如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)講座

如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)

開學(xué)初，為我校即將升入高中一年級的學(xué)生做了一次專題講座，主要內(nèi)容是如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)?，F(xiàn)將講座

提綱整理如下，供讀者們探討。

我的講座分三個(gè)部分，一是為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用；二是高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)在教法和學(xué)

法等方面有什么區(qū)別和聯(lián)系；三是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系和要達(dá)到的目標(biāo)。

一、我們從呀呀學(xué)語時(shí)就開始接觸數(shù)學(xué)，進(jìn)入小學(xué)至今已經(jīng)系統(tǒng)地上了9年的數(shù)學(xué)課，那么請大家回顧總

結(jié)，回答以下問題：

1、你為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)課上你都學(xué)到了什么？

2、學(xué)習(xí)了9年數(shù)學(xué)，你用數(shù)學(xué)做了什么？

3、你希望高中數(shù)學(xué)課能夠?qū)W到什么？

這一些問題或許很少有人認(rèn)真思考過，因?yàn)檫@些問題與考試無關(guān)，考試也不考，教材上也沒有。假設(shè)真的

拿到數(shù)學(xué)課堂上去講這些東西，或許家長就會(huì)有意見。而我覺得，學(xué)生沒有弄清楚學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對人的終身發(fā)

展的必要性和數(shù)學(xué)的社會(huì)價(jià)值之前去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有盲目性和強(qiáng)制性。一位中考成績非常優(yōu)秀的學(xué)生坦率的

發(fā)言具有很廣泛的代表性，他說：“為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？是老師讓學(xué)的，考試要考數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)不及格回家會(huì)

挨揍的?！碑?dāng)被問及用數(shù)學(xué)做了什么時(shí)，他說用數(shù)學(xué)可以解決實(shí)際問題，當(dāng)被問到解決什么問題時(shí)，好多同

學(xué)都無言以對。可以看出這位同學(xué)是在被動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，沒有主動(dòng)去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意愿。成績好的同學(xué)是這

樣的想法，成績差的同學(xué)也就可想而知了。至于第三個(gè)問題，學(xué)生根本就沒有什么想法，都說老師教什么

我就學(xué)什么吧。

針對學(xué)生在認(rèn)識(shí)上的缺陷，總結(jié)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幾方面的必要性，目的是喚起學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣。

1、數(shù)學(xué)是一門高度抽象概括的基礎(chǔ)學(xué)科，是深入學(xué)習(xí)其它學(xué)科的基礎(chǔ)。例如：①數(shù)學(xué)在天文學(xué)上的應(yīng)用，

計(jì)算星系的運(yùn)動(dòng)軌道；我國發(fā)射神州六號(hào)時(shí)，計(jì)算最佳發(fā)射時(shí)間和返回時(shí)間就用到了橢圓的有關(guān)知識(shí)；②

數(shù)學(xué)可以把毫不相干的問題統(tǒng)一到數(shù)學(xué)上來加以解決，比如可以用14C測試考古年代，原理就是只要測出

含碳物質(zhì)中14C減少的程度，就可以按照基本的衰變公式推算出考古事件或地質(zhì)事件的年代。核能是現(xiàn)代

社會(huì)最環(huán)保的能源之一，而核裂變所產(chǎn)生的能量也是用類似的方法計(jì)算出來的。

2、數(shù)學(xué)在統(tǒng)計(jì)、人力資源分配、繪畫藝術(shù)等方面都有著非常廣泛的應(yīng)用；你是一位老總，計(jì)劃將50萬元

的資金投入到兩個(gè)項(xiàng)目上，已知項(xiàng)目甲預(yù)期年收益20％，而預(yù)期虧損10％，項(xiàng)目乙預(yù)期年收益30％，而

預(yù)期虧損20％，那么這位老總需要怎樣分配這50萬元年才可能獲取最大的年收益？

3、數(shù)學(xué)是思維的游戲。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維。看下面的問題：5個(gè)海盜搶到了100顆寶石，

每一顆都一樣的大小和價(jià)值連城。他們決定這么分：首先抽簽決定自己的號(hào)碼（1，2，3，4，5），然后

由1號(hào)提出分配方案，大家5人進(jìn)行表決，當(dāng)且僅當(dāng)超過半數(shù)的人同意時(shí)，按照他的提案進(jìn)行分配，否則

將被扔入大海喂鯊魚。如果1號(hào)死后，再由2號(hào)提出分配方案，然后大家4人進(jìn)行表決，當(dāng)且僅當(dāng)超過半

數(shù)的人同意時(shí)，按照他的提案進(jìn)行分配，否則將被扔入大海喂鯊魚。以次類推……。條件是每個(gè)海盜都是

很聰明的人，都能很理智的判斷得失，從而做出選擇。問題：第一個(gè)海盜提出怎樣的分配方案才能夠使自

己的收益最大化？這是一道非常嚴(yán)密的邏輯推理問題，每一步都需要嚴(yán)密判斷敵我關(guān)系。

二、高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系

初中數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，沒有初中數(shù)學(xué)證明題做基礎(chǔ)就不會(huì)有高中對數(shù)學(xué)問題的嚴(yán)密分析。初中數(shù)學(xué)

注重形象化的模仿和演練，高中數(shù)學(xué)注重字母語言的應(yīng)用，因而高中數(shù)學(xué)更加具有抽象性和概括性。初中

數(shù)學(xué)會(huì)對同一問題進(jìn)行反復(fù)練習(xí)，老師也會(huì)對學(xué)生難以解決的問題反復(fù)講解知道完全掌握為止。而高中注

重知識(shí)點(diǎn)的掌握和知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成，注重學(xué)習(xí)方法的掌握，注重培養(yǎng)學(xué)習(xí)和解決問題的能力。高中數(shù)學(xué)注

重?cái)?shù)和形的結(jié)合，經(jīng)常用數(shù)的精密計(jì)算反映形的性質(zhì)，也經(jīng)常通過對形的粗略估計(jì)，找到計(jì)算的最佳方法。

針對初高中的變化，就要及時(shí)調(diào)整學(xué)習(xí)策略和方法。

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法講座

“數(shù)學(xué)是一切科學(xué)之母”、“數(shù)學(xué)是思維的體操”，它是一門研究數(shù)與形的科學(xué)，它不處不

在。要掌握技術(shù)，先要學(xué)好數(shù)學(xué)，想攀登科學(xué)的高峰，更要學(xué)好數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)，與其他學(xué)科比

起來，有哪些特點(diǎn)？它有什么相應(yīng)的思想方法？它要求我們具備什么樣的主觀條件和學(xué)習(xí)方

法？本講將就數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法作簡要的闡述。一、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)數(shù)學(xué)的三大特點(diǎn)：嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、廣泛的應(yīng)用性所謂數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，指數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的邏輯性和較高的精通性，一般以公理化體系來體

現(xiàn)。什么是公理化體系呢？指得是選用少數(shù)幾個(gè)不加定義的概念和不加邏輯證明的命題為

基礎(chǔ)，推出一些定理，使之成為數(shù)學(xué)體系，在這方面，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得是個(gè)典范，他

所著的《幾何原本》就是在幾個(gè)公理的基礎(chǔ)上研究了平面幾何中的大多數(shù)問題。在這里，哪

怕是最基本的常用的原始概念都不能直觀描述，而要用公理加以確認(rèn)或證明。中學(xué)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)科學(xué)在嚴(yán)謹(jǐn)性上還是有所區(qū)別的，如，中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)集的不斷擴(kuò)充，

針對數(shù)集的運(yùn)算律的擴(kuò)充并沒有進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐谱C，而是用默認(rèn)的方式得到，從這一點(diǎn)看來，

中學(xué)數(shù)學(xué)在嚴(yán)謹(jǐn)性上還是要差很多，但是，要學(xué)好數(shù)學(xué)卻不能放松嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，要保證內(nèi)

容的科學(xué)性。比如，等差數(shù)列的通項(xiàng)是通過前若干項(xiàng)的遞推從而歸納出通項(xiàng)公式，但要予以確認(rèn)，還

需要用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。數(shù)學(xué)的抽象性表現(xiàn)在對空間形式和數(shù)量關(guān)系這一特性的抽象。它在抽象過程中拋開較多

的事物的具體的特性，因而具有十分抽象的形式。它表現(xiàn)為高度的概括性，并將具體過程符

號(hào)化，當(dāng)然，抽象必須要以具體為基礎(chǔ)。至于數(shù)學(xué)的廣泛的應(yīng)用性，更是盡人皆知的。只是在以往的教學(xué)、學(xué)習(xí)中，往往過于注

重定理、概念的抽象意義，有時(shí)卻拋卻了它的廣泛的應(yīng)用性，如果把抽象的概念、定理比作

骨骼，那么數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用就好比血肉，缺少哪一個(gè)都將影響數(shù)學(xué)的完整性。高中數(shù)學(xué)新教

材中大量增加數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用和研究性學(xué)習(xí)的篇幅，就是為了培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際

問題的能力。我們來看看一個(gè)生活中有趣的問題。在任何一次集會(huì)中，握過奇數(shù)次手的人必有偶數(shù)個(gè)，試證明。

如果抓住兩個(gè)關(guān)鍵：一是握手總次數(shù)必為偶數(shù)，二、高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)往往有同學(xué)進(jìn)入高中以后不能適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而影響到學(xué)習(xí)的積極性，甚至成績一落

千丈。為什么會(huì)這樣呢？讓我們先看看高中數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)有些什么樣的轉(zhuǎn)變吧。1、理論加強(qiáng)2、課程增多3、難度增大4、要求提高三、掌握數(shù)學(xué)思想高中數(shù)學(xué)從學(xué)習(xí)方法和思想方法上更接近于高等數(shù)學(xué)。學(xué)好它，需要我們從方法論的高

度來掌握它。我們在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)要經(jīng)常運(yùn)用唯物辯證的思想去解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)思想，

實(shí)質(zhì)上就是唯物辯證法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用的反映。中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要重點(diǎn)掌握的的數(shù)學(xué)思想有以

上幾個(gè)：集合與對應(yīng)思想，初步公理化思想，數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)動(dòng)思想，轉(zhuǎn)化思想，變換思

想。例如，數(shù)列、一次函數(shù)、解析幾何中的直線幾個(gè)概念都可以用函數(shù)（特殊的對應(yīng)）的概

念來統(tǒng)一。又比如，數(shù)、方程、不等式、數(shù)列幾個(gè)概念也都可以統(tǒng)一到函數(shù)概念。再看看下面這個(gè)運(yùn)用“矛盾”的觀點(diǎn)來解題的例子。已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q在圓x2十y2＝1上移動(dòng)，定點(diǎn)P(2,0)，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡。分析此題，圖中P、Q、M三點(diǎn)是互相制約的，而Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)將帶動(dòng)M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)；主要矛

盾是點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡遵循方程x02十y02＝1①；次要矛盾關(guān)系：M是線段P

Q的中點(diǎn)，可以用中點(diǎn)坐標(biāo)公式將M的坐標(biāo)（x,y）用點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示出來。x＝（x0十2)/2②y＝y(tǒng)0/2③顯然，用代入的方法，消去題中的x0、y0就可以求得所求軌跡。數(shù)學(xué)思想方法與解題技巧是不同的，在證明或求解中，運(yùn)用歸納、演繹、換元等方法解

題問題可以說是解題的技術(shù)性問題，而數(shù)學(xué)思想是解題時(shí)帶有指導(dǎo)性的普遍思想方法。在解

一道題時(shí)，從整體考慮，應(yīng)如何著手，有什么途徑？就是在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下的普遍性

問題。有了數(shù)學(xué)思想以后，還要掌握具體的方法，比如：換元、待定系數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法、分析

法、綜合法、反證法等等。只有在解題思想的指導(dǎo)下，靈活地運(yùn)用具體的解題方法才能真正

地學(xué)好數(shù)學(xué)，僅僅掌握具體的操作方法，而沒有從解題思想的角度考慮問題，往往難于使數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入更高的層次，會(huì)為今后進(jìn)入大學(xué)深造帶來很有麻煩。在具體的方法中，常用的有：觀察與實(shí)驗(yàn)，聯(lián)想與類比，比較與分類，分析與綜合，歸

納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽象與概括等。要打贏一場戰(zhàn)役，不可能只是勇猛沖殺、一不怕死二不怕苦就可以打贏的，必須制訂好

事關(guān)全局的戰(zhàn)術(shù)和策略問題。解數(shù)學(xué)題時(shí)，也要注意解題思維策略問題，經(jīng)常要思考：選擇

什么角度來進(jìn)入，應(yīng)遵循什么原則性的東西。一般地，在解題中所采取的總體思路，是帶有

原則性的思想方法，是一種宏觀的指導(dǎo)，一般性的解決方案。中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思維策略有：以簡馭繁、數(shù)形結(jié)合、進(jìn)退互用、化生為熟、正難則反、倒順相還、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、分合相

輔如果有了正確的數(shù)學(xué)思想方法，采取了恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維策略，又有了豐富的經(jīng)驗(yàn)和扎實(shí)

的基本功，一定可以學(xué)好高中數(shù)學(xué)。

四、學(xué)習(xí)方法的改進(jìn)身處應(yīng)試教育的怪圈，每個(gè)教師和學(xué)生都不由自主地陷入“題?！敝校處煋?dān)心某種

題型沒講，高考時(shí)做不出，學(xué)生怕少做一道題，萬一考了損失太慘重，在這樣一種氛圍中，

往往忽視了學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)，每個(gè)學(xué)生都有自己的方法，但什么樣的學(xué)習(xí)方法才是正確的方

法呢？是不是一定要“博覽群題”才能提高水平呢？現(xiàn)實(shí)告訴我們，大膽改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，這是一個(gè)非常重大的問題。（一）學(xué)會(huì)聽、讀我們每天在學(xué)校里都在聽老師講課，閱讀課本或者資料，但我們聽和讀對不對呢？讓我們從聽（聽講、課堂學(xué)習(xí)）和讀（閱讀課本和相關(guān)資料）兩方面來談?wù)劙伞W(xué)生學(xué)

習(xí)的知識(shí)，往往是間接的知識(shí)，是抽象化、形式化的知識(shí)，這些知識(shí)是在前人探索和實(shí)踐的

基礎(chǔ)上提煉出來的，一般不包含探索和思維的過程。因此必須聽好老師講課，集中注意力，

積極思考問題。弄清講得內(nèi)容是什么？怎么分析？理由是什么？采用什么方法？還有什么疑

問？只有這樣，才可能對教學(xué)內(nèi)容有所理解。聽講的過程不是一個(gè)被動(dòng)參預(yù)的過程，在聽講的前提下，還要展開來分析：這里用了什

么思想方法，這樣做的目的是什么？為什么老師就能想到最簡捷的方法？這個(gè)題有沒有更直

接的方法？“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，在聽講的過程中一定要有積極的思考和參預(yù)，這樣

才能達(dá)到最高的學(xué)習(xí)效率。閱讀數(shù)學(xué)教材也是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的非常重要的方法。只有真正閱讀和數(shù)學(xué)教材，才能較

好地掌握數(shù)學(xué)語言，提高自學(xué)能力。一定要改變只做題不看書，把課本當(dāng)成查公式的辭典的

不良傾向。閱讀課本，也要爭取老師的指導(dǎo)。閱讀當(dāng)天的內(nèi)容或一個(gè)單元一章的內(nèi)容，都要

通盤考慮，要有目標(biāo)。比如，學(xué)習(xí)反正弦函數(shù)，從知識(shí)上來講，通過閱讀，應(yīng)弄請以下幾個(gè)問題：(l）是不是每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)，如果不是，在什么情況下函數(shù)有反函數(shù)？(2）正弦函數(shù)在什么情況下有反函數(shù)？若有，其反函數(shù)如何表示？(3）正弦函數(shù)的圖象與反正弦函數(shù)的圖象是什么關(guān)系？(4）反正弦函數(shù)有什么性質(zhì)？(5）如何求反正弦函數(shù)的值？（二）學(xué)會(huì)思考愛因斯坦曾說：“發(fā)展獨(dú)立思考和獨(dú)立判斷的一般能力應(yīng)當(dāng)始終放在首位”，勤于思考，

善于思考，是對我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提出的最基本的要求。一般來說，要盡力做到以下兩點(diǎn)。1、善于發(fā)現(xiàn)問題和提出問題2、善于反思與反求

高中數(shù)學(xué)講座9——不等式的證明（一）

(2008-08-2610:13:16)

不等式的證明從初中到高中都是一個(gè)令學(xué)生頭痛的一類數(shù)學(xué)問題。其實(shí)造成

這一現(xiàn)象的本質(zhì)是——在用基本不等式的性質(zhì)時(shí)，放大與縮小的范圍較難把握。

這一“放大與縮小”的原理是基于小學(xué)奧數(shù)的“估值法”的應(yīng)用關(guān)鍵。這時(shí)學(xué)

過小學(xué)奧數(shù)的學(xué)生就有一點(diǎn)點(diǎn)優(yōu)勢了。既然用不等式的性質(zhì)證明的技巧性太強(qiáng)，那么換個(gè)思路，用其他駕輕就熟

的方法不是可以避重就輕？所以我也不常用不