第十三講非平穩(wěn)時(shí)間序列

第十三講非平穩(wěn)時(shí)間序列演示文稿當(dāng)前1頁，總共55頁。（優(yōu)選）第十三講非平穩(wěn)時(shí)間序列當(dāng)前2頁，總共55頁。非平穩(wěn)時(shí)間序列非平穩(wěn)時(shí)間序列：常規(guī)假設(shè)檢驗(yàn)、置信區(qū)間、預(yù)測均失效。非平穩(wěn)時(shí)間序列的兩個(gè)例子：1.趨勢2.突變當(dāng)前3頁，總共55頁。一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動(dòng)的過程；而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。

當(dāng)前4頁，總共55頁。當(dāng)前5頁，總共55頁。什么是趨勢趨勢(trend)是指變量隨時(shí)間持續(xù)長期的運(yùn)動(dòng)。

時(shí)間趨勢中有確定性和隨機(jī)性兩種類型的趨勢。其中確定性趨勢是時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)。例如，確定性趨勢為時(shí)間的線性函數(shù)，若通貨膨脹中有每季度上升0.1個(gè)百分點(diǎn)的確定性時(shí)間趨勢，則該趨勢可表為0.1t，其中t表示季度。當(dāng)前6頁，總共55頁。

隨機(jī)性趨勢是隨機(jī)的且隨時(shí)間變化的趨勢。例如通貨膨脹中的隨機(jī)性趨勢顯示出較長時(shí)間的下降之后伴隨著較長時(shí)間的上升。建立含隨機(jī)性趨勢的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列模型要比建立含確定性趨勢的時(shí)間序列模型更為恰當(dāng)。因?yàn)榻?jīng)濟(jì)是一個(gè)很復(fù)雜的東西，很難調(diào)和確定性趨勢暗含的可預(yù)測性和面臨的復(fù)雜因素和意外。但這些變動(dòng)同樣也是復(fù)雜經(jīng)濟(jì)力量的結(jié)果，由于這些力量的變化不可預(yù)測，因此通常認(rèn)為這些趨勢中存在著較大的不可測或隨機(jī)成分。當(dāng)前7頁，總共55頁。我們提到時(shí)間序列數(shù)據(jù)中的“趨勢”時(shí)，除非特別指出，一般我們指隨機(jī)性趨勢。當(dāng)前8頁，總共55頁。趨勢的隨機(jī)游走模型AR(1)為平穩(wěn)時(shí)間序列的條件是：|β1|<1當(dāng)前9頁，總共55頁。其中ut是一個(gè)簡單的隨機(jī)時(shí)間序列：具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列：t~i.i.dut被稱為是一個(gè)白噪聲（whitenoise）。由于ut具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零，白噪聲序列ut是平穩(wěn)的。當(dāng)前10頁，總共55頁。隨機(jī)游走的基本思想是序列明天的取值就是它今天的取值再加上一個(gè)不可測變化，因?yàn)閅t前進(jìn)的路徑是由隨機(jī)項(xiàng)ut組成的，所以這一路徑為一個(gè)“隨機(jī)游走”。隨機(jī)游走表明：明天的取值的最佳預(yù)測為今天的取值。當(dāng)前11頁，總共55頁。帶漂移的隨機(jī)游走隨機(jī)游走是非平穩(wěn)的當(dāng)前12頁，總共55頁。證明一：證明二：假設(shè)Y0=0Y1=Y0+u1=u1Y2=Y1+u2=u1+u2Yt=u1+u2+…+ut當(dāng)前13頁，總共55頁。隨機(jī)游走的例子：userandom,cleartssettregr1L.r1liner1t當(dāng)前14頁，總共55頁。一般來說，對Y取一階差分（firstdifference）:

Yt=Yt-Yt-1=t由于t是一個(gè)白噪聲，則差分后序列是平穩(wěn)的。

后面將會看到:如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常常可通過取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。

事實(shí)上，隨機(jī)游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例

Yt=?Yt-1+t

當(dāng)前15頁，總共55頁。不難驗(yàn)證:1。|?|<1，平穩(wěn)。2。|?|=1，是一個(gè)隨機(jī)游走過程，不平穩(wěn)。3。|?|>1，不平穩(wěn)。該隨機(jī)過程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(>1)或持續(xù)下降(<-1)，因此是非平穩(wěn)的；當(dāng)前16頁，總共55頁。隨機(jī)性趨勢、自回歸模型和單位根對于AR(1)來說，時(shí)間序列平穩(wěn)的條件是|β1|<1。對于AR(p)來說，需要引入滯后算子：定義一階滯后算子L為：

Lxt=xt-1

k階滯后算子定義為

Lkxt=xt-k

當(dāng)前17頁，總共55頁。由于常數(shù)項(xiàng)與是否平穩(wěn)無關(guān)，因此，原方程可以寫為：當(dāng)前18頁，總共55頁。將滯后算子帶入到方程，得：當(dāng)前19頁，總共55頁。定義特征多項(xiàng)式為Φ(L)：AR(p)為平穩(wěn)序列的條件是：的所有根的絕對值都大于1。當(dāng)前20頁，總共55頁。例如：當(dāng)前21頁，總共55頁。當(dāng)前22頁，總共55頁。隨機(jī)性趨勢帶來的問題若回歸變量中包含隨機(jī)性趨勢(有單位根)，則其系數(shù)的OLS估計(jì)量及其OLSt統(tǒng)計(jì)量即使在大樣本下也不服從標(biāo)準(zhǔn)(即非正態(tài))分布。(1)當(dāng)AR(1)中的自回歸系數(shù)真值為1時(shí)其估計(jì)量偏向于0；(2)包含隨機(jī)性趨勢的回歸變量系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量即使在大樣本下也服從非正態(tài)分布；(3)隨機(jī)性趨勢帶來的風(fēng)險(xiǎn)的極端例子是包含有隨機(jī)性趨勢的兩個(gè)獨(dú)立序列會以較高的概率錯(cuò)誤地呈現(xiàn)出相關(guān)關(guān)系，即所謂的偽回歸。當(dāng)前23頁，總共55頁。問題1：偏向于零的自回歸系數(shù)自回歸系數(shù)向左偏向于0。假設(shè)對于AR(1)：

其真實(shí)值為β1=1。然而，OLS估計(jì)出的β1

卻不是漸近正態(tài)分布，甚至不是對稱分布，即使是在大樣本下，而是向左偏向于0。這是因?yàn)椋捎趝Yt}不是平穩(wěn)序列，中心極限定理不再適用。當(dāng)前24頁，總共55頁。當(dāng)前25頁，總共55頁。問題2：t統(tǒng)計(jì)量的非正態(tài)分布若回歸變量中包含隨機(jī)性趨勢，則常用的OLSt統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)成立時(shí)即使在大樣本下也服從非正態(tài)分布。這意味著常用的置信區(qū)間是不正確的，也不能像往常一樣進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。由于這個(gè)t統(tǒng)計(jì)量的分布依賴于有問題的回歸變量和其他回歸變量之間的關(guān)系，因此一般無法列表給出其分布。當(dāng)前26頁，總共55頁。問題3：偽回歸隨機(jī)性趨勢會使兩個(gè)沒有相關(guān)關(guān)系的時(shí)間序列呈現(xiàn)出相關(guān)性，這個(gè)問題稱為偽回歸。當(dāng)前27頁，總共55頁。1965---19811982---2004當(dāng)前28頁，總共55頁。這個(gè)矛盾結(jié)論的來源是兩個(gè)序列都含有隨機(jī)性趨勢。這兩個(gè)趨勢碰巧在1965-1981年間保持一致，但在1982-2009年期間卻沒有。事實(shí)上，也不存在令人信服的經(jīng)濟(jì)或政治理由相信這兩個(gè)序列中的趨勢是相關(guān)的。簡言之，這些回歸是虛假的。一種確保某些基于回歸的方法可靠的特例是兩個(gè)序列的趨勢成分相同，即序列中包含了共同的隨機(jī)性趨勢。如果是這樣的話，序列稱為是協(xié)整的。當(dāng)前29頁，總共55頁。隨機(jī)性趨勢探測：單位AR根的檢驗(yàn)當(dāng)前30頁，總共55頁。因此，針對式Y(jié)t=β0+Yt-1+t

我們關(guān)心的檢驗(yàn)為：零假設(shè)H0：=0。

備擇假設(shè)H1：<0

上述檢驗(yàn)可通過OLS法下的t檢驗(yàn)完成。然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗(yàn)無法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量），即DF分布（見下表）。由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。當(dāng)前31頁，總共55頁。

因此，可通過OLS法估計(jì)

Yt=β0+Yt-1+t并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：如果：t<臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：

=0，認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。當(dāng)前32頁，總共55頁。

2、ADF檢驗(yàn)進(jìn)一步的問題：在上述對時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，實(shí)際上假定了時(shí)間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過程AR(1)生成的。

但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，如AR(3)，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無效。

另外，如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問題。因此，Dicky和Fuller對DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗(yàn)。當(dāng)前33頁，總共55頁。ADF檢驗(yàn)是通過下面三個(gè)模型完成的：當(dāng)前34頁，總共55頁。模型3

中的t是時(shí)間變量，代表了時(shí)間序列隨時(shí)間變化的某種趨勢（如果有的話）。檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對H1:<0,檢驗(yàn)H0：=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨勢項(xiàng)。檢驗(yàn)原理與DF檢驗(yàn)相同，只是對模型1、2、3進(jìn)行必須均進(jìn)行檢驗(yàn)，同時(shí)，三個(gè)模型有各自相應(yīng)的臨界值。表中給出了三個(gè)模型所使用的ADF分布臨界值表。當(dāng)前35頁，總共55頁。ADF統(tǒng)計(jì)量的臨界值A(chǔ)DF統(tǒng)計(jì)量在單位根原假設(shè)下即使在大樣本下也不服從正態(tài)分布。由于其分布非標(biāo)準(zhǔn)，因此當(dāng)使用ADF統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)單位根時(shí)不能采用正態(tài)分布臨界值；而必須采用原假設(shè)成立時(shí)ADF統(tǒng)計(jì)量分布的一系列特定臨界值。當(dāng)前36頁，總共55頁。同時(shí)估計(jì)出上述三個(gè)模型的適當(dāng)形式，然后通過ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；2）當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí)，則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。當(dāng)前37頁，總共55頁。關(guān)于常數(shù)項(xiàng)與時(shí)間趨勢項(xiàng)是否應(yīng)該帶常數(shù)項(xiàng)或時(shí)間趨勢項(xiàng)，主要應(yīng)從理論上考慮。比如，考察GDP之對數(shù)是否有單位根，肯定要包含時(shí)間趨勢項(xiàng)；而利率、匯率等則不應(yīng)有時(shí)間趨勢項(xiàng)。也可以通過畫變量的時(shí)間序列圖來大致判斷有無長期增長趨勢。為了穩(wěn)健起見，可以把各種情況都進(jìn)行檢驗(yàn)，將結(jié)果以(c,t,P)格式列表，其中“c=1”表示帶常數(shù)項(xiàng)，“c=0”表示不帶常數(shù)項(xiàng)；“t=1”表示帶趨勢項(xiàng)，“t=0”表示不帶趨勢項(xiàng);而P表示滯后期數(shù)。當(dāng)前38頁，總共55頁。單位根檢驗(yàn)的stata命令：dfullerdfullery（不包含滯后差分項(xiàng)）dfullery,lags(p)（包含P階滯后差分項(xiàng)）fullery,noconstant(不帶常數(shù)項(xiàng))dfullery,trend(帶時(shí)間趨勢項(xiàng))當(dāng)前39頁，總共55頁。usemacro_2e,cleardfullerinfdfullerinf,lags(4)dfullerinf,lags(4)noconstantdfullerinf,lags(4)trend單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值p值(1,0,0)-4.0520.0012(1,0,4)-2.5290.1086(0,0,4)-1.440(1,1,4)-2.5410.3076當(dāng)前40頁，總共55頁。uselutkepohl,cleardfullerincome,lag(2)trenddfullerlincome,lag(2)trenddfullerdincome,lag(2)trend當(dāng)前41頁，總共55頁。避免由隨機(jī)性趨勢帶來的問題當(dāng)前42頁，總共55頁。結(jié)構(gòu)突變突變來自總體回歸系數(shù)在某一特定日期上的離散變化或來自系數(shù)在較長時(shí)期內(nèi)的漸變。例如：考察1978-2006年中國居民人均消費(fèi)與人均國內(nèi)總產(chǎn)值數(shù)據(jù)（當(dāng)年價(jià)格）。是否在1992年鄧小平“南巡”以后（含1992年）發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。當(dāng)前43頁，總共55頁。當(dāng)前44頁，總共55頁。另一個(gè)例子1972年固定匯率的布雷頓森林體系解休使美元對英鎊的匯率的時(shí)間序列行為產(chǎn)生了突變。當(dāng)前45頁，總共55頁。突變的檢驗(yàn)突變時(shí)間已知時(shí)的突變檢驗(yàn)方法：增加虛擬變量。建立如下方程：當(dāng)前46頁，總共55頁。原假設(shè)：沒有突變備則假設(shè)：指定點(diǎn)有突變上述系數(shù)至少有一個(gè)為0。當(dāng)前47頁，總共55頁。Chow檢驗(yàn)考察1978-2006年中國居民人均消費(fèi)與人均國內(nèi)總產(chǎn)值數(shù)據(jù)（當(dāng)年價(jià)格）。估計(jì)中國收入對消費(fèi)的影響，并檢驗(yàn)中國的消費(fèi)函數(shù)是否在1992年鄧小平“南巡”以后（含1992年）發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。useconsumption_china,clear建立ADL(1,1)模型regcL.cL.y

當(dāng)前48頁，總共55頁。gend=(year>1991)（生成虛擬變量）

gend1=L.y*d（生成虛擬變量與GDP滯后的交乘項(xiàng)）

gend2=L.c*d（生成虛擬變量與消費(fèi)滯后的交乘項(xiàng)）

regcL.cL.ydd1d2testdd1d2當(dāng)前49頁，總共55頁。突變時(shí)間未知時(shí)的突變檢驗(yàn)算法：1.假定懷疑在兩個(gè)日期τ0和τ1間發(fā)生結(jié)構(gòu)突變。此時(shí)可修改chow檢驗(yàn)。要使QLR統(tǒng)計(jì)量分布的大樣本近似較好。子樣本端點(diǎn)τ0和τ1不能太靠近樣本起點(diǎn)或終點(diǎn)。為此，實(shí)際