第六章拉普拉斯變換

第六章拉普拉斯變換第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第一篇復(fù)變函數(shù)論

第六章拉普拉斯變換§

6.1拉普拉斯變換6.2拉普拉斯變換反演6.3應(yīng)用例第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第六章拉普拉斯變換§6.1拉普拉斯變換一、拉普拉斯變換的定義1、定義：對(duì)于任意函數(shù)f(t)，設(shè)t<0，f(t)0,只要足夠大，g

(t)=f(t)

e-t

的付氏（積分）變換為★令，其中稱為收斂指標(biāo)?！镉?/p>

第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日★稱為f(t)

的拉普拉斯變換.★記積分★稱為f(t)

的拉普拉斯變換函數(shù)；★其中積分稱為f(t)

的拉普拉斯積分；★稱為拉普拉斯變換的核；

第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日★G()的傅里葉逆變換2、拉普拉斯變換的原函數(shù)和像函數(shù)★令得黎曼-梅林反演公式★稱f(t)

為原函數(shù)★稱為像函數(shù)

第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例1：求L[1]解：

第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例2：求

L[t]

解：

第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日同理可得：

第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例3：求L[est],s為常數(shù)。解：

第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例4：求L[test],s為常數(shù)。解：

同理可得：第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例5：求L[tf(t)],其中f(t)為任意函數(shù)。解：

即：同理：第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日二、拉普拉斯變換的性質(zhì)證明:★因?yàn)?、是在的半平面上的解析函數(shù)?！飳?duì)于實(shí)常數(shù)，考察積分（一）拉普拉斯變換函數(shù)的基本性質(zhì)

←有界.第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日★即★即在半平面上處處可導(dǎo)。★即在的半平面上的解析函數(shù)。★所以，可以交換積分次序，

第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日★因?yàn)樽C明:★考察的收斂性。2、當(dāng)，而時(shí)，存在，而且滿足★所察的收斂，而且

證畢！第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日（二）拉普拉斯變換(運(yùn)算)的基本性質(zhì)1、線性定理證明：★如果★則

證畢！第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例6：求

L[sint],L[cost]解：★同理可得:

第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日2、導(dǎo)數(shù)定理證明：

第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日★由此可以得：

★推廣到高階導(dǎo)數(shù)：證畢！第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日3、積分定理證明：★令★則★因?yàn)椤锼?/p>

證畢！第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日4、相似定理證明：

證畢！第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日5、位移定理證明：

證畢！第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日6、延遲定理證明：

證畢！第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日7、卷積定理證明：tt=★若★其中★稱

為f1(t)與f2(t)的卷積和★令

證畢！第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日§

6.2拉普拉斯變換的反演一、有理分式反演法的

Laplace

逆變換。例1：求拉普拉斯變換主要用于求解稍微復(fù)雜、運(yùn)算量大的微分或積分方程：將原微分或積分方程（通過拉普拉斯變換）變換成像函數(shù)遵從的代數(shù)方程，解出像函數(shù)；再（通過拉普拉斯反[逆]變換——反演）求出原函數(shù)，即得原微分或積分方程的解。

如果像函數(shù)是有理分式，分解原式后直接用公式。第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日的

Laplace

逆變換。例2：求如果像函數(shù)是有理分式，分解原式后直接用公式?！镉晌灰贫ɡ恚航猓骸锏?/p>

第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解：例3：求的

Laplace

逆變換。

第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日★由§6.1例3：★由§6.1例6：★最后得

第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日二、查表法解：例4：求的

Laplace

逆變換?！锏谩镉裳舆t定理：★查表P394第12式：

第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解：例5：求的

Laplace

逆變換?！镉晌灰贫ɡ?，得★查表P394第5、6式或§6.1例6得

第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解：例6：求的原函數(shù)?！镉裳舆t定理：§6.1例1★由卷積定理：

第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日§

6.3拉普拉斯變換應(yīng)用一、用拉氏變換求解微分方程或積分方程的基本步驟1、對(duì)方程施行拉氏變換：2、解出像函數(shù)：3、對(duì)像函數(shù)進(jìn)行反演（逆變換），求出原函數(shù)。

第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解：★對(duì)原方程施行拉普拉斯變換：★得例1：求RL電路方程

第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日★解出像函數(shù)★對(duì)解出的像函數(shù)進(jìn)行反演

第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日★應(yīng)用卷積定理對(duì)解出的像函數(shù)進(jìn)行反演，得

第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解：例2：求

RLC電路的初值問題LCRK★對(duì)原方程施行拉普拉斯變換，得：★解出像函數(shù)

RLC電路第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日LCRK★解出像函數(shù)：

★對(duì)解出的像函數(shù)進(jìn)行反演：RLC電路第三十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日（1）★對(duì)解出的像函數(shù)進(jìn)行反演：