第三章晶體對(duì)稱

第三章晶體對(duì)稱第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日對(duì)稱性

對(duì)稱是一個(gè)很常見的現(xiàn)象。在自然界我們可觀察到五瓣對(duì)稱的梅花、桃花，六瓣的水仙花、雪花、松樹葉沿枝干兩側(cè)對(duì)稱，槐樹葉、榕樹葉又是另一種對(duì)稱……在人工建筑中，北京的古皇城是中軸線對(duì)稱，在化學(xué)中，我們研究的分子、晶體等也有各種對(duì)稱性，有時(shí)會(huì)感覺這個(gè)分子對(duì)稱性比那個(gè)分子高，如何表達(dá)、衡量各種對(duì)稱？數(shù)學(xué)中定義了對(duì)稱元素來描述這些對(duì)稱。第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日一、對(duì)稱的概念

對(duì)稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)。如圖I一4—3是由兩個(gè)全等的三角形組成，但它并不是對(duì)稱圖形。因此，對(duì)稱的圖形還必須符合另一個(gè)條件，那就是這些相同的部分，通過一定的操作(如旋轉(zhuǎn)、反映、反伸)可以發(fā)生重復(fù)，如圖I一4—1蝴碟的兩個(gè)相同的部分可以通過垂直平分它的鏡面的反映，彼此重合；圖I一4—2的花冠通過圍繞一報(bào)垂直它井通過它中心的直線旋轉(zhuǎn)，可以多次重復(fù)其原來的形象。第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、晶體對(duì)稱的特點(diǎn)1.所有晶體均有對(duì)稱性因?yàn)榫w具有格子構(gòu)造，格子構(gòu)造本身就是質(zhì)點(diǎn)在三維空間周期性重復(fù)出現(xiàn)。2.晶體對(duì)稱受空間格子構(gòu)造規(guī)律的限制3.晶體對(duì)稱不僅外形上對(duì)稱，其物理、化學(xué)性質(zhì)也體現(xiàn)在對(duì)稱上第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日三、對(duì)稱操作和對(duì)稱要素欲使對(duì)稱圖形中相同部分重復(fù)，必須通過一定的操作，這種操作就稱之為對(duì)稱操作。在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)所憑借的輔助幾何要素(點(diǎn)、線、面)稱為對(duì)稱要素。晶體外形可能存在的對(duì)稱要素和相應(yīng)的對(duì)稱操作如下：第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日1．對(duì)稱面(P)對(duì)稱面是一個(gè)假想的平面；相應(yīng)的對(duì)稱操作為對(duì)于比平面的反映。它將圖形平分為互為鏡像的兩個(gè)相等部分。對(duì)稱面以P表示，在晶體中可以無或有一個(gè)或幾個(gè)對(duì)稱面（最多有9個(gè)，立方體中）。第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日晶體中對(duì)稱面與晶面、晶棱可能有如下關(guān)系：1)垂直并平分晶面；

2)垂直晶棱并通過它的中心，

3)包含晶棱。第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日2．對(duì)稱軸對(duì)稱軸是一條假想的直線；相應(yīng)的對(duì)稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)。當(dāng)圖形圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，可使相等部分重復(fù)。旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)稱為軸次(n）。重復(fù)時(shí)所旋轉(zhuǎn)的最小角度稱基轉(zhuǎn)角a，兩者之間的關(guān)系為n＝360／a。對(duì)稱軸以L表示，軸次n寫在它的右上角，寫作Ln。第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日晶體外形上可能出現(xiàn)的對(duì)稱軸如圖

I－4－I所列。第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日

一次對(duì)稱軸L1無實(shí)際意義，因?yàn)榫w圍繞任一直線旋轉(zhuǎn)360度。軸可以恢復(fù)原狀。軸次高于2的對(duì)稱軸，稱高次軸。圖I一4—6舉例繪出了晶體中對(duì)稱軸L2L3L4和L6。第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日

晶體中不可能出現(xiàn)五次或高于六次的對(duì)稱軸。這是由于它們不符合空間格子的規(guī)律。在空間格子中，垂直對(duì)稱軸一定有面網(wǎng)存在，圍繞該對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)所形成的多邊形應(yīng)法符合于該面網(wǎng)上結(jié)點(diǎn)所圍成的網(wǎng)孔。第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日?qǐng)D1－13垂直對(duì)稱軸的面網(wǎng)的網(wǎng)孔

abcdf分別表示L2L3L4L6的面網(wǎng)的網(wǎng)孔，符合格子構(gòu)造，egh分別表示的面網(wǎng)的網(wǎng)孔，不符合格子構(gòu)造第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日從書中圖1-13可以看出，圍繞L2、L3、L4、L6所形成的多邊形，都能毫無間隙地布滿平面，都可能符合空間格子的網(wǎng)孔。但垂直L5、L7和L8所形成的正五邊形、正七邊形和正八邊形卻不能毫無間隙地布滿平面，不符合空間格子的網(wǎng)孔，所以在晶體中不可能存在五次及高于六次的對(duì)稱軸，這一規(guī)律，稱為晶體的對(duì)稱定律。第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日

在一個(gè)晶體中，可以無也可以有一種或幾種對(duì)稱軸，而每一種對(duì)稱軸也可以有一個(gè)或多個(gè)。如立方體有3L44L36L2(圖I一4—8)。在晶體中，對(duì)稱軸可能出露的位置為晶面的中心、晶棱的中點(diǎn)或角項(xiàng)〔圖I－4－8a)。第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日3．對(duì)稱中心(C)對(duì)稱中心是一個(gè)假想的點(diǎn)；相應(yīng)的對(duì)稱操作是對(duì)此點(diǎn)的反伸(或稱倒反)。如果通過此點(diǎn)作任意直線，則在此直線上距對(duì)稱中心等距離的兩端，必定可以找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

對(duì)稱中心以字母C來表示。第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日一個(gè)具有對(duì)稱中心的圖形，其相對(duì)應(yīng)的面、棱、角部體現(xiàn)為反向平行。如圖I－4－10a，C為對(duì)稱中心，ABD與A1B1D1為反向平行，圖I－4－10b因ABA’B’與A1B1A1'B1'各自尚存在對(duì)中心，所以兩者既為反向平行，也為正向平行。第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日反伸操作”可與“反映操作”做對(duì)比，兩者不同之點(diǎn)僅在于反伸憑借一個(gè)點(diǎn)，反映憑借一個(gè)面。第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日分子對(duì)稱性的對(duì)稱元素與對(duì)稱操作對(duì)稱元素對(duì)稱操作名稱符號(hào)對(duì)稱面L從平面的一側(cè)反映到另一側(cè)對(duì)稱心C所有原子以對(duì)稱心互相反演倒轉(zhuǎn)軸Lin繞軸一次或多次轉(zhuǎn)動(dòng)，并對(duì)直線上一點(diǎn)反伸映轉(zhuǎn)軸Lsn繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)后，對(duì)垂直于軸的平面反映第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日四、對(duì)稱型及其晶體分類第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日1.對(duì)稱型概念晶體中全部對(duì)稱要素的組合稱晶體的對(duì)稱型，也稱點(diǎn)群。對(duì)稱型寫法：①先對(duì)稱軸L（按高到低順序）②其后為對(duì)稱面P③最后寫對(duì)稱中心C比如：立方體的對(duì)稱型為3L44L36L29PC第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.32種對(duì)稱型A類：27種，高次軸不多于1個(gè)的對(duì)稱型。B類：5種，高次軸多于一個(gè)的對(duì)稱型。第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.晶體的分類三斜晶系（L1

、C）低級(jí)晶族單斜晶系（有一個(gè)L2

或P）（不含高次軸）斜方晶系（L2或P多于一個(gè)）三方晶系（有一個(gè)L3）三大晶族中級(jí)晶族四方晶系（有一個(gè)L4或L4i）（有一個(gè)高次軸）六方晶系（有一個(gè)L6或L6i）

高級(jí)晶族等軸晶系（有4個(gè)L3）（有多個(gè)高次軸）第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日根據(jù)晶體對(duì)稱的特點(diǎn)可以對(duì)晶體進(jìn)行合理的科學(xué)分類。

晶體分類體系：三大晶族、七大晶系、三十二晶類

首先，把屬于同一對(duì)稱型的晶體歸為一類，稱為晶類。晶體中存在32對(duì)稱型，亦即有32晶類。

根據(jù)是否有高次軸以及有一個(gè)或多個(gè)高次軸，把32個(gè)對(duì)稱型歸納為低、中、高級(jí)三個(gè)晶族。

在各晶族中，再根據(jù)對(duì)稱特點(diǎn)劃分晶系，晶系共有七個(gè)。它們是屬于低級(jí)晶族的三斜晶系(無對(duì)稱軸和對(duì)稱面)、單斜晶系(二次軸和對(duì)稱面各不多于一個(gè))和斜方晶系(二次軸或?qū)ΨQ面多于一個(gè))；屬于中級(jí)晶族的四方晶系(有一個(gè)四次軸)、三方晶系(有一個(gè)三次軸)和六方晶系(有一個(gè)六次軸)；屬于高級(jí)晶族的等軸晶系(有四個(gè)三次軸)。第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日低級(jí)晶族（無高次軸）三斜晶系（無L2，無P）單面晶類平行雙面晶類單斜晶系（L2或P不多于1個(gè)）軸雙面晶類反映雙面晶類斜方柱晶類斜方晶系（L2或P多于1個(gè))斜方四面體晶類斜方單錐晶類斜方雙錐晶類第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日中級(jí)晶族（只有一個(gè)高次軸）三方晶系（有一個(gè)L3

）三方單錐晶類三方偏方面體晶類復(fù)三方單錐晶類菱面體晶類復(fù)三方偏三角面體晶類第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日四方晶系（有一個(gè)L4或L4i）四方單錐晶類四方偏方面體晶類四方雙錐晶類復(fù)四方單錐晶類復(fù)四方雙錐晶類四方四面體晶類復(fù)四方偏三角面體晶類第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日六方晶系（有一個(gè)L6或L6i）三方雙錐晶類復(fù)三方雙錐晶類六方單錐晶類六方偏方面體晶類六方雙錐晶類復(fù)六方單錐晶類復(fù)六方雙錐晶類第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日高級(jí)晶族（有數(shù)個(gè)高次軸）

等軸晶系（有四個(gè)L3）五角三四面體晶類偏方復(fù)十三面體晶類六四面體晶類五角三八面體晶類六八面體晶類第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)（1）對(duì)稱型中對(duì)稱要素的國(guó)際符號(hào)對(duì)稱型國(guó)際符號(hào)所采用的對(duì)稱要素為對(duì)稱面、對(duì)稱軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸，對(duì)應(yīng)符號(hào)分別為：對(duì)稱面：m；一次、二次、三次、四次和六次旋轉(zhuǎn)軸分別為：1、2、3、4、6；一次、二次、三次、四次和六次旋轉(zhuǎn)反伸軸分別為：、、、、。由于L1i=C，L2i=P，在國(guó)際符號(hào)中用表示對(duì)稱中心C，用m表示L2i。旋轉(zhuǎn)反伸軸國(guó)際符號(hào)的讀法為，先讀旋轉(zhuǎn)軸次，再讀“一橫”。例如讀為“四，一橫”。第四十頁，共四十四頁，2022年，8月28日（2）對(duì)稱型國(guó)際符號(hào)的表示方法對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)不超過三位，書寫順序有嚴(yán)格規(guī)定，隨晶系的不同而不同，具體順序見表1-3。國(guó)際符號(hào)的書寫方法就是按表中要求的順序?qū)懗龈鞣较蛩膶?duì)稱要素符號(hào)。對(duì)稱面的方向是其法線的方向。當(dāng)軸向與對(duì)稱面法線處同一方向時(shí)用分式表示，軸次作分子，對(duì)稱面作分母，例如四次軸和對(duì)稱面法線方向一致，此方向的國(guó)際符號(hào)寫成4/m。第四十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日對(duì)稱型國(guó)際符號(hào)中三個(gè)位的取向晶系第Ⅰ方向第Ⅱ