第十五章分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第十五章分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日■

引言■動(dòng)力學(xué)普遍方程■討論■拉格朗日方程第15章分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日＊拓寬研究領(lǐng)域矢量動(dòng)力學(xué)又稱為牛頓－歐拉動(dòng)力學(xué)■引言經(jīng)典動(dòng)力學(xué)發(fā)展的兩個(gè)方面：＊尋求新的表達(dá)形式將虛位移原理和達(dá)朗貝爾原理結(jié)合應(yīng)用于動(dòng)力學(xué)建立分析力學(xué)的新體系。該體系組成之一即拉格朗日力學(xué)牛頓運(yùn)動(dòng)定律由單個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)

受約束質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系。歐拉將牛頓運(yùn)動(dòng)定律剛體和理想流。第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日■動(dòng)力學(xué)普遍方程★動(dòng)力學(xué)普遍方程★應(yīng)用舉例

第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日考察由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的、具有理想約束的系統(tǒng)。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有主動(dòng)力約束力慣性力令系統(tǒng)有任意一組虛位移系統(tǒng)的總虛功為★

動(dòng)力學(xué)普遍方程利用理想約束條件得到——?jiǎng)恿W(xué)普遍方程（達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程）任意瞬時(shí)作用于具有理想、雙面約束的系統(tǒng)上的主動(dòng)力與慣性力在系統(tǒng)的任意虛位移上的元功之和等于零。稱達(dá)朗貝爾－拉格朗日原理(d'Alembert–Lagrangeprinciple)。第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日動(dòng)力學(xué)普遍方程的直角坐標(biāo)形式動(dòng)力學(xué)普遍方程★

動(dòng)力學(xué)普遍方程適用于具有定常（或非定常）約束的系統(tǒng)；適用于具有完整（或非完整）約束的系統(tǒng)；適用于具有有勢(shì)力（或無勢(shì)力）的系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)普遍方程：適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng)；第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日＊達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程主要應(yīng)用于求解動(dòng)力學(xué)第二類問題，即：已知主動(dòng)力求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。＊應(yīng)用達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，重要的是正確分析運(yùn)動(dòng)，并在系統(tǒng)上施加慣性力?！飸?yīng)用舉例＊由于達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程中不包含約束力，因此，不需要解除約束，也不需要將系統(tǒng)拆開。＊應(yīng)用達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程時(shí)，需要正確分析主動(dòng)力和慣性力作用點(diǎn)的虛位移，并正確計(jì)算相應(yīng)的虛功。第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日例題1BACllllO1x1y1離心調(diào)速器已知：m1－球A、B的質(zhì)量；m2－重錘C的質(zhì)量；l－桿件的長(zhǎng)度；－O1y1軸的旋轉(zhuǎn)角速度。求：－的關(guān)系?！飸?yīng)用舉例第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日CllllO1xyAB

解：不考慮摩擦力，這一系統(tǒng)的約束為理想約束；系統(tǒng)具有一個(gè)自由度。取廣義坐標(biāo)q=1、分析運(yùn)動(dòng)、確定慣性力球A、B繞

y軸等速轉(zhuǎn)動(dòng)；重錘靜止不動(dòng)。球A、B的慣性力為FIBFIAm1

gm1

gm2

g2、給系統(tǒng)有一虛位移

。A、B、C

三處的虛位移分別為rA、rB、rCrBrArC3、應(yīng)用達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日CllllO1xyABm1

gm1

gm2

grBrArC

根據(jù)幾何關(guān)系，有FIBFIA第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日例題2xOyC2D質(zhì)量為m1的三棱柱ABC通過滾輪擱置在光滑的水平面上。質(zhì)量為m2、半徑為R的均質(zhì)圓輪沿三棱柱的斜面AB無滑動(dòng)地滾下。求：1、三棱柱后退的加速度a1；2、圓輪質(zhì)心C2相對(duì)于三棱柱加速度ar。C1ACB★應(yīng)用舉例第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日xOyC2DC1ACB解：1、分析運(yùn)動(dòng)三棱柱作平動(dòng)，加速度為a1。a1圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心的牽連加速度為ae=a1；質(zhì)心的相對(duì)加速度為ar；圓輪的角加速度為2。aear22、施加慣性力m1gm2gFI1FI2eFI2rMI23、確定虛位移xOyC2DC1ACBm1gm2gFI1FI2eFI2rMI2x考察三棱柱和圓盤組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日xOyC2DC1ACBm1gm2gFI1FI2eFI2rMI2x4、應(yīng)用達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程求解聯(lián)立方程，得：第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日■拉格朗日方程★拉格朗日關(guān)系式★

拉格朗日方程★拉格朗日方程的有勢(shì)力形式★拉格朗日方程的應(yīng)用第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日考察由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)具有s個(gè)理想的、且為完整的約束，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)數(shù)為N=3n-s。第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位矢為★拉格朗日關(guān)系式第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日對(duì)任意一個(gè)廣義坐標(biāo)qa求偏導(dǎo)數(shù)如果將位矢對(duì)任意一個(gè)廣義坐標(biāo)qa求偏導(dǎo)數(shù)，再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，則得到★拉格朗日關(guān)系式比較上兩式：＝——第二個(gè)拉格朗日關(guān)系式位矢ri對(duì)qj的偏導(dǎo)數(shù)與位矢ri對(duì)時(shí)間t的全導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可以互換(微分記號(hào)互換)第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日由達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程★拉格朗日關(guān)系式廣義主動(dòng)力FQj廣義慣性力FIj第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日廣義主動(dòng)力FQj廣義慣性力FIj引入動(dòng)能函數(shù)——達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程的廣義坐標(biāo)形式對(duì)于只具有完整約束的系統(tǒng)，由于qj

的獨(dú)立性，qj

(j=1,2,…,N)得到此即拉格朗日方程，或稱為第二類拉格朗日方程[Lagrangeequation(ofthesecondkind)]。第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日如果作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力都是有勢(shì)力，根據(jù)有勢(shì)力的廣義主動(dòng)力★拉格朗日方程的有勢(shì)力形式引入拉格朗日函數(shù)L＝T－V得到主動(dòng)力為有勢(shì)力的拉格朗日方程第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日對(duì)于只具有完整約束、自由度為N的系統(tǒng)，可以得到由N個(gè)拉格朗日方程組成的方程組。應(yīng)用拉格朗日方程，一般應(yīng)遵循以下步驟：○

首先，要判斷約束性質(zhì)是否完整、主動(dòng)力是否有勢(shì)，決定采用哪一種形式的拉格朗日方程?！?/p>

其次，要確定系統(tǒng)的自由度，選擇合適的廣義坐標(biāo)?！鸢凑账x擇的廣義坐標(biāo)，寫出系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能或廣義力。○將動(dòng)能或拉格朗日函數(shù)、廣義力代入拉格朗日方程?！锢窭嗜辗匠痰膽?yīng)用第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日例題3xOxl0AB質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的均質(zhì)桿AB可以繞A端的鉸鏈在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。A端的小圓輪與剛度系數(shù)為k的彈簧相連，并可在滑槽內(nèi)上下滑動(dòng)。彈簧的原長(zhǎng)為l0。求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程Ck★拉格朗日方程的應(yīng)用第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日xOxl0ABCk

解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，主動(dòng)力為有勢(shì)力。2、系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)選擇為q=(x,),x坐標(biāo)的原點(diǎn)取在彈簧原長(zhǎng)的下方。3、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：不計(jì)彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)的動(dòng)能即為AB桿的動(dòng)能速度vC的確定第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日xOxl0ABCk系統(tǒng)的勢(shì)能由彈簧勢(shì)能與重力勢(shì)能所組成，以O(shè)點(diǎn)為共同的勢(shì)能零點(diǎn)：拉格朗日函數(shù)4、應(yīng)用拉格朗日方程運(yùn)動(dòng)微分方程第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日BAk例題4Or0均質(zhì)桿OA，重量為W，長(zhǎng)度為l繞O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。重量同為W的滑塊B套在OA桿上，可在OB桿上滑動(dòng)。剛度系數(shù)為k、不計(jì)質(zhì)量的彈簧，兩端分別與A、B相連。彈簧未變形時(shí)，OB＝r0。

求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(摩擦忽略不計(jì))★拉格朗日方程的應(yīng)用第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日BAkr0B'ArO

解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，且主動(dòng)力有勢(shì)。2、系統(tǒng)的自由度N＝2。取廣義坐標(biāo)q=(r,

)。3、確定系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能：WFWF零勢(shì)能取彈簧原長(zhǎng)及水平線。應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程求解。第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日例題5★拉格朗日方程的應(yīng)用圖示系統(tǒng)中，物塊A與球B看成兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量分別為,用質(zhì)量不計(jì)的長(zhǎng)為l的桿相連。水平面光滑，求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日解：系統(tǒng)受理想約束，主動(dòng)力(重力)有勢(shì)。系統(tǒng)有二自由度，選為廣義坐標(biāo)。代入拉氏方程系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日適用于具有定常（或非定常）約束的系統(tǒng)；適用于具有完整（或非完整）約束的系統(tǒng)；適用于具有有勢(shì)力（或無勢(shì)力）的系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)普遍方程：適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng)；■討論※第一類拉格朗日方程，即達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程，又稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程。第二十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日※

第二類拉格朗日方程:僅用動(dòng)能、勢(shì)能以及廣義主動(dòng)力等少數(shù)幾個(gè)標(biāo)量便可描述復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)。但只能用于具有完整約束的系統(tǒng)。基本形式主動(dòng)力有勢(shì)形式主動(dòng)力包含有勢(shì)力和非有勢(shì)力形式(j=1,2,…,N)(j=1,2,…,N)(j=