理科數(shù)學(xué)考前必記的54個知識點

二、考前必記的54個知識點集合(1)集合間關(guān)系的兩個重要結(jié)論①A?B包含A＝B和AB兩種情況，兩者必居其一，若存在x∈B且x?A，說明A≠B，只能是AB.②集合相等的兩層含義：若A?B且B?A，則A＝B；若A＝B，則A?B且B?A.[提醒]1任何一個集合是它本身的子集，即A?A.2對于集合A，B，C，如果A?B且B?C，則有A?C.3含有n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集．4集合中元素的三大特性：確定性、互異性、無序性．(2)集合之間關(guān)系的判斷方法①AB?A?B且A≠B，類比于a<b?a≤b且a≠b.②A?B?AB或A＝B，類比于a≤b?a<b或a＝b.③A＝B?A?B且A?B，類比于a＝b?a≤b且a≥b.常見關(guān)鍵詞及其否定形式關(guān)鍵詞等于大于小于是一定是都是至少有一個至多有一個存在否定詞不等于不大于不小于不是不一定是不都是一個也沒有至少有兩個不存在命題(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假性原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假[提醒]1兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．2兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．3在判斷一些命題的真假時，如果不容易直接判斷，則可以判斷其逆否命題的真假．充分、必要條件記p，q對應(yīng)的集合分別為A，B，則有①AB，p是q的充分不必要條件；②AB，p是q的必要不充分條件；③A＝B，p是q的充要條件；④A?B且A?B，p是q的既不充分也不必要條件．函數(shù)的定義域及相關(guān)的6個結(jié)論(1)如果f(x)是整式函數(shù)，那么函數(shù)的定義域是R.(2)如果f(x)是分式函數(shù)，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實數(shù)的集合．(3)如果f(x)是偶次根式函數(shù)，那么函數(shù)的定義域是使被開方數(shù)大于或等于0的實數(shù)的集合．(4)如果f(x)是對數(shù)函數(shù)，那么函數(shù)的定義域是使真數(shù)大于0的實數(shù)的集合．(5)如果f(x)是由幾個代數(shù)式構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各式子都有意義的實數(shù)的集合．(6)如果f(x)是從實際問題中得出的函數(shù)，則要結(jié)合實際情況考慮函數(shù)的定義域．函數(shù)的值域求函數(shù)值域常用的7種方法(1)配方法：二次函數(shù)及能通過換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)類型．(2)判別式法：分子、分母中含有二次項的函數(shù)類型，此函數(shù)經(jīng)過變形后可以化為x2A(y)＋xB(y)＋C(y)＝0的形式，再利用判別式加以判斷．(3)換元法：無理函數(shù)、三角函數(shù)(用三角代換)等，如求函數(shù)y＝2x－3＋eq\r(13－4x)的值域．(4)數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)和其幾何意義相聯(lián)系的函數(shù)類型，如求函數(shù)y＝eq\f(3－sinx,2－cosx)的值域．(5)不等式法：利用幾個重要不等式及推論求最值，如a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq\r(ab)(a，b為正實數(shù))．(6)有界性法：一般用于三角函數(shù)類型，即利用sinx∈[－1，1]，cosx∈[－1，1]等．(7)分離常數(shù)法：適用于解析式為分式形式的函數(shù)，如求y＝eq\f(x＋1,x－1)的值域．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax(a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)定義域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R圖象關(guān)系指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)奇偶性非奇非偶非奇非偶單調(diào)性0<a<1時，在R上是減函數(shù)；a>1時，在R上是增函數(shù)0<a<1時，在(0，＋∞)上是減函數(shù)；a>1時，在(0，＋∞)上是增函數(shù)[提醒]直線x＝1與所給指數(shù)函數(shù)圖象的交點的縱坐標(biāo)即底數(shù)，直線y＝1與所給對數(shù)函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)即底數(shù)．函數(shù)零點的判斷方法(1)利用零點存在定理判斷法：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.這個c也就是方程f(x)＝0的根．口訣：函數(shù)零點方程根，數(shù)形本是同根生，函數(shù)零點端點判，圖象連續(xù)不能忘．(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根．(3)幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．導(dǎo)數(shù)(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式①(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx.②(lnx)′＝eq\f(1,x)(x>0)，(logax)′＝eq\f(1,xlna)(x>0，a>0，且a≠1)．③(ex)′＝ex，(ax)′＝axlna(a>0，且a≠1)．(2)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則①(u±v)′＝u′±v′?[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)．②(uv)′＝vu′＋v′u?(cv)′＝c′v＋cv′＝cv′(c為常數(shù))．③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u,v)))′＝eq\f(vu′－v′u,v2)(v≠0)．[提醒]1若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)．2利用公式求導(dǎo)時，一定要注意公式的適用范圍及符號，如(xn)′＝nxn－1中n∈Q*，(cosx)′＝－sinx.3注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax－1.4導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則，可由兩個可導(dǎo)函數(shù)推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．5一般情況下，[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，[f(x)·g(x)]′≠f′(x)＋g′(x)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′≠eq\f(f′（x）,g′（x）)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′≠f′(x)－g′(x)．eq\o(□,\s\up1(10))極值與最值(1)判斷極大、極小值的方法當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則f(x0)是極大值．②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則f(x0)是極小值．[提醒]1可導(dǎo)函數(shù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，如函數(shù)f(x)＝x3，x＝0時就不是極值點，但f′(0)＝0.2極值點不是一個點，而是一個數(shù)x0，當(dāng)x＝x0時，函數(shù)取得極值．在x0處有f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件．3函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點函數(shù)值中的最大值，函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點函數(shù)值中的最小值．(2)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系①區(qū)別：函數(shù)的極值函數(shù)的最值函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點使函數(shù)取得最大值，最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點函數(shù)的極值是通過比較極值點附近的函數(shù)值得出的函數(shù)的最值是通過比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的函數(shù)的極值可能不止一個，也可能一個沒有函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個函數(shù)的極大值不一定大于函數(shù)的極小值函數(shù)的最大值一定大于函數(shù)的最小值②聯(lián)系：(i)當(dāng)連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極值點只有一個時，相應(yīng)的極值點必為函數(shù)的最值點；(ii)極值有可能是最值，但最值只要不在區(qū)間端點處取得，其必定是極值．eq\o(□,\s\up1(11))定積分(1)由定積分的定義可得定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx是一個常數(shù)，它的值僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量沒有關(guān)系，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(t)dt＝eq\i\in(a,b,)f(u)du.(2)定積分滿足性質(zhì)：①eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq\i\in(a,b,)f(x)dx(k為常數(shù))；②eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx；③eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx(其中a<c<b)．[提醒]1eq\i\in(a,b,)xmdx＝eq\f(1,m＋1)xm＋1eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))(m∈Q*)；2eq\i\in(a,b,)cosxdx＝sinxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))；3eq\i\in(a,b,)sinxdx＝(－cosx)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a)).eq\o(□,\s\up1(12))同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商的關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．[提醒]1公式常見變形：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±eq\r(1－cos2α)，cosα＝±eq\r(1－sin2α)，sinα＝cosαtanα，cosα＝eq\f(sinα,tanα)等．2對“同角”的理解：只要是同一個角，基本關(guān)系式就成立，不拘泥于角的形式，比如sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝1，tan3α＝eq\f(sin3α,cos3α)等都成立，但sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1就不一定成立．eq\o(□,\s\up1(13))三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.推廣公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα.[提醒]奇變偶不變，符號看象限“奇、偶”指的是eq\f(π,2)的倍數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)，“變與不變”指的是三角函數(shù)名稱的變化，“變”是指正弦變余弦(或余弦變正弦)．“符號看象限”的含義是：把角α看作銳角，看n·eq\f(π,2)±α(n∈Z)是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負(fù)號．eq\o(□,\s\up1(14))三角函數(shù)的圖象變換(1)y＝sinx的圖象向左平移φ(φ>0)個單位得到y(tǒng)＝sin(x＋φ)的圖象(當(dāng)φ<0時，則向右平移|φ|個單位)．(2)y＝sinx的圖象上所有點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,ω)倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象．(3)y＝sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象．[提醒]1由y＝sinωx的圖象經(jīng)過平移變換得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象，平移的單位不是|φ|，而是|eq\f(φ,ω)|.2函數(shù)圖象平移、伸縮變換的實質(zhì)是點的變化，所以可以借助三角函數(shù)圖象上特征點坐標(biāo)的變化尋找平移、伸縮變換的規(guī)律，一般借助于兩個函數(shù)圖象上的最高點或最低點的坐標(biāo)來分析．eq\o(□,\s\up1(15))三角函數(shù)的對稱性(1)曲線y＝sinx的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z，對稱軸方程為x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.(2)曲線y＝cosx的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z，對稱軸方程為x＝kπ，k∈Z.(3)曲線y＝tanx的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z，無對稱軸．(4)求曲線y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ))的對稱中心(或?qū)ΨQ軸)，只需令ωx＋φ等于對應(yīng)的值，求出x即可．eq\o(□,\s\up1(16))三角恒等變換(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.(2)二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).eq\o(□,\s\up1(17))正、余弦定理及其推論(1)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)?a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC?a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(3)三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有A＋B＋C＝π?C＝π－(A＋B)?eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A＋B,2)?2C＝2π－2(A＋B)．(4)三角形面積公式S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC(A，B，C是△ABC的三邊a，b，c所對的角)eq\o(□,\s\up1(18))平面向量(1)平面向量共線的坐標(biāo)表示的兩種形式①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1，此形式對任意向量a，b(b≠0)都適用．②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x2y2≠0，則a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).需要注意的是可以利用eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)來判定a∥b，但是反過來不一定成立．(2)有關(guān)數(shù)量積應(yīng)用的常見結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則①a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.②|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).③cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).eq\o(□,\s\up1(19))等差數(shù)列(1)等差數(shù)列的判斷方法①定義法：an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．②通項公式法：an＝a1＋(n－1)d(其中a1，d為常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．③等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．④前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．(2)等差數(shù)列前n項和的最大值、最小值的求法①通項公式法：當(dāng)a1>0，d<0時，Sn有最大值，可由an≥0且an＋1≤0求得n，從而求出Sn的最大值；當(dāng)a1<0，d>0時，Sn有最小值，可由an≤0且an＋1≥0求得n，從而求出Sn的最小值．②二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法求Sn的最值．值得注意的是n∈N*，因此等差數(shù)列前n項和取得最值時n的值可能不是一個值，也有可能是兩個值．eq\o(□,\s\up1(20))等比數(shù)列的判斷方法(1)定義法：eq\f(an＋1,an)＝q(q為常數(shù)且q≠0，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為常數(shù)且q≠0，n≥2)?{an}為等比數(shù)列．(2)等比中項法：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列．(3)通項公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q為非零常數(shù)，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列．[提醒]判斷一個數(shù)列是否是等比數(shù)列，還有一種直觀的判斷方法，即前n項和公式法：若Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)，則數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列．但此方法不能用于證明一個數(shù)列是等比數(shù)列．eq\o(□,\s\up1(21))數(shù)列中項的最值的求法(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)＝an，利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進行求解，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制．(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解，由不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求解出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化，進而確定相應(yīng)的最值．(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解：若求數(shù)列{an}的最大項，則可解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若求數(shù)列{an}的最小項，則可解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1，))求出n的取值范圍之后再確定取得最值的項．eq\o(□,\s\up1(22))不等式的解法(1)分式不等式的解法分式不等式eq\f(f（x）,g（x）)>0(或<0)的求解可應(yīng)用同解原理，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0)；eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x）≠0，,f（x）·g（x）≥0（≤0）.))[提醒]對于解分式不等式，將分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式時，如果不等式是含有等號的不等式形式，則很容易忘掉分母不為0的情形，從而導(dǎo)致出錯；另一種可能出現(xiàn)錯誤的情形是在兩邊進行平方時，容易擴大或縮小不等式的范圍．(2)指數(shù)、對數(shù)不等式的解法①解指數(shù)、對數(shù)不等式的依據(jù)是指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，因而同底法是解指數(shù)、對數(shù)不等式的基本方法．當(dāng)然最終的目的是將它們轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，其主要類型和解法有：(i)af(x)>aφ(x)?f(x)>φ(x)(a>1)或f(x)<φ(x)(0<a<1)．(ii)logaf(x)>logaφ(x)?f(x)>φ(x)>0(a>1)或0<f(x)<φ(x)(0<a<1)．②在解對數(shù)不等式時，要注意變形的等價性；也要注意底數(shù)大于零且不等于1，真數(shù)大于零的制約因素．(3)一元二次不等式的恒成立問題①在實數(shù)集R上，ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立，則a>0(a<0)，且Δ<0，反之也成立；ax2＋bx＋c≥0(≤0)恒成立，則a>0(a<0)，且Δ≤0，反之也成立．②若一元二次不等式在某一區(qū)間上恒成立，則可結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)圖象在這個區(qū)間上與對稱軸的相對位置，列出不等式恒成立時滿足的條件即可．③一般地，不等式恒成立的問題通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決．如f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a.eq\o(□,\s\up1(23))簡單的線性規(guī)劃(1)畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的基本要點①畫線——畫出不等式對應(yīng)的方程所表示的直線(如果原不等式中含有等號，則畫成實線，否則，畫成虛線)．②定域——將某個區(qū)域位置明顯的特殊點的坐標(biāo)代入不等式，根據(jù)“同側(cè)同號、異側(cè)異號”的規(guī)律確定不等式所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè)．③求“交”——如果平面區(qū)域是由不等式組所確定的，則在確定了各個不等式所表示的區(qū)域后，再求這些區(qū)域的公共部分，這個公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域．這種方法俗稱“直線定界，特殊點定域”．(2)線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值問題①作圖——畫出約束條件(不等式組)所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線l.②平移——將直線l平移，確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點的位置．③求值——解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值．[提醒]最優(yōu)解有時是唯一的，有時不是唯一的，甚至是無窮多的．(3)求解線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整點解當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整點解不在可行域的頂點或邊界處取得，此時不能直接代入頂點坐標(biāo)求最值，可用下面的方法求解．①平移直線法：先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格，再描整點，平移目標(biāo)函數(shù)所表示的直線，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點坐標(biāo)就是最優(yōu)整點解．②檢驗優(yōu)值法：當(dāng)可行域內(nèi)整點個數(shù)較少時，也可將整點坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)求值，經(jīng)過比較得出最優(yōu)整點解．③調(diào)整優(yōu)值法：先求非整數(shù)點最優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方程知識調(diào)整最優(yōu)值，最后篩選出最優(yōu)整點解．eq\o(□,\s\up1(24))基本不等式(1)基本不等式的變形①根式形式：a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．②整式形式：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)，以上不等式當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．③分式形式：eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．④倒數(shù)形式：a＋eq\f(1,a)≥2(a>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時，等號成立；a＋eq\f(1,a)≤－2(a<0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－1時，等號成立．(2)利用基本不等式求最值①對于正數(shù)x，y，若積xy是定值p，則當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(p).②對于正數(shù)x，y，若和x＋y是定值s，則當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)s2.③已知a，b，x，y為正實數(shù)，若ax＋by＝1，則有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(ax＋by)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.④已知a，b，x，y為正實數(shù)，若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，則有x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.[提醒]利用基本不等式求最大值、最小值時應(yīng)注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相關(guān)項必須是正數(shù)；②求積xy的最大值時，要看和x＋y是否為定值，求和x＋y的最小值時，要看積xy是否為定值，求解時，常用到“拆項”“湊項”等解題技巧；③當(dāng)且僅當(dāng)各項相等時，才能取等號．以上三點應(yīng)特別注意，缺一不可．eq\o(□,\s\up1(25))空間幾何體的表面積和體積(1)直棱柱的側(cè)面積：S側(cè)＝cl(c是底面周長，l為側(cè)棱長)．正棱錐的側(cè)面積：S側(cè)＝eq\f(1,2)ch′(c是底面周長，h′為斜高)．正棱臺的側(cè)面積：S側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c，c′分別是上、下底面周長，h′為斜高)．圓柱的側(cè)面積：S側(cè)＝cl＝2πrl(c是底面周長，l為母線長)．圓錐的側(cè)面積：S側(cè)＝eq\f(1,2)cl＝πrl(c是底面周長，l為母線長)．圓臺的側(cè)面積：S側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝π(r＋r′)l(c，c′分別是上、下底面周長，l為母線長)．球的表面積：S＝4πR2.(2)柱體的體積：V柱＝Sh(S為底面積，h是柱體的高)．錐體的體積：V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面積，h是錐體的高)．球的體積：V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,3)S表R.eq\o(□,\s\up1(26))球的組合體(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．(2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長．(3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為eq\f(\r(6),12)a(正四面體高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(1,4))，外接球的半徑為eq\f(\r(6),4)a(正四面體高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(3,4))．eq\o(□,\s\up1(27))證明空間位置關(guān)系的方法(1)線面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b?α,a?α))?a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a?β))?a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,a⊥β,a?α))?a∥α.(2)線線平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))?c∥b.(3)面面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∩b＝O,a∥β，b∥β))?α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))?α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∥β))?α∥γ.(4)線線垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b?α))?a⊥b.(5)線面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∩b＝O,l⊥a，l⊥b))?l⊥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α，a⊥l))?a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))?a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α.(6)面面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,a⊥α))?α⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,a⊥α))?α⊥β.[提醒]利用定理證明線面關(guān)系時要注意結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征，尤其要注意靈活利用正棱柱、正棱錐等特殊幾何體的性質(zhì)，進行空間線面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．eq\o(□,\s\up1(28))空間向量的坐標(biāo)運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則(1)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；(2)a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)；(3)a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(b≠0)；(4)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))；(5)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))(a≠0，b≠0)；(6)點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)間的距離d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2).eq\o(□,\s\up1(29))空間向量的應(yīng)用(1)夾角公式：設(shè)非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))).推論：(a1b1＋a2b2＋a3b3)2≤(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))．(2)異面直線所成的角：cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a|·|b|)＝eq\f(|a1b1＋a2b2＋a3b3|,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))，其中θ(0°<θ≤90°)為異面直線a，b所成的角，a，b分別表示異面直線a，b的方向向量．(3)直線AB與平面α所成的角θ滿足：sinθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，m〉|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·m|,\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|·|m|))(m是平面α的法向量)．(4)二面角α-l-β的平面角θ滿足：|cosθ|＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(|m·n|,|m|·|n|)(m，n分別是平面α，β的法向量)．[提醒]在處理實際問題時，要根據(jù)具體圖形確定二面角的平面角是銳角還是鈍角，以確定角的大小．(5)點B到平面α的距離：d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)(n為平面α的法向量，A∈α，AB是平面α的一條斜線段)．eq\o(□,\s\up1(30))直線(1)直線方程的5種形式名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直線上一定點，k是斜率不垂直于x軸斜截式y(tǒng)＝kx＋bk是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩定點不垂直于x軸和y軸截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過原點一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)A，B都不為零時，斜率為－eq\f(A,B)，在x軸上的截距為－eq\f(C,A)，在y軸上的截距為－eq\f(C,B)任何位置的直線(2)兩條直線的位置關(guān)系①已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，A2，B2全不為0)，則l1，l2相交?eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)，l1∥l2?eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)，l1，l2重合?eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2).當(dāng)A1，B1，A2，B2中有0時，應(yīng)單獨討論．②直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0，且Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)垂直?A1A2＋B1B2＝0.[提醒]討論兩條直線的位置關(guān)系時應(yīng)注意斜率不存在或斜率為0的情況，當(dāng)兩條直線中一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，它們也垂直．eq\o(□,\s\up1(31))圓(1)圓的四種方程①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．②圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．③圓的參數(shù)方程：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ,y＝b＋rsinθ))(θ為參數(shù))．④圓的直徑式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圓的直徑的端點是A(x1，y1)，B(x2，y2))．(2)直線與圓的位置關(guān)系直線l：Ax＋By＋C＝0和圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)有相交、相離、相切三種情況．可從代數(shù)和幾何兩個方面來判斷：①代數(shù)方法(判斷直線與圓的方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：Δ>0?相交；Δ<0?相離；Δ＝0?相切；②幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d<r?相交；d>r?相離；d＝r?相切．(3)圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)，則其位置關(guān)系的判斷方法如下表：方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法公切線的條數(shù)圓心距d與r1，r2的關(guān)系聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無解4外切d＝r1＋r2一組實數(shù)解3相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數(shù)解2內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解1內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解0eq\o(□,\s\up1(32))橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形幾何性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)頂點A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)軸線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸；長軸長為2a，短軸長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與長軸長的比值：e∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2[提醒]橢圓的離心率反映了焦點遠離中心的程度，e的大小決定了橢圓的形狀，反映了橢圓的圓扁程度．因為a2＝b2＋c2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(1－e2)，因此，當(dāng)e越趨近于1時，eq\f(b,a)越趨近于0，橢圓越扁；當(dāng)e越趨近于0時，eq\f(b,a)越趨近于1，橢圓越接近于圓．所以e越大橢圓越扁，e越小橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，c＝0時，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2＋y2＝a2.eq\o(□,\s\up1(33))雙曲線(1)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形幾何性質(zhì)范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱性對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實軸和虛軸；實軸長為2a，虛軸長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與實軸長的比值：e∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的關(guān)系a2＝c2－b2[提醒]1離心率e的取值范圍為(1，＋∞)．當(dāng)e越接近于1時，雙曲線開口越??；當(dāng)e越接近于＋∞時，雙曲線開口越大．2滿足||PF1|－|PF2||＝2a的點P的軌跡不一定是雙曲線，當(dāng)2a＝0時，點P的軌跡是線段F1F2的中垂線；當(dāng)0<2a<|F1F2|時，點P的軌跡是雙曲線；當(dāng)2a＝|F1F2|時，點P的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時，點P的軌跡不存在．(2)雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系①若雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，則漸近線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即y＝±eq\f(b,a)x.②若漸近線的方程為y＝±eq\f(b,a)x，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，則雙曲線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ.③若所求雙曲線與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共漸近線，其方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ>0，焦點在x軸上；λ<0，焦點在y軸上)．④焦點到漸近線的距離總是b.eq\o(□,\s\up1(34))拋物線(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形幾何性質(zhì)對稱軸x軸y軸頂點O(0，0)焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R離心率e＝1(2)拋物線焦點弦的常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線AB的傾斜角，則①焦半徑|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1＋cosα).②x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.③弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α).④eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p).⑤以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．⑥S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(O為拋物線的頂點)．eq\o(□,\s\up1(35))直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)弦長的求解方法設(shè)直線與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若直線AB的斜率存在(設(shè)為k)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|；若k≠0，則|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，其中|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)，|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).當(dāng)直線AB的斜率不存在時，可直接求出直線與圓錐曲線的交點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求弦長．(2)圓錐曲線中的最值問題①利用圓錐曲線的定義進行轉(zhuǎn)化，一般在三點共線時取得最值．②求圓錐曲線上的點到已知直線的距離的最值，則當(dāng)已知直線的平行線與圓錐曲線相切時，兩平行線間的距離即所求．③利用基本不等式求最值．eq\o(□,\s\up1(36))頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別①頻率具有隨機性，在不同的試驗中，同一事件發(fā)生的頻率可能不同；②概率是頻率的穩(wěn)定值，是一個確定的常數(shù)，不管進行多少次試驗，同一事件發(fā)生的概率是不變的．(2)聯(lián)系①頻率和概率都是用來刻畫隨機事件發(fā)生的可能性大小的量；②概率可看作頻率在理論上的期望值，隨試驗次數(shù)的增加，頻率可近似地作為這個事件的概率．eq\o(□,\s\up1(37))事件的關(guān)系與運算(1)包含關(guān)系：如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A，記作B?A(或A?B)．(2)相等事件：如果B?A且A?B，那么稱事件A與事件B相等，記作A＝B.(3)并(和)事件：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)，記作A∪B(或A＋B)．(4)交(積)事件：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)，記作A∩B(或AB)．(5)互斥事件：若A∩B為不可能事件(即A∩B＝?)，那么稱事件A與事件B互斥，其含義是事件A與事件B在任何一次試驗中都不會同時發(fā)生．(6)對立事件：若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件，其含義是事件A與事件B在任何一次試驗中有且只有一個發(fā)生．[提醒]互斥事件與對立事件都是指兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生以外，還要求二者必須有一個發(fā)生．因此，對立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是對立事件．eq\o(□,\s\up1(38))概率的幾個基本性質(zhì)(1)任何事件A的概率都在0～1之間，即0≤P(A)≤1.(2)若A?B，則P(A)≤P(B)．(3)必然事件發(fā)生的概率為1，不可能事件發(fā)生的概率為0.(4)當(dāng)事件A與事件B互斥時，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．注意沒有事件A與事件B互斥這一條件時，這個公式不成立．(5)若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＋P(B)＝1.[提醒]當(dāng)一事件的概率不易直接求，但其對立事件的概率易求時，可運用(5)，即用間接法求概率．eq\o(□,\s\up1(39))古典概型的概率公式如果隨機事件A包含的基本事件數(shù)為m，總的基本事件數(shù)為n，則P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件的個數(shù),總的基本事件的個數(shù))＝eq\f(m,n).[提醒]求解古典概型問題的步驟1判斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件A.2分別計算總的基本事件的個數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件的個數(shù)m.3利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率．eq\o(□,\s\up1(40))幾何概型的概率公式在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）).[提醒]在幾何概型中，“等可能”一詞應(yīng)理解為對應(yīng)于每個試驗結(jié)果的點落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無關(guān)．eq\o(□,\s\up1(41))幾何概型與古典概型的差異名稱古典概型幾何概型相同點基本事件發(fā)生的可能性相等不同點①基本事件有有限個；②P(A)＝0?A為不可能事件；③P(B)＝1?B為必然事件①基本事件有無限個；②P(A)＝0?A為不可能事件；③P(B)＝1?B為必然事件eq\o(□,\s\up1(42))均值的相關(guān)結(jié)論(1)E(k)＝k(k為常數(shù))．(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(4)若X1，X2相互獨立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．(5)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p.(6)若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np.[提醒]E(X)是一個常數(shù)，由X的分布列唯一確定，它描述X取值的平均狀態(tài)作為隨機變量X是可變的，可取不同的值．eq\o(□,\s\up1(43))方差的相關(guān)性質(zhì)結(jié)論(1)D(k)＝0(k為常數(shù))．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.(4)若X1，X2，…，Xn兩兩獨立，則D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)．[提醒]1隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度，其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位．2方差也是一個常數(shù)，它不具有隨機性，方差的值一定是非負(fù)的．eq\o(□,\s\up1(44))二項分布與正態(tài)分布(1)條件概率的計算公式：當(dāng)P(B)>0時，在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)；類似地，當(dāng)P(A)>0時，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).(2)二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，其中k＝0，1，…，n.(3)①若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(a<X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，其中φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)(x∈(－∞，＋∞)，σ>0)．②正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝μ對稱；σ(σ>0)的大小決定函數(shù)圖象的“胖”“瘦”；P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)＝0.9974.③在實際問題中進行概率、百分比計算時，關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個重要參數(shù)μ，σ求出，然后確定三個區(qū)間(范圍)：(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)與已知概率值進行聯(lián)系求解．eq\o(□,\s\up1(45))排列數(shù)、組合數(shù)公式及其相關(guān)性質(zhì)(1)排列數(shù)〈1〉公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)(m≤n，m，n∈N*)，Aeq\o\al(n,n)＝n?。絥(n－1)(n－2)…2·1(n∈N*)．〈2〉A(chǔ)eq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！)主要有兩個作用：①當(dāng)m，n較大時，可使用計算器快速算出結(jié)果；②對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形時常使用此公式．(2)組合數(shù)〈1〉公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）·…·（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)(m≤n，n，m∈N*)．2Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)主要有兩個作用：①當(dāng)m，n較大時，利用此公式計算組合數(shù)較為簡便；②對含有字母的組合數(shù)的式子進行變形或證明時，常用此公式．3組合數(shù)的性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)(m≤n，n，m∈N*)，Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)(m≤n，n，m∈N*)，Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.eq\o(□,\s\up1(46))求解排列組合問題常用的解題方法(1)元素相鄰的排列問題——“捆綁”法．(2)元素相間的排列問題——“插空”法．(3)元素有順序限制的排列問題——“除序”法，即先把這幾個有順序限制的元素及其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)．(4)帶有“含”“