分號(hào)號(hào)下的被積積函數(shù)是應(yīng)應(yīng)變能，這這樣上式可可以改寫(xiě)為為(5-220)重新整理上式由(j)式，在上邊界面面力為零，這這樣積分由(k)式，在上邊界位位移為零，這這樣積分這樣，從(5--20)得得到上式在任意大大小的體積積內(nèi)都成立立，這意味味著被積函函數(shù)由第四章，我們們知道因此，應(yīng)變。由由應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系系(4-455)，可以以推出，在在這種情況況下，。從從第三章關(guān)關(guān)于位移單單值連續(xù)性性的討論，又又可以知道道，在這種種情況下，位位移。(注：注意到在上上，，因此此從上任一一點(diǎn)出發(fā)做做線積分可可以得到，在在的情況下下位移)現(xiàn)在我們來(lái)證明明彈性力學(xué)學(xué)邊值問(wèn)題題解的唯一一性定理。證：設(shè)在體積力力，上的表面面力和上作用下，體體積為V的彈性體體，有兩組組解和。這兩組組解都應(yīng)該該滿足平衡衡方程和邊邊界條件，即即有在V內(nèi)在上((5-211)在上和在V內(nèi)在上((5-222)在上令(5-21)和((5-222)的對(duì)應(yīng)應(yīng)方程相減減，得到在在V內(nèi)在上(5-233)在上亦即(5-244)(5-24)式表表明因此，在在給定邊界界條件下，彈彈性力學(xué)邊邊值問(wèn)題的的解是唯一一的。第七節(jié)圣維維南原理(力作用的的局部性原原理)彈性力力學(xué)微分問(wèn)問(wèn)題的正確確提法，要要求在邊界界上逐點(diǎn)應(yīng)應(yīng)力已知的的條件下，或或邊界上逐逐點(diǎn)位移已已知的條件件下，求解解基本方程程。但在實(shí)實(shí)際問(wèn)題中中，往往只只知道小部部分區(qū)域上上合力與合合力矩的大大小，如柱柱體