第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)

第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)第一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)類(lèi)似:一般情況下,函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)還是的函數(shù),如果的偏導(dǎo)數(shù)還存在,則稱(chēng)它們的偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù).第二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日即:函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱(chēng)為原來(lái)函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱(chēng)為原來(lái)函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù).二階以及二階以上的稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù).依此類(lèi)推,可定義多元函數(shù)的更高階的偏導(dǎo)數(shù).第三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).對(duì)的二階偏導(dǎo)數(shù).對(duì)的混合對(duì)二階偏導(dǎo)數(shù).第四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日二階偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào):

二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共22=4項(xiàng)第五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日二元函數(shù)三階偏導(dǎo)數(shù)第六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日二元函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)共23=8項(xiàng).第七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例1求的二階偏導(dǎo)數(shù).解第八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例2求處的二階混合偏導(dǎo)數(shù).問(wèn)題:混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?在解當(dāng)時(shí),第九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)時(shí),第十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日顯然第十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題:在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)相等?定理若和在點(diǎn)處連續(xù),則這樣以來(lái),如果二元函數(shù)對(duì)求次,對(duì)求次的混合高階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),對(duì)自變量求偏導(dǎo)時(shí)可不分順序,它們都是相等的(反復(fù)利用上述定理).其它多元函數(shù)類(lèi)似.第十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例2設(shè)求解第十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例3所確定的函數(shù)求解則故第十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例:還是的函數(shù)!注意:抽象復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),仍為抽象復(fù)合函數(shù).第十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例4設(shè)求解令則有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),第十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日令則第十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例5設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo),求解第十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例6設(shè)其中二階偏導(dǎo)連續(xù),求二階可導(dǎo),解記第二十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例7設(shè)求解第二十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例8設(shè)可把方程:簡(jiǎn)化為求常數(shù)解,若由第二十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日將上述結(jié)果代入原方程得:依題意:得第二十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例9設(shè)求解第二十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例10設(shè)其中均二次可導(dǎo),求解記則第二十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例11設(shè)存在二階連偏導(dǎo)數(shù),且求解記則第二十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日