第十二章玻爾茲曼氣體

第十二章玻爾茲曼氣體第一頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.4)而內(nèi)能(及其他廣延量):(12.5)各自由度單粒子配分函數(shù):(12.6)而單粒子(分子)處于狀態(tài)下的能量:及簡(jiǎn)并度:(12.7)單粒子各自由度平均能量:(12.8)第二頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.9)當(dāng)分子某自由度的能量間隔滿足:(12.10)空間及其分子配分函數(shù)則該自由度的能量可近似為連續(xù)變化,此時(shí),配分函數(shù)的求和可用空間中的積分代替(經(jīng)典方法).空間---由單粒子(分子)的f(自由度)個(gè)廣義坐標(biāo)和f個(gè)廣義動(dòng)量構(gòu)成的2f維空間.空間中,分子能量落在之間狀態(tài)數(shù)為:第三頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.11)相應(yīng)于能量連續(xù)變化自由度的配分函數(shù):(12.12)注意:上述式子需滿足(12.9)下才可使用,通常平動(dòng)部分是滿足的,而轉(zhuǎn)動(dòng)部分若轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大,室溫下也可滿足,振動(dòng)部分卻通常是不滿足的(除非極低溫度).轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)自由度量子能級(jí)及簡(jiǎn)并度分別為:(12.13)第四頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.14)例1:在空間中求分子平動(dòng)配分函數(shù).(12.15)解:(12.16)由:得:(12.17)第五頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日例2:在空間中求剛性轉(zhuǎn)子的配分函數(shù).解:如圖,剛性轉(zhuǎn)子自由度(12.18)能量:(12.19)第六頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.20)單原子分子僅有平動(dòng),則:(12.21)單原子理想氣體的熱力學(xué)量得:(12.22)(12.23)利用以上三個(gè)基本熱力學(xué)量可求得任何其他熱力學(xué)量(但也可先求出自由能再求其他全部熱力學(xué)量)(12.24)若為1mol氣體:(12.25)(12.26)與實(shí)驗(yàn)符合很好第七頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.27)轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)的配分函數(shù)和熱容量(12.28)(12.29)其中:雙原子分子氣體的熱容量轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度若:能量近似連續(xù)變化,此時(shí):與前述經(jīng)典方法處理的剛性轉(zhuǎn)子結(jié)果一致.第八頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.30)(12.31)(12.32)摩爾轉(zhuǎn)動(dòng)熱容量:若:求和近似取前兩項(xiàng):則:(12.33)(12.34)(12.35)在中間溫度,無(wú)法解析求解,需借助數(shù)值計(jì)算.第九頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.36)得:(12.37)(12.38)(12.39)對(duì)于振動(dòng)自由度,可以采用簡(jiǎn)單的愛(ài)恩斯坦模型,此時(shí)在整個(gè)溫度區(qū)域都可解析求解:高溫:低溫:(12.40)(12.41)(12.42)第十頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.43)和的討論(12.44)共同點(diǎn):遠(yuǎn)高溫下:此時(shí),自由度充分激發(fā)(沒(méi)有分子處在基態(tài)),與經(jīng)典能量均分定理符合.極低溫下:此時(shí),所有分子被”凍結(jié)”在基態(tài).不同點(diǎn):對(duì)同種氣體,轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度比振動(dòng)特征溫度要低得多,在室溫下,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度便可采用經(jīng)典方法處理.第十一頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.45)(12.46)(12.47)根據(jù)M-B分布:由玻爾茲曼分布求速度和空間分布在空間中附近小體積元中的分子數(shù):或分子落在該體積元的概率:單分子配分函數(shù):(12.48)第十二頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.49)(12.50)(12.51)設(shè)理想氣體為單原子分子組成:(12.52)麥克斯韋速度分布僅關(guān)心速度分布,對(duì)上述空間部分積分得:第十三頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.53)(12.54)把動(dòng)量轉(zhuǎn)換為速度得:(12.55)上式即為麥克斯韋速度分布.換到球坐標(biāo),得麥克斯韋速率分布:重力場(chǎng)中分子隨高度的分布將(12.51)對(duì)動(dòng)量部分積分得:或:(12.56)第十四頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.57)(12.58)若僅考慮隨高度分布,并考慮到:(12.59)則:設(shè)想把氣體裝在截面積為的無(wú)限高容器中,則分子數(shù)密度:(12.60)或:其中:處密度(12.61)利用理想氣體狀態(tài)方程:得:壓強(qiáng)隨高度分布(12.62)第十五頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.63)(12.64)能量均分定理:在給定溫度下,處于平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)中,粒子能量的表達(dá)式中每一個(gè)獨(dú)立平方項(xiàng)的平均值等于.能量均分定理數(shù)學(xué)上,若:(12.65)或:其中不包含,且與無(wú)關(guān),則:如何從統(tǒng)計(jì)物理方法對(duì)能量均分定理給出理解(證明)?第十六頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(12.66)(12.67)證明如下:(12.68)得: