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第六章壓桿穩(wěn)定第一頁,共三十九頁,2022年,8月28日2、本章研究重點(diǎn)掌握桿件失穩(wěn)前所承受的最大載荷即臨界載荷計(jì)算公式和臨界應(yīng)力計(jì)算式及壓桿穩(wěn)定性校核。了解影響壓桿臨界力的主要因素及提高穩(wěn)定性的主要途徑。第二頁,共三十九頁,2022年,8月28日§6-2壓桿穩(wěn)定的基本問題一、問題提出直桿承受軸向載荷其破壞有兩種強(qiáng)度屈服破壞失穩(wěn)破壞例如:對于一個長l,截面尺寸為b×t=10×2mm2
矩形截面桿。屈服強(qiáng)度σs
=235MPa,求使之屈服所需力N=σsA=20×235=4700(N)但對某一長度壓桿,使之失穩(wěn)的軸向力只需100N,并且桿越長,所需軸向力越小。第三頁,共三十九頁,2022年,8月28日二、平衡的穩(wěn)定性平衡穩(wěn)定性①穩(wěn)定平衡②不穩(wěn)定平衡③隨遇平衡1、穩(wěn)定平衡如圖:小球受一瞬間推力,小球在凹面往復(fù)擺動,最后總停在最低位置點(diǎn),位能極小,屬于穩(wěn)定平衡。第四頁,共三十九頁,2022年,8月28日2、不穩(wěn)定平衡如圖:凸面小球加一瞬間推力,小球沿表面滾下,無法回到原位置,凸面上小球處于不穩(wěn)定平衡。3、隨遇平衡如圖:平面小球受到瞬間水平力作用,位能不變,其停止位置是不確定的,其平衡是隨遇平衡。第五頁,共三十九頁,2022年,8月28日判斷三種平衡方法:
穩(wěn)定平衡——物體受一微小側(cè)向力,物體經(jīng)幾 次位置變動后,又靜止于初始位 置→物體初始處于穩(wěn)定平衡。不穩(wěn)定平衡——物體受一微小側(cè)向力作用后,運(yùn) 動就不停止了,再也回不到初始 狀態(tài)→物體初始處于不穩(wěn)定平衡。
隨遇平衡——物體受一力作用,運(yùn)動一段后, 又靜止于某一位置,位置是不定 的→物體初態(tài)是隨遇平衡。第六頁,共三十九頁,2022年,8月28日三、剛性壓桿穩(wěn)定性問題如圖:一剛性CD桿上端連有兩個彈簧,剛度k,桿軸向壓力P,D端固定鉸支座。在C端加一微小側(cè)向力F,使C端偏轉(zhuǎn),位移x,桿上端受力圖。C端受左彈簧推力Fx,右彈簧拉力Fx
及壓力P兩彈簧使桿恢復(fù)到垂直位置,恢復(fù)力矩M1=2kx壓力P使桿傾斜,傾斜力矩M2
M2
=Px第七頁,共三十九頁,2022年,8月28日當(dāng)M1>M2,桿運(yùn)動幾次后最終處于平衡—— 桿處于穩(wěn)定平衡。當(dāng)M2>M1,桿受到瞬間側(cè)向力作用就會連續(xù) 傾斜。當(dāng)M1=M2,桿受到瞬間側(cè)向力作用后,傾斜 一定角度后,就處于穩(wěn)定狀態(tài)。 此時CD桿處于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定 平衡之間臨界狀態(tài)。此時載荷P→臨界載荷。第八頁,共三十九頁,2022年,8月28日如圖:一理想壓桿,桿件受壓力P作用。逐漸增加P,壓桿發(fā)生的現(xiàn)象1、壓力P從0逐漸增加,當(dāng)壓力P小于某極限Plj時,桿始終保持直線,即使桿側(cè)向受一微力作用發(fā)生微小彎曲,外力去除后,桿又恢復(fù)直線,P<Plj,壓桿是穩(wěn)定平衡。第九頁,共三十九頁,2022年,8月28日2、當(dāng)壓力P達(dá)到某極限Plj時,桿受一側(cè)向微力桿變彎曲,撤去外力桿仍彎曲,當(dāng)P=Plj時,壓桿處于隨遇平衡,Plj稱為臨界壓力。又稱使壓桿保持直線的最大軸向力或使壓桿變曲線的最小力。3、桿失穩(wěn)后,在Plj壓力作用下,壓桿逐漸彎曲。第十頁,共三十九頁,2022年,8月28日§6-3兩端球鉸支座細(xì)長壓桿的臨界壓力Plj
一、臨界壓力計(jì)算式推導(dǎo)如圖(1):一端固定鉸支,一端滑動鉸支,受軸向力Plj作用,Plj為使壓桿保持微小彎曲平衡的最小軸向壓力,桿件微彎曲平衡如圖(2),變形量為y第十一頁,共三十九頁,2022年,8月28日用截面法在桿上任一位置截開,分離體受力圖(3)N=Plj,M(x)=-
Plj·y,撓度y為負(fù)撓曲線微分方程:令截開截面存在內(nèi)力N及彎矩M(x)第十二頁,共三十九頁,2022年,8月28日方程通解:y=C1sinkx+C2coskx邊界條件:x=0,y=0得C2=0,x=l,y=0即y=C1sinkl=0C1≠0,sinkl=0,kl=nπ(n=0,1,2··
·
)n=0P=0,與原假設(shè)相反,不成立第十三頁,共三十九頁,2022年,8月28日使P最小,n=1此式稱為歐拉公式n=1時,→正弦波曲線兩端鉸支壓桿臨界狀態(tài)撓曲線為半個正弦波曲線如圖:第十四頁,共三十九頁,2022年,8月28日§6-4其它支座條件下細(xì)長桿的臨界壓力Plj工程上兩端約束最典型有四種情況:兩端鉸支一端自由一端固定一端鉸支一端固定兩端固定第十五頁,共三十九頁,2022年,8月28日兩端鉸支約束壓桿受力模型一端自由一端固定約束受力模型一端鉸支一端固定約束受力模型兩端固定約束受力模型第十六頁,共三十九頁,2022年,8月28日這四種約束的壓桿臨界壓力計(jì)算,采用相當(dāng)長度法相當(dāng)長度法——在壓桿某一相當(dāng)長度內(nèi) 任何約束壓桿其失穩(wěn)撓 曲線均為半波正弦曲線,
由此將其它約束壓桿轉(zhuǎn)化 為兩端鉸支壓桿,利用歐 拉公式計(jì)算臨界壓力。第十七頁,共三十九頁,2022年,8月28日例:一端固定,一端自由桿,其失穩(wěn)撓曲線為半波正弦曲線。如圖:則半波正弦曲線長2l,與2l長兩端鉸支壓桿失穩(wěn)撓曲線相同。2l為此種約束的相當(dāng)長度。兩端鉸支的2l壓桿,失穩(wěn)臨界壓力Plj第十八頁,共三十九頁,2022年,8月28日由此得到其它約束情況壓桿臨界壓力:→歐拉公式一般表達(dá)式μl——壓桿相當(dāng)長度μ——長度系數(shù)四種約束μ的取值:兩端鉸支:μ=1,一端自由一端固定:μ=2一端鉸支一端固定:μ=0.7,兩端固定:μ=0.5μ越大,Plj越小,越易失穩(wěn),工程上盡可能固支。第十九頁,共三十九頁,2022年,8月28日例題:如圖,已知EF為剛性軸,端部受力P,受兩細(xì)長桿AB,CD支承,AB,CD抗彎剛度EI,求結(jié)構(gòu)最大允許載荷。解:對EF桿進(jìn)行受力分析,受力圖列平衡方程∑x=0∑y=0∑M(E)=0Rx=0Ry+NAB+NCD-P=0第二十頁,共三十九頁,2022年,8月28日三個方程,四個未知數(shù),屬超靜定問題,需補(bǔ)充方程。AB、CD壓桿:各桿最大可承受載荷為臨界載荷壓桿失穩(wěn)時仍具有承載能力,承載極限載荷為PljAB桿承載極限CD桿承載極限第二十一頁,共三十九頁,2022年,8月28日§6-5壓桿的臨界應(yīng)力
一、臨界應(yīng)力σlj
由歐拉公式得壓桿臨界應(yīng)力Plj
壓桿臨界狀態(tài)時桿截面的應(yīng)力→臨界應(yīng)力σlj
人為規(guī)定:I=i2·A,
i——截面最小慣性半徑第二十二頁,共三十九頁,2022年,8月28日令,λ稱為壓桿柔度或壓桿長細(xì)比λ物理意義:反映壓桿長度l、約束條件μ、橫截面尺寸及形狀i對臨界應(yīng)力影響?!鷼W拉公式另一種表達(dá)方式。注意:①σlj與壓桿材料(E)、兩端約束(μ)、長度(l)、橫截面積大小及形狀有關(guān)。第二十三頁,共三十九頁,2022年,8月28日②壓桿局部削弱,壓桿臨界應(yīng)力不變,對穩(wěn)定問題不必考慮局部結(jié)構(gòu);但對強(qiáng)度問題,必須考慮局部削弱問題。如圖:壓桿橫截面有一孔,其臨界壓力與無孔壓桿相同。③壓桿存在兩個慣性矩I時如矩形截面,臨界壓力Plj
計(jì)算式中I應(yīng)取最小的I如圖:第二十四頁,共三十九頁,2022年,8月28日二、歐拉公式適用范圍歐拉公式由近似微分方程導(dǎo)出,在小變形下服從虎克定律歐拉公式適用范圍:①σlj≤σP壓桿臨界應(yīng)力不大于材料比例極限,此時壓桿失穩(wěn)為彈性失穩(wěn)。如果σlj>σP,材料發(fā)生了塑性變形,不服從虎克定理,不成立,歐拉公式也不存在。第二十五頁,共三十九頁,2022年,8月28日只有當(dāng)柔度,歐拉公式才成立。令②當(dāng)λ≥λP壓桿稱為大柔度桿或細(xì)長桿,歐拉公式成立。計(jì)算當(dāng)λ≥λP時臨界壓力計(jì)算公式成立第二十六頁,共三十九頁,2022年,8月28日特別注意:計(jì)算壓桿臨界壓力Plj或臨界應(yīng)力σlj時①首先計(jì)算及②如果λ≥λP,則可應(yīng)用第二十七頁,共三十九頁,2022年,8月28日#三、中柔度壓桿的臨界公式1、直線公式σlj=a-bλ
a、b值是與材料性質(zhì)有關(guān)常數(shù)。由a、b及λ可計(jì)算出臨界應(yīng)力σlj臨界壓力Plj=σlj
·
A直線公式適用范圍:σP
<σlj
=a-bλ≤σS,
令當(dāng)σS
≤λ<σP
時,直線公式成立即σlj
=a-bλ第二十八頁,共三十九頁,2022年,8月28日用圖表示個公式應(yīng)用范圍:第二十九頁,共三十九頁,2022年,8月28日§6-6壓桿穩(wěn)定性校核一、穩(wěn)定安全準(zhǔn)則為了保證壓桿受力不失穩(wěn),其工作壓力必小于臨界壓力Plj還要有一定安全儲備。壓桿最大允許壓力Pmax或σ≤[σ]wPlj——計(jì)算臨界壓力nW——穩(wěn)定安全系數(shù)[σ]w——穩(wěn)定許用應(yīng)力,第三十頁,共三十九頁,2022年,8月28日穩(wěn)定安全系數(shù)nW總大于強(qiáng)度安全系數(shù)nS(nb)其原因:①實(shí)際中存在一些難以避免因素(如不完平直、材料不均、壓力偏心及支座缺陷等),這些因素對壓桿穩(wěn)定影響巨大。②壓桿失穩(wěn)屬突然性,危害大。第三十一頁,共三十九頁,2022年,8月28日注意:有局部削弱壓桿的安全校核方法:①首先進(jìn)行穩(wěn)定性校核,此時不必考慮削弱處結(jié)構(gòu)與尺寸。按臨界無缺陷壓桿計(jì)算②對削弱處進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算兩者均安全,則此壓桿才是安全的第三十二頁,共三十九頁,2022年,8月28日二、壓桿穩(wěn)定安全系數(shù)法如果計(jì)算出臨界壓力Plj,壓桿工作時載荷P壓桿工作安全系數(shù)
如果n≥nw
則壓桿穩(wěn)定第三十三頁,共三十九頁,2022年,8月28日例題:如圖一手動擠壓裝置。已知AB為剛性桿,壓桿BC,其彈性模量E=206GPa,σP=235MPa,如果壓桿安全系數(shù)nW=4求A端允許最大力P解:①取AB桿為研究對象,其受力如圖列力矩平衡方程N(yùn)BC·100=P·300第三十四頁,共三十九頁,2022年,8月28日②求NBCλ>λP
可用歐拉公式計(jì)算臨界壓力Plj
許用壓力第三十五頁,共三十九頁,2022年,8月28日§6-7提高壓桿穩(wěn)定性措施由臨界應(yīng)力公式可以看出由以下有關(guān)方面因素影響壓桿穩(wěn)定性,提高穩(wěn)定性方法如下:一、減小壓桿柔度λ
中間加支座,長度l縮短一半,Plj增加為原來的4倍。1、減小壓桿長度l
細(xì)長桿可以通過中間加支座減小l,如圖:第三十六頁,共三十九頁,2022年,8月28日2、增加截面最小慣性半徑,選擇合理截面形狀不同截面I不同,如果將材料布置到離中心遠(yuǎn)一些則可增加I,如采用空心結(jié)構(gòu)。3、加強(qiáng)支座約束盡量采用μ最小結(jié)構(gòu),如兩端固支μ=0.5最小。盡可能采用兩端固支結(jié)構(gòu)。如:由兩端鉸支約束,改為兩端固支約束,臨界載荷可增加4倍第三十七頁,共三十九頁,2022年,8月28日二、合理選材提高E值1、對細(xì)長桿
對各種鋼材E均相差不大,用高強(qiáng)度鋼代替低強(qiáng)度鋼P(yáng)lj提高不大,不可取。
2、對中柔度桿
λS<λ<λP
,則可
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