小學奧數(shù)競賽專題之利潤與折扣

競賽專題選講囊括了希望杯、華羅庚金杯、走進美妙的數(shù)學花園、EMC、全國小學數(shù)學聯(lián)賽和數(shù)學解題能力展示等在內(nèi)的國內(nèi)主要數(shù)學競賽的精華試題[專題介紹]

工廠和商店有時減價出售商品，通常我們把它稱為“打折扣”出售，幾折就是百分之幾十。

利潤問題也是一種常見的百分數(shù)應用題，商店出售商品總是期望獲得利潤，一般情況下，商品從廠家購進的價格稱為本價，商家在成本價的基礎(chǔ)上提高價格出售，所賺的錢稱為利潤，利潤與成本的百分比稱之為利潤率。期望利潤=成本價×期望利潤率。

[經(jīng)典例題]

例1、某商店將某種DVD按進價提高35%后，打出“九折優(yōu)惠酬賓，外送50元出租車費”的廣告，結(jié)果每臺仍舊獲利208元，那么每臺DVD的進價是多少元？（B級）

解：定價是進價的1+35%

打九折后，實際售價是進價的135%×90%=121.5%

每臺DVD的實際盈利：208+50=258（元）

每臺DVD的進價258÷（121.5%-1）=1200（元）

答：每臺DVD的進價是1200元例2：一種服裝，甲店比乙店的進貨便宜10%甲店按照20%的利潤定價，乙店按照15%的利潤定價，甲店比乙店的出廠價便宜11.2元，問甲店的進貨價是多少元？（B級）

分析：

解：設(shè)乙店的成本價為1

（1+15%）是乙店的定價

（1-10%）×（1+20%）是甲店的定價

（1+15%）-（1-10%）×（1+20%）=7%

11.2÷7%=160（元）

160×（1-10%）=144（元）

答：甲店的進貨價為144元。例3、原來將一批水果按100%的利潤定價出售，由于價格過高，無人購買，不得不按38%的利潤重新定價，這樣出售了其中的40%，此時因害怕剩余水果會變質(zhì)，不得不再次降價，售出了全部水果。結(jié)果實際獲得的總利潤是原來利潤的30.2%，那么第二次降價后的價格是原來定價的百分之幾？（B級）

分析：

要求第二次降價后的價格是原來定價的百分之幾，則需要求出第二次是按百分之幾的利潤定價。

解：設(shè)第二次降價是按x%的利潤定價的。

38%×40%＋x%×（1-40%）=30.2%

X%=25%

（1+25%）÷（1+100%）=62.5%

答：第二次降價后的價格是原來價格的62.5%7、商店進了一批鋼筆，用零售價10元賣出20支與用零售價11元賣出15支的利潤相同。這批鋼筆的進貨價每支多少元？8、某種蜜瓜大量上市，這幾天的價格每天都是前一天的80％。媽媽第一天買了2個，第二天買了3個，第三天買了5個，共花了38元。若這10個蜜瓜都在第三天買，則能少花多少錢？9、商店以每雙13元購進一批涼鞋，售價為14.8元，賣到還剩5雙時，除去購進這批涼鞋的全部開銷外還獲利88元。問：這批涼鞋共多少雙？10、體育用品商店用3000元購進50個足球和40個籃球。零售時足球加價9％，籃球加價11％，全部賣出后獲利潤298元。問：每個足球和籃球的進價是多少元？競賽專題選講囊括了希望杯、華羅庚金杯、走進美妙的數(shù)學花園、EMC、全國小學數(shù)學聯(lián)賽和數(shù)學解題能力展示等在內(nèi)的國內(nèi)主要數(shù)學競賽的精華試題

[專題介紹]

國家規(guī)定，各種收入必須按照國家一定的額比例向國家繳納一定的稅款，應納稅額與收入的百分比叫做稅率。

我們把存入銀行的錢叫做本金，取款時銀行多付出來的錢叫做利息?？偫⑴c本金的百分比叫做利率。

[經(jīng)典例題]

例1、某個體商人以年利息14%的利率借別人4500元，第一年末償還2130元，第二年以某種貨物80件償還一部分，第三年還2736元結(jié)清，他第二年末還債的貨物每件價值多少元？

解：根據(jù)“總利息=本金×利率×時間”

第一年末的本利和：4500+4500×14%×1=5130（元）

第二年起計息的本金：5130-2130=3000（元）

第二年末的本利和：3000+3000×14%×1=3420（元）

第三年的本利和為2736元，

故第三年初的本金為：2736÷（1+14%）=2736÷1.14=2400（元）

第二年末已還款的金額為3420-2400=1020（元）

每件貨物的單價為1020÷80=12.75（元）

答：他第二年末還債的貨物每件價值12.75元例2、小明于今年七月一日在銀行存了活期儲蓄100元，如果年利率是1.98%，到明年七月一日，小明可以得到多少利息？（A級）

解：1000×1.98%×1×（1-20%）=15.84（元）

答：小明可以得到15.84元利息例3、買了8000元的國家建設(shè)債卷，定期3年，到期他取回本息一共10284元，這種建設(shè)債卷的年利率是多少？（B級）

解：設(shè)年利率為x%

（1）（單利）

8000+8000×x%×3=10284

X%=9.52%

（2）（復利）

8000（1+x%）3=10284

X%=9.52%

答：這種建設(shè)債卷利率是9.52%競賽專題選講囊括了希望杯、華羅庚金杯、走進美妙的數(shù)學花園、EMC、全國小學數(shù)學聯(lián)賽和數(shù)學解題能力展示等在內(nèi)的國內(nèi)主要數(shù)學競賽的精華試題

[專題介紹]求平均數(shù)問題是小學學習階段經(jīng)常接觸的一類典型應用題，如“求一個班級學生的平均年齡、平均身高、平均分數(shù)……”。

解答這類應用題時，主要是弄清楚總數(shù)、份數(shù)、一份數(shù)三量之間的關(guān)系，根據(jù)總數(shù)除以它相對應的份數(shù)，求出一份數(shù)，即平均數(shù)。

[經(jīng)典例題]

例1用4個同樣的杯子裝水，水面高度分別是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，這4個杯子水面平均高度是多少厘米？

[分析]求4個杯子水面的平均高度，就相當于把4個杯子里的水合在一起，再平均倒入4個杯子里，看每個杯子里水面的高度。

解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）

答：這4個杯子水面平均高度是6厘米。

例2蔡琛在期末考試中，政治、語文、數(shù)學、英語、生物五科的平均分是89分.政治、數(shù)學兩科的平均分是91.5分.語文、英語兩科的平均分是84分.政治、英語兩科的平均分是86分，而且英語比語文多10分.問蔡琛這次考試的各科成績應是多少分？

[分析]解題關(guān)鍵是根據(jù)語文、英語兩科平均分是84分求出兩科的總分，又知道兩科的分數(shù)差是10分，用和差問題的解法求出語文、英語各得多少分后，就可以求出其他各科成績。

解：①英語：（84×2+10）÷2=89（分）

②語文：89-10=79（分）

③政治：86×2-89＝83（分）

④數(shù)學：91.5×2-83＝100（分）

⑤生物：89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分）

答：蔡琛這次考試英語、語文、政治、數(shù)學、生物的成績分別是89分、79分、83分、100分、94分。例3果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什錦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.問：什錦糖每千克多少元？

[分析]要求混合后的什錦糖每千克的價錢，必須知道混合后的總錢數(shù)和與總錢數(shù)相對應的總千克數(shù)。

解：①什錦糖的總價：

4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）

②什錦糖的總千克數(shù)：2＋3＋5＝10（千克）

③什錦糖的單價：57.4÷10=5.74（元）

答：混合后的什錦糖每千克5.74元。

我們把上述這種平均數(shù)問題叫做“加權(quán)平均數(shù)”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加權(quán)平均數(shù).2千克、3千克、5千克這三個數(shù)很重要，對什錦糖的單價產(chǎn)生不同影響，有權(quán)衡輕重的作用，所以這樣的數(shù)叫做“權(quán)數(shù)”。例4甲乙兩塊棉田，平均畝產(chǎn)籽棉185斤.甲棉田有5畝，平均畝產(chǎn)籽棉203斤；乙棉田平均畝產(chǎn)籽棉170斤，乙棉田有多少畝？

[分析]此題是已知兩個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)、兩個數(shù)和其中一個數(shù)的權(quán)數(shù)，求另一個數(shù)的權(quán)數(shù)的問題.甲棉田平均畝產(chǎn)籽棉203斤比甲乙棉田平均畝產(chǎn)多18斤，5畝共多出90斤.乙棉田平均畝產(chǎn)比甲乙棉田平均畝產(chǎn)少15斤，乙少的部分用甲多的部分補足，也就是看90斤里面包含幾個15斤，從而求出的是乙棉田的畝數(shù)，即“權(quán)數(shù)”。

解：①甲棉田5畝比甲乙平均畝產(chǎn)多多少斤？

（203-185）×5=90（斤）

②乙棉田有幾畝？

90÷（185-170）=6（畝）

答：乙棉田有6畝。

例5已知八個連續(xù)奇數(shù)的和是144，求這八個連續(xù)奇數(shù)。

[分析]已知偶數(shù)個奇數(shù)的和是144.連續(xù)數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，它的特點是首項與末項之和等于第二項與倒數(shù)第二項之和，等于第三項與倒數(shù)第三項之和……即每兩個數(shù)分為一組，八個數(shù)分成4組，每一組兩個數(shù)的和是144÷4＝36.這樣可以確定出中間的兩個數(shù)，再依次求出其他各數(shù)。

解：①每組數(shù)之和：144÷4=36

②中間兩個數(shù)中較大的一個：（36＋2）÷2＝19

③中間兩個數(shù)中較小的一個：19-2=17

∴這八個連續(xù)奇數(shù)為11、13、15、17、19、21、23和25。

答：這八個連續(xù)奇數(shù)分別為：11、13、15、17、19、21、23和25。競賽專題選講囊括了希望杯、華羅庚金杯、走進美妙的數(shù)學花園、EMC、全國小學數(shù)學聯(lián)賽和數(shù)學解題能力展示等在內(nèi)的國內(nèi)主要數(shù)學競賽的精華試題

競賽專題選講囊括了希望杯、華羅庚金杯、走進美妙的數(shù)學花園、EMC、全國小學數(shù)學聯(lián)賽和數(shù)學解題能力展示等在內(nèi)的國內(nèi)主要數(shù)學競賽的精華試題

[專題介紹]最優(yōu)化概念反映了人類實踐活動中十分普遍的現(xiàn)象，即要在盡可能節(jié)省人力、物力和時間前提下，爭取獲得在可能范圍內(nèi)的最佳效果，因此，最優(yōu)化問題成為現(xiàn)代數(shù)學的一個重要課題，涉及統(tǒng)籌、線性規(guī)劃一排序不等式等內(nèi)容。

最優(yōu)化問題不僅具有趣味性，而且由于解題方法靈活，技巧性強，因此對于開拓解題思路，增強數(shù)學能力很有益處。但解決這類問題需要的基礎(chǔ)知識相當廣泛，很難做到一一列舉。因此，主要是以例題的方式讓大家體會解決這些問題的方法和經(jīng)驗。

[經(jīng)典例題]

例1:貨輪上卸下若干只箱子，總重量為10噸，每只箱子的重量不超過1噸，為了保證能把這些箱子一次運走，問至少需要多少輛載重3噸的汽車？[分析]因為每一只箱子的重量不超過1噸，所以每一輛汽車可運走的箱子重量不會少于2噸，否則可以再放一只箱子。所以，5輛汽車本是足夠的，但是4輛汽車并不一定能把箱子全部運走。例如，設(shè)有13只箱子，，所以每輛汽車只能運走3只箱子，13只箱子用4輛汽車一次運不走。

因此，為了保證能一次把箱子全部運走，至少需要5輛汽車。例2:用10尺長的竹竿來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎樣截法最合算？[分析]一個10尺長的竹竿應有三種截法：

（1）3尺兩根和4尺一根，最??；

（2）3尺三根，余一尺；

（3）4尺兩根，余2尺。

為了省材料，盡量使用方法（1），這樣50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，還差50根4尺的，最好選擇方法（3），這樣所需原材料最少，只需25根即可，這樣，至少需用去原材料75根。例3:一個銳角三角形的三條邊的長度分別是兩位數(shù)，而且是三個連續(xù)偶數(shù)，它們個位數(shù)字的和是7的倍數(shù)，這個三角形的周長最長應是多少厘米？[分析]因為三角形三邊是三個連續(xù)偶數(shù)，所以它們的個位數(shù)字只能是0，2，4，6，8，并且它們的和也是偶數(shù)，又因為它們的個位數(shù)字的和是7的倍數(shù)，所以只能是14，三角形三條邊最大可能是86，88，90，那么周長最長為86+88+90=264厘米。例4:把25拆成若干個正整數(shù)的和，使它們的積最大。[分析]先從較小數(shù)形開始實驗，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：

把6拆成3+3，其積為3×3=9最大；

把7拆成3+2+2，其積為3×2×2=12最大；

把8拆成3+3+2，其積為3×3×2=18最大；

把9拆成3+3+3，其積為3×3×3=27最大；……

這就是說，要想分拆后的數(shù)的乘積最大，應盡可能多的出現(xiàn)3，而當某一自然數(shù)可表示為若干個3與1的和時，要取出一個3與1重合在一起再分拆成兩個2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其積37×22=8748為最大。

例5:A、B兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可攜帶一個人24天的食物和水，如果不準將部分食物存放于途中，問其中一個人最遠可以深入沙漠多少千米（要求最后兩人返回出發(fā)點）？如果可以將部分食物存放于途中以備返回時取用呢？[分析]設(shè)A走X天后返回，A留下自己返回時所需的食物，剩下的轉(zhuǎn)給B，此時B共有（48-3X）天的食物，因為B最多攜帶24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回時用，所以B可以向沙漠深處走16天，因為每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。

如果改變條件，則問題關(guān)鍵為A返回時留給B24天的食物，由于24天的食物可以使B單獨深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B兩人往返一段路，這段路為24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是說，其中一個人最遠可以深入沙漠360千米。例6:甲、乙兩個服裝廠每個工人和設(shè)備都能全力生產(chǎn)同一規(guī)格的西服，甲廠每月用的時間生產(chǎn)上衣，的時間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)900套西服；乙廠每月用的時間生產(chǎn)上衣，的時間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)1200套西服，現(xiàn)在兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長多生產(chǎn)西服，那么現(xiàn)在每月比過去多生產(chǎn)西服多少套？[分析]根據(jù)已知條件，甲廠生產(chǎn)一條褲子與一件上衣的時間之比為2:3；因此在單位時間內(nèi)甲廠生產(chǎn)的上衣與褲子的數(shù)量之比為2:3；同理可知，在單位時間內(nèi)乙廠生產(chǎn)上衣與褲子的數(shù)量之比是3:4；，由于，所以甲廠善于生產(chǎn)褲子，乙廠善于生產(chǎn)上衣。兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長，安排乙廠全力生產(chǎn)上衣，由于乙廠生產(chǎn)月生產(chǎn)1200件上衣，那么乙廠全月可生產(chǎn)上衣1200÷=2100件，同時，安排甲廠全力生產(chǎn)褲子，則甲廠全月可生產(chǎn)褲子900÷=2250條。

為了配套生產(chǎn)，甲廠先全力生產(chǎn)2100條褲子，這需要2100÷2250=月，然后甲廠再用月單獨生產(chǎn)西服900×=60套，于是，現(xiàn)在聯(lián)合生產(chǎn)每月比過去多生產(chǎn)西服

（2100+60）-（900+1200）=60套例7今有圍棋子1400顆，甲、乙兩人做取圍棋子的游戲，甲先取，乙后取，兩人輪流各取一次，規(guī)定每次只能取7P（P為1或不超過20的任一質(zhì)數(shù)）顆棋子，誰最后取完為勝者，問甲、乙兩人誰有必勝的策略？[分析]因為1400=7×200，所以原題可以轉(zhuǎn)化為：有圍棋子200顆，甲、乙兩人輪流每次取P顆，誰最后取完誰獲勝。

[解]乙有必勝的策略。

由于200=4×50，P或者是2或者可以表示為4k+1或4k+3的形式（k為零或正整數(shù)）。乙采取的策略為：若甲取2，4k+1，4k+3顆，則乙取2，3，1顆，使得余下的棋子仍是4的倍數(shù)。如此最后出現(xiàn)剩下數(shù)為不超過20的4的倍數(shù)，此時甲總不能取完，而乙可全部取完而獲勝。[說明]（1）此題中，乙是“后發(fā)制人”，故先取者不一定存在必勝的策略，關(guān)鍵是看他們所面臨的“情形”；

（2）我們可以這樣來分析這個問題的解法，將所有的情形--剩余棋子的顆數(shù)分成兩類，第一類是4的倍數(shù)，第二類是其它。若某人在取棋時遇到的是第二類情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一類情形，若取棋時面臨第一類情形，則取棋后留給另一個人的一定是第二類情形。所以，誰先面臨第二類情形誰就能獲勝，在絕大部分雙人比賽問題中，都可采用這種方法。例8有一個80人的旅游團，其中男50人，女30人，他們住的旅館有11人、7人和5人的三種房間，男、女分別住不同的房間，他們至少要住多少個房間？[分析]為了使得所住房間數(shù)最少，安排時應盡量先安排11人房間，這樣50人男的應安排3個11人間，2個5人間和1個7人間；30個女人應安排1個11人間，2個7人間和1個5人間，共有10個房間。[練習]

1、十個自然數(shù)之和等于1001，則這十個自然數(shù)的最大公約數(shù)可能取的最大值是多少？（不包括0）2、在兩條直角邊的和一定的情況下，何種直角三角形面積最大，若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為多少？3、5個人各拿一個水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需要的時間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘，如果只有一個水龍頭適當安排他們的打水順序，就能夠使每個人排隊和打水時間的總和最小，那么這個最小值是多少分鐘？4、某水池可以用甲、乙兩水管注水，單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小時注滿。若要求10小時注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時間盡可能地少，則甲乙兩管全放最少需要多少小時？5、有1995名少先隊員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規(guī)，問完成任務后應該在該公路的什么地點集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點的路程總和最?。?、甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù)，規(guī)則是禁止寫黑板上已寫過的數(shù)的約數(shù)，不能完成下一步的為失敗者。問：是先寫者還是后寫者必勝？如何取勝？[習題參考答案及思路分析]

1、∵1001=7×11×13，∴可以7×13為公約數(shù),這樣這十個正整數(shù)可以是,91×2，它們的最大公約數(shù)為91。2、對于直角三角形而言，在直角邊的和一定的情況下，等腰直角三角形的面積最大。若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為×4×4=8。

3、為了使每個人排隊和打水時間的總和最小，有兩種方法：

（1）排隊的人盡量少；（2）每次排隊的時間盡量少。因此應先讓打水快的人打水，才能保證開始排隊人多的時候，每個人等待的時間要少，故共需5×1+4×2+3×3+2×4+5=35（分鐘）。4、由于甲、乙單獨開放都不可能在10小時注滿水池，因此必須有時間甲、乙全放。為了使它們合放的時間最少，應盡量開放甲管（速度快），這樣甲開10小時注滿水池的，余下只能由乙注滿，需。因此甲乙兩管全放最少需要4小時。5、此問題我們可以從最簡單問題入手，尋找規(guī)律，從而解決復雜問題，最后集合地點應在中間地點。6、先寫者存在獲勝的策略。甲第一步寫6，乙僅可寫4，5，7，8，9，10中的一個，把它們分成數(shù)對（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙寫數(shù)對中的某個數(shù)，甲就寫數(shù)對中的另一個數(shù)，則甲必勝。競賽專題選講囊括了希望杯、華羅庚金杯、走進美妙的數(shù)學花園、EMC、全國小學數(shù)學聯(lián)賽和數(shù)學解題能力展示等在內(nèi)的國內(nèi)主要數(shù)學競賽的精華試題

[專題介紹]：列車過橋是生活中常見的現(xiàn)象，要正確理解這類問題，首先要懂得從車頭上橋到車尾離開橋行駛的路程是多少。如果通過模擬操作，用文具盒代一座大橋，一支鉛筆表示一列火車，用筆尖接觸文具盒，表示車頭上橋，然后將鉛筆在文具盒上慢慢向前移動。直到筆尾離開文具盒，即車尾離開橋，可以看出鉛筆向前移動的長，等于鉛筆的長加文具盒的長，由此推知，列車從車頭上橋到車尾離開橋行駛的路程是：橋長＋車長。

環(huán)形跑道是學校中常見的，建議學習此講內(nèi)容之前，同學們可以先到學校的跑道上模擬練習一下。

[經(jīng)典例題]

例1、一列長300米的火車以每分1080米的速度通過一座大橋。從車頭開上橋到車尾離開橋一共需3