《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》第10課時(shí) 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解池州一中祖向陽(yáng)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解2.內(nèi)容解析函數(shù)的零點(diǎn)是高中新教材人教A版必修1第三章3.1.1的內(nèi)容.在上一章中學(xué)了幾種基本初等函數(shù)，f(x)的零點(diǎn)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，從函數(shù)值與自變量對(duì)應(yīng)的角度看，就是使得函數(shù)值為0的x；從方程的角度看，即為相應(yīng)方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根；從函數(shù)的圖像的角度看，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)的零點(diǎn)從不同的角度將函數(shù)與方程，數(shù)與形有機(jī)地聯(lián)系在一起，體現(xiàn)的是函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用.學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可為二次函數(shù)實(shí)根的分布問(wèn)題打下基礎(chǔ)，并為下一節(jié)內(nèi)容《二分法求方程近似解》提供理論支持.因此本節(jié)課是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，有著承上啟下的作用.教學(xué)的重點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的形成與求解及其基本應(yīng)用.在講授本節(jié)內(nèi)容時(shí)更多要滲透函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合的思想方法.3.教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的兩種理解，如何探究函數(shù)零點(diǎn)存在定理.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，能初步運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理及推論判斷具體函數(shù)是否存在零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）經(jīng)歷由特殊到一般、由直觀到抽象的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）能結(jié)合二次函數(shù)了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，理解方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)三者之間的關(guān)系.（2）能通過(guò)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想方法理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，了解函數(shù)圖象連續(xù)不斷的意義及作用，知道函數(shù)零點(diǎn)存在定理只是函數(shù)存在零點(diǎn)的一個(gè)充分條件.（3）能結(jié)合例題運(yùn)用用函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其推論判斷具體函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1.問(wèn)題診斷《函數(shù)的零點(diǎn)》是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈結(jié)點(diǎn).它為下面二分法、不等式、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).本節(jié)課從不同的角度,將數(shù)與形、函數(shù)與方程有機(jī)的聯(lián)系在一起.體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)與方程，并會(huì)對(duì)函數(shù)與方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，初中重點(diǎn)講解的就是二次函數(shù)及其圖像，學(xué)生也具備了一定的通過(guò)圖象去研究函數(shù)性質(zhì)的能力，這些都為學(xué)生理解函數(shù)的零點(diǎn)提供了知識(shí)儲(chǔ)備.問(wèn)題是課堂教學(xué)的靈魂，本節(jié)課采用“提出問(wèn)題——引導(dǎo)探究——得出結(jié)論——實(shí)際應(yīng)用”的教學(xué)模式讓學(xué)生親歷知識(shí)的形成過(guò)程，使教學(xué)活動(dòng)真正建立在學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探究的基礎(chǔ)上.讓他們?cè)趯W(xué)習(xí)探索過(guò)程中體會(huì)怎樣發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題。同時(shí)提升學(xué)生歸納總結(jié)能力和語(yǔ)言組織能力，達(dá)到傳授知識(shí)與培養(yǎng)能力融為一體.2.教學(xué)難點(diǎn)如何理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理中的三個(gè)關(guān)鍵詞：“連續(xù)不斷”、“”和“至少有一個(gè)”四、單元教學(xué)條件支持分析研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的一種主要的思想方法就是數(shù)形結(jié)合，探究途徑是特殊到一般，在教學(xué)過(guò)程中需要利用GeoGebra,Excel,圖形計(jì)算器等統(tǒng)計(jì)軟件來(lái)處理數(shù)據(jù)，畫出函數(shù)圖像.五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一問(wèn)題情景，雙重引入問(wèn)題1：對(duì)于一元二次方程我們可以利用求根公式來(lái)求解，那么對(duì)于一元三次方程我們又該如何求解呢？比如方程的解，求根公式嗎？甚至對(duì)于超越方程的解的情況我們又該如何考慮呢？實(shí)際上，在人類歷史的發(fā)展中，方程求解問(wèn)題經(jīng)歷了一段相當(dāng)漫長(zhǎng)的時(shí)期，公元9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家給出了一元一次和一元二次方程的一般解法（求根公式），16世紀(jì)，意大利的兩位數(shù)學(xué)家相繼地給出了一元三次和一元四次方程的一般解法（求根公式），在而后的200年時(shí)間內(nèi)數(shù)學(xué)家們繼續(xù)探尋著更高次方程的求根公式，但都沒(méi)有成功，此時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)大師拉格朗日打破現(xiàn)狀，提出猜想：一元五次以及以上的高次方程沒(méi)有根式解（沒(méi)有求根公式），這給數(shù)學(xué)家們指明了探究方向，在接下來(lái)的100年內(nèi)，數(shù)學(xué)家們相繼地給出了其猜想的證明.這就是數(shù)學(xué)大師的風(fēng)范！敢于挑戰(zhàn)，勇于創(chuàng)新.師生活動(dòng)：教師結(jié)合PPT的演示，介紹人類歷史中方程求解問(wèn)題的研究歷程，學(xué)生從中熏陶人類的探究的艱辛與困難，體會(huì)數(shù)學(xué)文化.【設(shè)計(jì)意圖】先由熟悉的一元二次引出三次方程的求解問(wèn)題，進(jìn)而高次方程，甚至超越方程的一般解法，從而引出高次方程的數(shù)學(xué)文化背景問(wèn)題.環(huán)節(jié)二函數(shù)思想，零點(diǎn)理解問(wèn)題2：顯然，超越方程沒(méi)有求根公式，那么我們又該如何考慮方程的解的情況呢？（板書：4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解）在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)用二次函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)一元二次方程，類似的，我們也可以用函數(shù)的思想來(lái)認(rèn)識(shí)方程的解.也就是說(shuō)我們可以利用函數(shù)圖象的形來(lái)認(rèn)識(shí)方程的解這一數(shù)的特點(diǎn).（右板書：研究思想：數(shù)學(xué)結(jié)合）為了研究方便，我們?cè)兕惐纫辉魏瘮?shù)零點(diǎn)的定義，給出一般函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).（左板書：方程的根函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）那么基于函數(shù)零點(diǎn)的這兩種理解，函數(shù)零點(diǎn)的數(shù)與形之間到底存在著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢？下面我們一起來(lái)探究這一問(wèn)題.為了便于研究，我們選取一個(gè)特殊的函數(shù)模型為載體，不妨以一次（二）次函數(shù)為例（右板書：研究途徑：有特殊到一般）師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用函數(shù)的思想認(rèn)識(shí)方程；師生共同指出函數(shù)零點(diǎn)的兩種理解：一個(gè)是從數(shù)的角度去理解，一個(gè)是從形的角度去理解，從而指明研究的對(duì)象都是函數(shù)零點(diǎn)，只不過(guò)是兩種形態(tài)而已.xyO【設(shè)計(jì)意圖】由函數(shù)零點(diǎn)的數(shù)的特點(diǎn)（方程的解）與函數(shù)零點(diǎn)的形的特點(diǎn)（函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xyO環(huán)節(jié)三探究定理理解定理對(duì)于二次函數(shù)，觀察它的圖象：探究1：在零點(diǎn)處附近的圖象有什么特點(diǎn)？師生活動(dòng)：（預(yù)設(shè)如下）同學(xué)1：圖象自上而下穿過(guò)軸追問(wèn)：這是形的方向特點(diǎn)，反應(yīng)到數(shù)的方向的特點(diǎn)又該怎么表述呢？同學(xué)1：函數(shù)值由正變負(fù)追問(wèn)：很好，進(jìn)而引入數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言：在零點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)分別引入數(shù)和數(shù)，則有：同學(xué)1：.追問(wèn)：剛才的探究是從形的方向到數(shù)的方向得到的一個(gè)結(jié)論，那么反過(guò)來(lái)，從數(shù)的方向端點(diǎn)的函數(shù)值由正變負(fù)，能否得到函數(shù)圖象的形的特點(diǎn)呢？也就是自上而下穿過(guò)軸呢？同學(xué)們：對(duì)于二次函數(shù)而言成立追問(wèn)：二次函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的同學(xué)們：端點(diǎn)的函數(shù)值由正變負(fù)，在函數(shù)連續(xù)不斷的前提下，等價(jià)于函數(shù)圖象自上而下穿過(guò)軸.【設(shè)計(jì)意圖】由特殊的函數(shù)模型探尋自上而下穿過(guò)軸形的特點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值由正變負(fù)數(shù)的特點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，為后續(xù)探究函數(shù)零點(diǎn)存在定理做好鋪墊.探究2：在零點(diǎn)處附近的圖象有什么特點(diǎn)？師生活動(dòng)：（預(yù)設(shè)如下）同學(xué)們：圖象自下而上穿過(guò)軸追問(wèn)：同樣的，反應(yīng)到數(shù)的方向的特點(diǎn)，如何表述？同學(xué)們：函數(shù)值由負(fù)變正追問(wèn)：類似的，引入數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言：同學(xué)們：在零點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)分別引入數(shù)和數(shù)，則有.追問(wèn)：反過(guò)來(lái)成立嗎？同學(xué)們：成立.追問(wèn)：端點(diǎn)的函數(shù)值由負(fù)變正，在函數(shù)連續(xù)不斷的前提下，等價(jià)于函數(shù)圖象自下而上穿過(guò)軸.合二為一，上述兩個(gè)結(jié)論如何表述？同學(xué)們：端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，在函數(shù)連續(xù)不斷的前提下，等價(jià)于函數(shù)圖象穿過(guò)軸.【設(shè)計(jì)意圖】類比之下，考慮另一種形與數(shù)的特點(diǎn)，為后續(xù)探究函數(shù)零點(diǎn)存在定理做好鋪墊.探究3：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，嘗試畫出函數(shù)在區(qū)間上的可能圖象.師生活動(dòng)：學(xué)生自主探究嘗試作盡可能多的圖，教師PPT展示成果.從作圖的情況，師生共同得出歸納處結(jié)論：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).教師給出所得結(jié)論的完整表述（函數(shù)零點(diǎn)存在定理）：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).（左板書：函數(shù)零點(diǎn)存在定理）追問(wèn)1：在函數(shù)零點(diǎn)存在定理中，其關(guān)鍵詞有哪些？師生活動(dòng)：學(xué)生回答：有“連續(xù)不斷”、“”與“至少有一個(gè)”如何理解這些關(guān)鍵詞呢？下面我們一個(gè)個(gè)來(lái)?yè)羝疲鹤穯?wèn)2：首先來(lái)看第一個(gè)關(guān)鍵詞“連續(xù)不斷”，如果函數(shù)圖象在區(qū)間內(nèi)不是一條“連續(xù)不斷”的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)還有沒(méi)有根呢？師生活動(dòng)：（預(yù)設(shè)如下）學(xué)生2：可能沒(méi)有！教師：為什么呢？你能描述一下函數(shù)在區(qū)間上的可能圖象.學(xué)生2：口頭描述，教師PPT演示教師：追問(wèn)：是否存在函數(shù)圖象在區(qū)間內(nèi)不是一條“連續(xù)不斷”的曲線，但是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)還是有根的情況呢？學(xué)生2：繼續(xù)口頭描述，教師PPT輔助演示教師：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不一定有零點(diǎn).追問(wèn)3：接著來(lái)看第二個(gè)關(guān)鍵詞“”，如果函數(shù)圖象在區(qū)間內(nèi)是一條“連續(xù)不斷”的曲線，且，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)還有沒(méi)有根呢？（預(yù)設(shè)如下）學(xué)生3：可能沒(méi)有！教師：為什么呢？你能描述一下函數(shù)在區(qū)間上的可能圖象.學(xué)生3：口頭描述，然后叫學(xué)生上黑板畫圖（右側(cè)畫圖）教師：追問(wèn)：是否存在函數(shù)圖象在區(qū)間內(nèi)是一條“連續(xù)不斷”的曲線，且，但是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)還是有根的情況呢？學(xué)生3：口頭描述，然后再叫該生上黑板畫圖（右側(cè)畫圖）教師：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可能有零點(diǎn).歸納：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)不斷的前提下，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).反之不成立.（左板書：函數(shù)零點(diǎn)存在定理是探尋函數(shù)有零點(diǎn)的充分性）追問(wèn)4：接著來(lái)看第三個(gè)關(guān)鍵詞“至少有一個(gè)”.請(qǐng)問(wèn)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)到底有幾個(gè)零點(diǎn)呢？（預(yù)設(shè)如下）學(xué)生們：有回答1個(gè)、3個(gè)等等教師：PPT展示探究定理的時(shí)同學(xué)們的所畫的函數(shù)圖象，確實(shí)有1個(gè)、3個(gè)的情況.追問(wèn)：有沒(méi)有2個(gè)的情況呢？學(xué)生4：口頭回答有，并請(qǐng)?jiān)撏瑢W(xué)上黑板畫圖（右側(cè)畫圖）教師：教師PPT展示同樣的效果圖(但是要跟學(xué)生的作圖剛好反過(guò)來(lái)圖象).借此追問(wèn)：這兩個(gè)幅圖中（學(xué)生所做的圖中的根與教師PPT中所展示的根），各自對(duì)應(yīng)的這類零點(diǎn)，在形的角度上有怎樣的特點(diǎn)呢？學(xué)生們：沒(méi)有穿過(guò)軸.教師：我們來(lái)看前兩幅圖，在形的角度上來(lái)看是穿過(guò)軸的，我們稱之為“穿根”的零點(diǎn)；而在后兩幅圖中，發(fā)現(xiàn)這類零點(diǎn)在形的角度上來(lái)看沒(méi)有穿過(guò)軸，我們就稱之為“不穿根”的零點(diǎn).此外，在后兩幅圖中，除了有“不穿根”的零點(diǎn)以外，還有“穿根”的零點(diǎn).教師追問(wèn)：這是從形的角度得到的零點(diǎn)的差異（“穿”與“不穿”），轉(zhuǎn)化到數(shù)的角度零點(diǎn)的差異該如何表述呢？學(xué)生們：“穿根”“異號(hào)根”；“不穿根”“同號(hào)根”.師生歸納：顯然，根據(jù)上面圖象的分析，在零點(diǎn)存在定理的兩個(gè)前提條件下，也就是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且這兩個(gè)限制條件下，若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，該零點(diǎn)為“穿根”零點(diǎn)；若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，這兩個(gè)零點(diǎn)恰好有一個(gè)是“穿根”零點(diǎn)，恰好有一個(gè)是“不穿根”零點(diǎn).課后思考：若有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，這三個(gè)零點(diǎn)的差異情況是怎樣的？【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理的關(guān)鍵詞，教師再幫助學(xué)生一個(gè)個(gè)擊破關(guān)鍵詞的理解，從條件中的兩個(gè)關(guān)鍵詞出發(fā)，發(fā)現(xiàn)定理中“連續(xù)不斷”和“”缺一不可，進(jìn)而還了發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)存在定理是探尋函數(shù)有零點(diǎn)的一個(gè)充分條件，而非充要條件；從結(jié)論中的一個(gè)關(guān)鍵詞出發(fā)，發(fā)現(xiàn)“至少有一個(gè)零點(diǎn)”中各種情況都有可能會(huì)出現(xiàn)，同時(shí)還辨別出“穿根”（“異號(hào)根”）零點(diǎn)與“不穿根”（“同號(hào)根”）零點(diǎn)的差異.幫助學(xué)生抓住重點(diǎn)信息問(wèn)題的能力.環(huán)節(jié)四應(yīng)用定理應(yīng)用推論利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，重新考慮方程的解的情況.師生活動(dòng)：借助信息技術(shù)工具不難得函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).追問(wèn)1：函數(shù)在內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)呢？追問(wèn)2：函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)在定義域范圍內(nèi)單調(diào)增，可得答案.師生歸納：函數(shù)零點(diǎn)存在定理的推論：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的單調(diào)曲線，且，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).（左板書：推論）追問(wèn)3：在連續(xù)和的前提下，單調(diào)必有唯一零點(diǎn)，有唯一零點(diǎn)單調(diào)嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生們回答，教師PPT在此展示.【設(shè)計(jì)意圖】由具體的例題分析處函數(shù)零點(diǎn)存在定理的一個(gè)推論，再結(jié)合同學(xué)們的作圖情況，得其推論是探尋有唯一零點(diǎn)的一個(gè)充分條件，而非充要條件.幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和分析問(wèn)題的能力，提升邏輯素養(yǎng).例1.求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).師生活動(dòng)：學(xué)生們回答，教師PPT在此展示.例2.求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).師生活動(dòng)：（預(yù)設(shè)如下）學(xué)生們：計(jì)算，可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).教師：能否判斷具體的零點(diǎn)個(gè)數(shù)呢？學(xué)生們：就函數(shù)現(xiàn)有的狀態(tài)無(wú)法斷定！教師：無(wú)法斷定的原因是什么？學(xué)生們：函數(shù)模型不清楚！教師：但函數(shù)中確實(shí)是含有一次函數(shù)模型和對(duì)數(shù)型函數(shù)模型的，那我們應(yīng)該要考慮一下變形了！怎樣變形呢？學(xué)生們：將這兩個(gè)函數(shù)模型分開(kāi)處理教師：考慮到的零點(diǎn)就是方程的根，變形一下得：.變形后，該方程中含有那些函數(shù)模型了？學(xué)生們：對(duì)數(shù)型函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型.教師：這兩個(gè)函數(shù)模型的單調(diào)性如何？學(xué)生們：在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增的.教師：令，顯然函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，再結(jié)合得有唯一零點(diǎn).教師：另外，再變形后的方程中繼續(xù)移項(xiàng)得方程，這樣移項(xiàng)變形的目的是什么？學(xué)生們：將對(duì)數(shù)型函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型分開(kāi)處理教師：在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，再畫出這兩個(gè)函數(shù)模型對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，不難從形的方向去體會(huì)圖象確實(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有唯一根，即函數(shù)有唯一零點(diǎn).歸納：顯然方法二是從形的角度去體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的，而方法一則是從數(shù)的角度定量計(jì)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的.兩個(gè)方法各自的側(cè)重點(diǎn)不盡相同！各有優(yōu)勢(shì)，同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)，應(yīng)該要做到靈活應(yīng)用，切換自如！【設(shè)計(jì)意圖】為推論的應(yīng)用舉例說(shuō)明，把握好函數(shù)模型的狀態(tài)，為代數(shù)變形打好基礎(chǔ)；此外，也為函數(shù)與圖象有公共點(diǎn)方程有根函數(shù)有零打好基礎(chǔ)，也是函數(shù)零點(diǎn)的兩種理解的升級(jí)版，當(dāng)然了，