第四章的應(yīng)用

第四章的應(yīng)用第一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日4.1多項(xiàng)式的運(yùn)算多項(xiàng)式的生成和表達(dá)1、多項(xiàng)式的表達(dá)在MATLAB環(huán)境下多項(xiàng)式是用向量的形式表達(dá)的。向量最右邊的元素表示多項(xiàng)式的0階，向左數(shù)依次表示多項(xiàng)式的第1階、第2階、第3階……。例如多項(xiàng)式5x4+3x2+2x+1表示為[50321]。第二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日

2、多項(xiàng)式的生成語(yǔ)法：poly(MA)說(shuō)明：1、若MA為方陣，則生成的多項(xiàng)式P為方陣MA的特征多項(xiàng)式。2、若MA為向量、則向量和多項(xiàng)式滿足這樣一種關(guān)系：

MA＝[r1r2r3…rn]生成的多項(xiàng)式為：(x-r1)(x-r2)(x-r3)…(x-rn)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an即生成的向量為[a0a1a2…an]3、當(dāng)然也可以用直接輸入的方式生成多項(xiàng)式。第三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日3.多項(xiàng)式的加減乘除加減法多項(xiàng)式的加減法與向量的加減法完全相同。乘除法A.c=conv(a，b)乘積運(yùn)算[qr]=deconv(b,a)除法運(yùn)算

(即有b=conv(a,q)+r)1、a、b和c,q,r均為以向量形式表示的多項(xiàng)式。2、q表示除運(yùn)算的商，r表示除運(yùn)算的余數(shù)。

第四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日例：求多項(xiàng)式F(x)=x2+5x和G(x)=2x+1的乘積M(x)。>>f=[150];>>g=[21];>>m=conv(f,g)m=21150即M(x)=2x3+11x2+5x+0第五頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日已知：s(x)=5x4+3x3+2x2+x+1,a(x)=x+1求s(x)被a(x)除的結(jié)果>>s=[53211];>>a=[11];>>[q,r]=deconv(s,a);>>qq=5-24-3>>rr=00004即有q(x)=5x3-2x2+4x-3r(x)=4第六頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日3.多項(xiàng)式求導(dǎo)dp=polyder(p)多項(xiàng)式p(x)的導(dǎo)數(shù)dp(x)dp=polyder(p,q)多項(xiàng)式p(x)*q(x)的導(dǎo)數(shù)[b,a]=polyder(p,q)多項(xiàng)式p(x)/q(x)的導(dǎo)數(shù)b(x)/a(x)第七頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日例：求多項(xiàng)式:p(x)=x3+2x2+x+1的一階和二階導(dǎo)數(shù)。p=[1211];dp=polyder(p)dp2=polyder(dp)計(jì)算結(jié)果dp=341%3x2+4x+1dp2=64%6x+4第八頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日例：求的一階導(dǎo)數(shù)>>[b,a]=polyder([151],[35])b=31022a=93025>>polyder([151],[35])ans=94028第九頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日

4.多項(xiàng)式的求根

r＝roots(p)p為多項(xiàng)式的向量表示式r為多項(xiàng)式的根，以列向量表示第十頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日例：求方程x3-3x2-3x+1=0的解。>>p=[1-3-31];>>r=roots(p)r=3.7321-1.00000.2679也即有(x-3.7321)(x-(-1))(x-0.2679)=x3-3x2-3x+1第十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日注意：poly和roots功能剛好相反>>p=[12345];%x4+2x3+3x2+4x+5>>r=roots(p)ans=0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579i>>poly(r)ans=1.00002.00003.00004.00005.0000第十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日又如：>>roots(poly([-1-2-3]))ans=-3.0000-2.0000-1.0000第十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日5.多項(xiàng)式值的計(jì)算y=polyval(p,x);計(jì)算自變量為x時(shí)，多項(xiàng)式p(x)的值。第十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日例計(jì)算多項(xiàng)式2x當(dāng)x=[1234]時(shí)的值。>>polyval([20],[1234])ans=2468第十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日6.曲線的擬合

p=polyfit(x,y,N)；根據(jù)輸入數(shù)據(jù)x和y生成一個(gè)N階的擬合多項(xiàng)式p(x)。第十六頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日>>x=1:10;>>y=x+rand(1,10)%rand這個(gè)函數(shù)能產(chǎn)生[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)

y=1.83182.50283.70954.42895.30466.18977.19348.68229.302810.5417>>p=polyfit(x,y,7)p=0.0001-0.00400.0520-0.32040.9418-1.03040.63781.5504>>y2=polyval(p,x)%由多項(xiàng)式獲得相應(yīng)的y2值y2=1.82732.53373.62244.54675.25586.11067.33148.58669.335810.5370>>figure;plot(x,y,’b’,x,y2,’r’);第十七頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第十八頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日作業(yè)1.已知p(x)=4x3+3x2+2x+5;q(x)=x+1(1)試求q(x)的4次冪(2)求p(x)/q(x)(3)p(x)的一階、二階和三階導(dǎo)數(shù)(4)繪制x=(1,10)范圍內(nèi)的p(x)和q(x)的曲線2.已知y=sin(x),x=(0,pi)，試分別用3,5,7階多項(xiàng)式擬合此曲線，比較原數(shù)據(jù)與擬合后數(shù)據(jù)的差異情況，并將繪制相應(yīng)曲線和誤差曲線。第十九頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日作業(yè)2程序:>>x=0:0.1:pi;>>y=sin(x);>>p=polyfit(x,y,7);>>z=polyval(p,x);>>figure;plot(x,y,'b',x,z,'r');>>figure;plot(x,y-z);第二十頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日誤差曲線第二十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日利用MATLAB處理牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)以牛頓環(huán)中心圓斑為0級(jí)條紋,依次測(cè)量了第30～26級(jí)、10～6級(jí)兩組暗環(huán)直徑數(shù)據(jù)如表1根據(jù)光的等厚干涉原理,干涉條紋級(jí)次k、第k級(jí)條紋直徑Dk

、第二十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日入射光波長(zhǎng)λ與透鏡表面的幾何參量之間滿足關(guān)系:Dk2=4Akλ+Bk2λ2(1)式中A、B為與透鏡表面幾何參量有關(guān)的系數(shù),(1)對(duì)拋物線參量為2P的旋轉(zhuǎn)拋物面有A=P,B=0;(2)對(duì)半徑為R的球面有A=R,B=-1;(3)對(duì)主軸為2a、虛軸為2b、雙曲線參量為2P的旋轉(zhuǎn)雙曲面有A=P,B=P/a第二十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日在傳統(tǒng)的牛頓環(huán)測(cè)定透鏡表面曲率半徑實(shí)驗(yàn)中,為簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理,省略了(1)式中的二次項(xiàng)Bk2λ2,即Dk2=4Rkλ,變換該式得曲率半徑R=(Dk2-Dk’2)/4λ(k-k’)將表1數(shù)據(jù)及λ=5893A代入,計(jì)算知P=2323.1mm由于省略了二次項(xiàng),這種處理實(shí)際上是將透鏡表面近似為旋轉(zhuǎn)拋物面對(duì)待,因此給測(cè)量結(jié)果帶來(lái)了理論誤差為考慮二次項(xiàng)Bk2λ2

的貢獻(xiàn),并減小因鏡面灰塵及彈性形變引起附加程差帶來(lái)的誤差,設(shè)中心圓斑的條紋級(jí)次為k0,第k級(jí)條紋與中心圓斑的級(jí)差為x=k-k0,整理(1)式得:第二十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日Dk2=(4Ak0λ+Bk0λ)+(4Aλ+2Bk0λ2)x+Bλ2x2（2）令y=Dk2,a0=4Ak0λ+Bk0λ,a1=4Aλ+2Bk0λ2,a2=Bλ2

得y=a0+a1x+a2x2

因此,只要由表1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出該二次多項(xiàng)式的系數(shù)a0

、a1

、a2,代入(2)

式即可計(jì)算出透鏡表面幾何參量A、B及k0MATLAB有多項(xiàng)式擬合函數(shù)a=polyfit(x,y,n),a是求出的多項(xiàng)式系數(shù)向量因此,我們只需在MATLAB命令窗口輸入下面三條語(yǔ)句:x=〔30,29,28,27,26,10,9,8,7,6〕y=〔164.746,159.238,153.733,148.230,142.730,55.114,49.662,44.213,38.766,33.322〕a=polyfit(x,y,2)便可得結(jié)果:a=〔010014,514256,017181〕即a0=0