第四章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

第四章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日4.1.1D-H方法建立坐標(biāo)系第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日Oi——關(guān)節(jié)i和i+1軸線的公垂線與關(guān)節(jié)i+1軸線的交點(diǎn)。關(guān)節(jié)i和i+1的軸線相交時(shí)，Oi選在交點(diǎn)上；關(guān)節(jié)i和i+1的軸線平行時(shí)，Oi選在使di+1=0處（關(guān)節(jié)i+1和i+2的公垂線與關(guān)節(jié)i+1軸線的交點(diǎn)處）。A）中間連桿坐標(biāo)系的建立相交時(shí)平行時(shí)Zi——與關(guān)節(jié)i+1的軸線重合，方向任意第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日Xi——與關(guān)節(jié)i和i+1軸線的公垂線重合，指向?yàn)閕—>i+1；關(guān)節(jié)i和i+1的軸線相交時(shí)，Xi//（Zi-1×

Zi）；關(guān)節(jié)i和i+1的軸線平行時(shí)，選定Oi，Xi為過(guò)點(diǎn)Oi且與關(guān)節(jié)i和i+1的公垂線重合，指向?yàn)閕—>i+1Yi——與Zi和Xi構(gòu)成右手系，即Yi=Zi

×Xi第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日連桿四參數(shù)（１）ai是Zi-1和Zi兩軸線的公垂線長(zhǎng)度，一般稱ai為連桿長(zhǎng)度。它是從Zi-1到Zi沿Xi測(cè)量的距離；ai-1（２）兩公垂線ai-1和ai之間的距離稱為連桿距離di，或者稱為兩連桿的偏置。它是從Xi-1到Xi沿Zi-1測(cè)量的距離；（４）Zi-1軸與Zi軸之間的夾角為αi，αi稱為扭轉(zhuǎn)角。它是從Zi-1到Zi繞Xi旋轉(zhuǎn)的角度，右旋為正。（３）Xi-1軸與Xi軸之間的夾角θi，一般稱θi為連桿的夾角，或稱為兩連桿的關(guān)節(jié)角。它是從Xi-1到Xi繞Zi-1旋轉(zhuǎn)的角度，右旋為正；第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日C）手爪坐標(biāo)系

z軸設(shè)在手指接近物體的方向，稱為接近矢量；y軸設(shè)在兩手指的連線方向，稱為方位矢量；x軸由右手系確定，即，稱為法向矢量。a(z)o(y)n(x)B）基座坐標(biāo)系和n坐標(biāo)系的確定從基座到末端執(zhí)行器，給各關(guān)節(jié)依次標(biāo)號(hào)：1，2，、、、，n；在基座上設(shè)置右手直角坐標(biāo)系ΣO0，使Z0沿著關(guān)節(jié)1的軸線，X0或Y0可以任選。最后一個(gè)坐標(biāo)系ΣOn與末端執(zhí)行器（手爪）的坐標(biāo)系重合。第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日下面來(lái)建立i-1和i坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。D）A矩陣和T矩陣Tn=A1A2A3…AnA矩陣表示兩連桿相對(duì)位姿關(guān)系的矩陣，也稱著連桿變換矩陣。Ai為連桿i相對(duì)于連桿i-1的變換矩陣，即。兩個(gè)或兩個(gè)以上的A矩陣的乘積稱為T(mén)矩陣。T２=A1A2T3=A1A2A3第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)：（1）繞Zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi角，使Xi-1軸與Xi軸和Zi-1軸在同一平面上；（2）沿Zi-1軸平移一距離di，使Xi-1軸與Xi軸重合；（3）沿Xi軸平移一距離ai，使連桿i-1的坐標(biāo)系原點(diǎn)與連桿i的坐標(biāo)系原點(diǎn)重合；（4）繞Xi軸旋轉(zhuǎn)αi角，使Zi-1軸與Zi軸重合。第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日將上式展開(kāi)第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日同理，對(duì)于移動(dòng)副關(guān)節(jié)Ai矩陣可以簡(jiǎn)化為（ai=0）所以，機(jī)械手的末端執(zhí)行器相對(duì)于基坐標(biāo)系的變換為第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日4.1.2運(yùn)動(dòng)學(xué)正解依次寫(xiě)出從基坐標(biāo)系到手爪坐標(biāo)系之間相鄰兩坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，它們依次連乘的結(jié)果就是末端執(zhí)行器（手爪）在基坐標(biāo)系中的空間描述，即已知q1,q2,…,qn，求，稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)正解；已知，求q1,q2,…,qn，稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)反解。上式稱為運(yùn)動(dòng)方程。第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例1：PUMA560運(yùn)動(dòng)學(xué)方程第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日（１）θi是從Xi-1到Xi繞Zi-1旋轉(zhuǎn)的角度；（２）di是從Xi-1到Xi沿Zi-1測(cè)量的距離；（３）ai是從Zi-1到Zi沿Xi測(cè)量的距離；（４）αi是從Zi-1到Zi繞Xi旋轉(zhuǎn)的角度。第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日（1）連桿參數(shù)（2）A矩陣解：

第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日零位校驗(yàn)：零位校驗(yàn)：零位校驗(yàn)：第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日零位校驗(yàn)：零位校驗(yàn)：零位校驗(yàn)：第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日=第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日零位校驗(yàn)：

令得第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例2：Stanford機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)（１）θi是從Xi-1到Xi繞Zi-1旋轉(zhuǎn)的角度；（２）di是從Xi-1到Xi沿Zi-1測(cè)量的距離；（３）ai是從Zi-1到Zi沿Xi測(cè)量的距離；（４）αi是從Zi-1到Zi繞Xi旋轉(zhuǎn)的角度。第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解：（1）連桿參數(shù)（2）A矩陣第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日本文講述的方法書(shū)上講述的方法

兩種連桿坐標(biāo)系建立方法的對(duì)比

第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論：3.選擇不同的連桿坐標(biāo)系，相應(yīng)的連桿參數(shù)將會(huì)發(fā)生變化。

１.一般來(lái)說(shuō)，機(jī)器人的坐標(biāo)系可以任意建立；２.如果不是按照D-H方法建立連桿坐標(biāo)系，則不能按照A矩陣表達(dá)式來(lái)求解相鄰連桿坐標(biāo)系之間的變換；第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日4.1.3運(yùn)動(dòng)學(xué)反解反解就是已知手爪位姿求關(guān)節(jié)變量。正解反解第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

反變換法是一種把關(guān)節(jié)變量分離出來(lái)從而求解的方法，也稱代數(shù)法。第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日上式兩端的元素（3，4）對(duì)應(yīng)相等，得：

-s1px+c1py=d2首先求θ1

，將等式兩端左乘，得再利用三角代換:和，其中第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日把它們代入代換前的式子得：再求θ3。再令矩陣方程兩端的元素（1，4）和（2，4）分別對(duì)應(yīng)相等得：第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日兩邊平方相加得：合并同類項(xiàng)并整理得：令，再利用三角代換可得：式中正，負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)著θ3

的兩種可能解。第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日最后求θ2：

將展開(kāi)并整理得：同樣再利用三角代換容易求得θ2的四種可能解：

其中第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論：1.反解的可能解有多個(gè)，但由于結(jié)構(gòu)限制，例如各關(guān)節(jié)變量不能在全部360°范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，有些解甚至全部解都不能實(shí)現(xiàn)。

2.機(jī)器人存在多種解時(shí)，應(yīng)選取其中最滿意的一組解，譬如滿足行程最短，功率最省，受力最好，回避障礙等要求。（實(shí)際上就是加約束條件）。第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日4.1.4

運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的有關(guān)問(wèn)題一、解的存在性和工作空間通常把反解存在的區(qū)域(如圓環(huán))稱為該機(jī)器人的工作空間。嚴(yán)格地講，工作空間分為兩種：(1)靈活（工作）空間，是指機(jī)器人手爪能以任意方位到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)集合；(2)可達(dá)（工作）空間，是指機(jī)器人手爪至少能以一個(gè)方位到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)集合。兩自由度平面機(jī)械手容易求得第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日二、反解的唯一性和最優(yōu)解ai反解數(shù)目a1=a3=a5=0a3=a5=0a3=0所有ai不等于0小于等于4小于等于8小于等于16小于等于16一般而言，非零連桿參數(shù)越多，到達(dá)某一目標(biāo)的方式也越多，即運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的數(shù)目越多。

最優(yōu)解遵循的一般準(zhǔn)則：通常按“最短行程”擇優(yōu)，即使每個(gè)關(guān)節(jié)的移動(dòng)量為最??；多移動(dòng)小關(guān)節(jié)，少移動(dòng)大關(guān)節(jié)。第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日三、求解方法工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的方法可分為兩類：封閉解和數(shù)值解。其封閉解可通過(guò)兩種途徑獲得：代數(shù)解和幾何解。第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日4.1.5

關(guān)節(jié)空間和操作空間

機(jī)械手的末端位姿由n個(gè)關(guān)節(jié)變量所決定，這n個(gè)關(guān)節(jié)變量統(tǒng)稱為n維關(guān)節(jié)矢量，所有關(guān)節(jié)矢量構(gòu)成的空間稱為關(guān)節(jié)空間。末端手爪的位姿是在直角坐標(biāo)空間中描述的，即用操作空間或作業(yè)定向空間來(lái)表示。

各驅(qū)動(dòng)器的位置統(tǒng)稱為驅(qū)動(dòng)矢量。所有驅(qū)動(dòng)矢量構(gòu)成的空間稱為驅(qū)動(dòng)空間。第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日4.2

移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)以兩輪差速驅(qū)動(dòng)方式的移動(dòng)機(jī)器人為例，建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。所做的基本假設(shè)如下：(1)車(chē)體所在路面為光滑平面；(2)車(chē)輪在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在縱向作純滾動(dòng)，沒(méi)有側(cè)向滑移；(3)車(chē)體有關(guān)參數(shù)，如左右輪直徑和左右輪間距在車(chē)體負(fù)載與空載情況下相同。第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日由理論力學(xué)的知識(shí)可知，