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一階線性微分方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)一、一階線性微分方程二、伯努利方程

第七章一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量?jī)蛇叿e分得故通解為稱為齊次方程

;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

求方程的通解(x>0).解:注意x,y

同號(hào),由一階線性方程通解公式

,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:

可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束練習(xí)題1.

求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解:1)先解定解問題利用通解公式,得利用得故有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2)再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3)原問題的解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束P301

1(5),(7),(9);4;

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