北京市第四十三中學高二數(shù)學12月月考試題含解析

PAGE17-北京市第四十三中學2020-2021學年高二數(shù)學12月月考試題（含解析）滿分150分時間90分鐘一．選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，解不等式即可.【詳解】由題意可得：，解得：或，所以函數(shù)的定義域是，故選：C2.直線的傾斜角的大小為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線方程可求斜率，從而可得傾斜角．【詳解】設直線x-y+1=0的傾斜角為θ，則tanθ=，θ∈[0°，180°）．∴θ=60°，故選B．【點睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3.圓心為且過原點的圓的方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：設圓的方程為，且圓過原點，即，得，所以圓的方程為.故選D.考點：圓的一般方程.4.直線截圓所得的弦長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的方程直接求出圓心及半徑，再求出圓心到直線距離，再根據(jù)圓心到直線距離與半徑及半弦長滿足勾股定理，求得半弦長與弦長.【詳解】由圓得該圓的圓心為，半徑為，故圓心到直線的距離，故弦長，故選：D.【點睛】圓的弦長的常用求法：(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則；(2)代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關系及弦長公式：.5.雙曲線的一個焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線方程求出，然后求解焦點坐標即可.【詳解】由雙曲線得，，故選：C.6.已知橢圓的短軸長是焦距的2倍，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意及橢圓的簡單性質易得，，結合離心率的概念即可得結果.【詳解】∵橢圓的短軸長是焦距的2倍，∴，又∵，∴，可得，∴橢圓的離心率為，故選：D.7.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將拋物線方程化為標準形式，再根據(jù)拋物線的性質求出其準線方程.【詳解】拋物線的方程可變?yōu)閤2y故其準線方程為y故選D.【點睛】本題考查拋物線的簡單性質，解題關鍵是記準拋物線的標準方程，別誤認為p＝1，因看錯方程形式馬虎導致錯誤．8.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（）A.或 B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義及標準方程，列出關于的不等式組求解即可.【詳解】有題意可知，解得或.故選：D.9.在△中，，，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解.【詳解】由題意可知，，根據(jù)正弦定理得.故選：A.10.設橢圓（）離心率為，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點（）A.必在圓內 B.必在圓上C.必在圓外 D.以上三種情形都有可能【答案】A【解析】【分析】先利用離心率得到，，代入方程整理得，利用韋達定理，代入點，得到，即可判斷.【詳解】∵橢圓的離心率，∴，，∴，∵，∴，又該方程有兩個實根分別為和，∴，，∴，∴點在圓的內部，故選：A.二．填空題（本大題共8小題，每題5分，共40分，把答案填在橫線上）11.不等式的解集是_____________【答案】或【解析】分析】將一元二次不等式化為標準形式可解得結果.【詳解】由得，所以或.故答案為：或12.直線l過點且與直線垂直，則直線l的方程是______．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)與已知直線垂直的直線系方程可設與直線2x﹣3y+4=0垂直的直線方程為﹣3x﹣2y+c=0，再把點（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【詳解】∵所求直線方程與直線2x﹣3y+4=0垂直，∴設方程為﹣3x﹣2y+c=0∵直線過點（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直線方程．故答案為：．【點睛】本題主要考查了互相垂直的兩直線方程之間的關系，以及待定系數(shù)法求直線方程，屬于基礎題．13.已知且，則x的值是__________【答案】【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標運算公式直接求解.【詳解】由且，得，解得，故答案為：14.已知F1、F2為橢圓的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為______．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，直接計算結果.【詳解】的周長，由橢圓方程可知，所以的周長.故答案為：2015.雙曲線的頂點坐標______________，漸近線方程________________【答案】(1).，(2).【解析】【分析】求出雙曲線中的，從而得到頂點坐標、漸近線方程.【詳解】雙曲線中的，，所以，，所以頂點坐標為，，漸近線方程為，即.故答案為：，；.16.拋物線上一點的縱坐標為4，則點與拋物線焦點的距離為________.【答案】【解析】【分析】【詳解】試題分析：由已知，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，根據(jù)拋物線的定義，點A到拋物線焦點的距離等于到準線的距離．考點：1、拋物線的定義；2、拋物線的標準方程.17.如圖正方體的棱長為，以下結論正確的是____________①異面直線與所成的角為②直線與垂直③直線與平行④三棱錐的體積為【答案】①②④【解析】【分析】連接，，，則可得出為等邊三角形，則與所成角等于與所成角，其大小為；證明，再由可得；證明平面，得出，從而證得；最后計算出.【詳解】對于①，連接，，，則根據(jù)正方體的特點可知，且，則三角形為等邊三角形，所以與所成角等于與所成角，其大小為，故①正確；對于②，如圖所示，因為，又，所以，故②正確；對于③，由②可知，又，且，平面，平面，所以平面，所以，則，故③錯誤；對于④，連接，則三棱錐的體積為，故④正確.故答案為：①②④.【點睛】本題考查空間異面直線間的夾角、空間直線間位置關系的判斷等，解答本題的關鍵在于：（1）用定義法求解異面直線夾角時，注意要將線進行平移轉化，找到異面直線夾角的平面角，然后通過解三角形求解夾角的大小或夾角余弦值的大??；（2）注意運用空間平行關系、垂直關系的判定定理與性質定理判斷空間兩條直線間的位置關系.18.已知曲線C的方程，有以下說法：①曲線C過原點②曲線C與x軸有兩個交點③曲線C關于x軸，y軸對稱④為曲線C上任意一點，則其中全部正確的是_______________【答案】②③④【解析】【分析】將原點做標代入可判斷①錯誤；令，求解的根的個數(shù)判斷②是否正確；針對和兩類情況分類討論，根據(jù)解析式及性質判斷③是否正確；再將原式化為，判斷是否成立.【詳解】對于①，將原點代入可判斷①錯誤；對于②，令得，，解得，則曲線與軸有兩個交點，故②正確；對于③，當時，，當時，，因為曲線與曲線的圖象都關于軸對稱，則曲線C的圖象關于軸對稱；而當與時，解析式互為相反數(shù)，故其圖象關于軸對稱，所以③正確；對于④，由得，因為，則，故④正確.故答案為：②③④.三．解答題（本大題共4小題，共60分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.已知圓截直線的弦長為．（Ⅰ）求圓的半徑；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）過點作圓的切線，求切線的方程．【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）5；（Ⅲ）或．【解析】【分析】（Ⅰ）將圓的方程化為標準形式可得結果；（Ⅱ）根據(jù)勾股定理列式可解得結果；（Ⅲ）分類討論切線的斜率是否存在，利用待定系數(shù)法可求得結果.【詳解】（Ⅰ）圓可化為所以圓C的半徑為5．（Ⅱ）圓心到直線的距離為所以由勾股定理，得，即，又因為所以a=5．（Ⅲ）當過點的直線的斜率不存在時，直線方程為，顯然它和圓相切；當過點的直線的斜率存在時，設直線方程為，即，因為此直線與圓C相切，所以，解得因此，切線為或．【點睛】易錯點點睛：設直線方程時，要注意直線的斜率是否存在，這里容易漏掉切線的斜率不存在的情形.20.已知橢圓的焦點為和，橢圓上一點到兩焦點的距離之和為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于兩點.當變化時，求面積的最大值（為坐標原點）【答案】（1）；（2）最大值【解析】【分析】（1）通過橢圓的定義即得結論；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理，三角形的面積公式，計算即可得出結果.【詳解】（1）設橢圓的標準方程為：，由題意知：，則，所以橢圓的標準方程為：；（2）聯(lián)立，消去并整理得：，，解得：，由題意知：，設，由韋達定理得：，設直線與軸的交點為，所以的面積，則，當且僅當時，面積取得最大值.【點睛】關鍵點睛：本題是直線與圓錐曲線的綜合題；聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理，三角形的面積公式是解決本題的關鍵.21.如圖，橢圓經(jīng)過點，且離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）若經(jīng)過點，且斜率為k直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值．【答案】（1）；（2）所以直線、斜率之和為定值2．【解析】【分析】（1）運用離心率公式和，，關系，解方程可得，進而得到橢圓方程；（2）把直線的方程代入橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡計算即可得到結論．【詳解】解：（1）由題意知，，結合，解得，橢圓的方程為；（2）由題設知，直線的斜率不為0，則直線的方程為，代入，得，由已知，設，，，則，，從而直線與的斜率之和：．所以直線、斜率之和為定值2．【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22.如圖,四棱錐中,平面,,.,,,是的中點.(Ⅰ)證明:⊥平面;(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;(Ⅲ)若,在線段上是否存在一點,使得⊥.若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ).(Ⅲ)不存在，見解析【解析】【分析】（I）通過證明，證得平面.（II）建立空間直角坐標系，利用二面角的余弦值列方程，解方程求得的值.（III）設出點的坐標，利用列方程，推出矛盾，由此判斷滿足條件的點不存在.【詳解】(Ⅰ)證明:因為平面,,所以平面.又因為平面,所以.在中,,是的中點,所以.又因為,所以平面.(Ⅱ)解:因為平面,所以,.