新定義新概念專題

2022年中考復習二輪材料新定義新概念專題李建榮專題詮釋新定義新概念型試題作為新課標所引來的一種題型，往往設計新穎別致，頗具魅力，成為中考試題中的一朵朵奇葩。它的特點是給出新定義，再提出新問題，通過實驗、探究、猜想，接收、加工和利用信息的能力，讓考生在新概念下解決新問題；“新概念”閱讀題在考查學生觀察、閱讀、理解能力的同時，又給學生創(chuàng)造了一個個探索、創(chuàng)新與應用數(shù)學的機會，更加注重對數(shù)學思想方法、應用能力考查。很好地考查學生適應新情況，探究新方法，解決新問題的學習潛能與創(chuàng)新精神。解題策略和解法精講這類題以初中生已學知識為出發(fā)點，通過類比、引申、拓展給出新的數(shù)學概念（新的數(shù)學公式、新的數(shù)學運算、新的數(shù)學法則），考生從未接觸過，要求現(xiàn)學現(xiàn)用，其目的是考查學生的閱讀理解能力、遷移能力和創(chuàng)新能力，旨在培養(yǎng)學生自主學習、主動探究的學習方式。解答這類題目的關鍵是讀懂題意，確定探索方向，尋找合理的解題方法。解這類試題的關鍵是理解定義的內涵和外延，解題時運用已掌握的知識和方法理解“新定義”，做到“化生為熟”，現(xiàn)學現(xiàn)用。這部分考題由于問題的形式不同于常規(guī)題，因此，在審題方式、解題過程等方面與常規(guī)題有所區(qū)別，應注意加強針對性的練習。考點精講考點一：定義一種新數(shù)例1．（2022安徽蚌埠）A．200４B．2006C【分析】拋開對“理想數(shù)”的本質理解，解題的關鍵是抓住【解答】C【評注】新概念的解釋蘊含在對數(shù)量關系的描述中，只有對題目中各式的關系有透徹的理解，才能順利作答。例2．（2022浙江杭州）定義[]為函數(shù)的特征數(shù),下面給出特征數(shù)為[2m，1–m,–1–m]的函數(shù)的一些結論：①當m=–3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是(，)；②當m>0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于；③當m<0時，函數(shù)在x>時，y隨x的增大而減??；④當m0時，函數(shù)圖象經過同一個點.其中正確的結論有A.①②③④B.①②④C.①③④D.②④【分析】根據題意，當m=–3時，特征數(shù)為[-6,4,2]，代入定點坐標可驗證①的正確性。當m>0與m<0時，不難得到特征數(shù)的正負情況，進而據根與系數(shù)的關系搞定②③。同理，當m0時，得函數(shù)圖象經過同一個點?！窘獯稹緽【評注】二次函數(shù)解析式為初中知識的核心，根與系數(shù)的關系又能深度考查學生對知識的把握程度，題目設問角度不同，體現(xiàn)了層次性，而特征數(shù)這個新概念的出現(xiàn)，給題目傳統(tǒng)意味增添了一抹亮色?？键c二：定義一種新的運算例1．（2022浙江資陽）閱讀材料，尋找共同存在的規(guī)律：有一個運算程序a⊕b=n，可以使：（a+c）⊕b=n+c，a⊕（b+c）=n－2c，如果1⊕1=2，那么2022⊕2022=．【分析】由題意可得：2022⊕2022=（1+2022）⊕2022=1⊕2022+2022=1⊕（1+2022）+2022=1⊕1-2×2022+2022=2-2022=-2022．【解答】2022【評注】弄清新定義中的運算法則，轉化為代數(shù)式的運算、方程的運用，是解題的鑰匙。例2．（2022四川巴中）符號“f”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算結果如下：（1）f（1）=0，f(2)=1，f（3）=2，f（4）=3，……（2）……利用以上規(guī)律計算：【分析】觀察式子，分析運算結果與f（n）的本質關系，不難得出2022-2022=1【解答】1【評注】這道題引入了高中階段的數(shù)學符號f，新包裝，內核知識仍是初中階段最基礎的計算。很好地考查學生適應新情況，用已有經驗解決新問題的能力?？键c三：定義一種新的法則例1．（2022四川涼山）先閱讀下列材料，然后解答問題：材料1：從三張不同的卡片中選出兩張排成一列，有6種不同的排法，抽象成數(shù)學問題就是從3個不同的元素中選取2個元素的排列，排列數(shù)記為。一般地，從個不同的元素中選取個元素的排列數(shù)記作。（≤）例：從5個不同的元素中選取3個元素排成一列的排列數(shù)為：。材料2：從三張不同的卡片中選取兩張，有3種不同的選法，抽象成數(shù)學問題就是從3個元素中選取2個元素的組合，組合數(shù)為。LINKF:\\after\\OLE_LINK10\a\r一般地，從個不同的元素中選取個元素的排列數(shù)記作。（≤）例：從6個不同的元素選3個元素的組合數(shù)為：。問：（1）從某個學習小組8人中選取3人參加活動，有多少種不同的選法？（2）從7個人中選取4人，排成一列，有多少種不同的排法？【分析】根據所給信息,得到基本公式，辨別（1）和（2）哪個是排列，哪個是組合是正確解題的基礎?！窘獯稹俊驹u注】高中階段排列組合的知識提前呈現(xiàn)，因為是最基本的東西，考生并不難理解?？疾閷W生觀察、閱讀、理解能力的同時，又給學生創(chuàng)造了一個個探索、創(chuàng)新與應用數(shù)學的機會，解析解決這類新概念題型的關鍵是讀懂、理解新運算的規(guī)定。例2．(2022年江蘇鎮(zhèn)江)對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為<x>即：當n為非負整數(shù)時，如果則<x>＝n如：<0>＝<>＝0，<>＝<>＝1，<2>＝2，<>＝<>＝4，…試解決下列問題：（1）填空：①<π>＝（π為圓周率）；②如果<2x－1>＝3，則實數(shù)x的取值范圍為；（2）①當；②舉例說明不恒成立；（3）求滿足的所有非負實數(shù)x的值；（4）設n為常數(shù)，且為正整數(shù)，函數(shù)y＝x2－x＋的自變量x在n≤x≤n＋1范圍內取值時，函數(shù)值y為整數(shù)的個數(shù)記為a；滿足的所有整數(shù)k的個數(shù)記為b.求證：a＝b＝2n.【分析】（1）π≈3，所以精確到個位是3；根據定義得3-≤2x－1＜3+，解這個不等式組，可求得x的取值范圍；（2）①分別表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式；②舉出反例說明即可，如稍超過的兩個數(shù)相加；（3）為整數(shù)，設這個整數(shù)為k，易得這個整數(shù)應在應在k-和k+之間，包括kx-，不包括k+，求得整數(shù)k的值即可求得x的非負實數(shù)的值；（4）易得二次函數(shù)的對稱軸，那么可求得二次函數(shù)的函數(shù)值在相應的自變量的范圍內取值，進而求得相應的a的個數(shù)；利用所給關系式易得的整數(shù)個數(shù)為2n，由此得證．【解答】（1）①3；②；（2）①證明：設<x>＝n，則n－≤x＜n＋，n為非負整數(shù)；又(n＋m)－≤x＋m＜(n＋m)＋，且m＋n為非負整數(shù)，∴<x＋m>＝n＋m＝m＋<x>②舉反例：<>＋<>＝1＋1＝2，而<＋>＝<>＝1，∴<>＋<>≠<＋>，∴<x>＋<y>＝<x＋y>不一定成立．（3）∵x≥0，為整數(shù)，設＝k，k為整數(shù)則x＝，∴＜＞＝k，∴∵0≤k≤2，∴k＝0，1，2∴x＝0，（4）∵函數(shù)y＝x2－x＋＝(x－)2，n為整數(shù)，當n≤x＜n＋1時，y隨x的增大而增大，∴(n－)2≤y＜(n＋1－)2即(n－)2≤y＜(n＋)2，①∴n2－n＋≤y＜n2＋n＋，∵y為整數(shù)∴y＝n2－n＋1，n2－n＋2，n2－n＋3，…，n2－n＋2n，共2n個y.∴a＝2n②（8分）則③比較①，②，③得：a＝b＝2n【評注】這是一道創(chuàng)新題，要求我們讀懂定義，能用定義解決簡單的實際問題，然后能更進一步地結合已經學過的知識進行拓展，是一道不易的壓軸題，要在短時間解決此問題，要求平時的學習要有一定的創(chuàng)新思維，特別是自學習能力的培養(yǎng)顯得尤為重要．就這題而言，對不等式組，及不等式組的整數(shù)解的應用要掌握得非常熟練，對二次函數(shù)式的變形能力要求也較高．考點四：定義一種新的圖形例1．（2022浙江紹興）,,,,（1）求函數(shù)y＝x＋3的坐標三角形的三條邊長；（2）若函數(shù)y＝x＋b（b為常數(shù)）的坐標三角形周長為16,求此三角形面積.AAyOBx第21題圖【分析】由直線解析式y(tǒng)＝x＋3，分別令x與y=0，得到直線與兩坐標軸的交點坐標，直角邊一看便知，斜邊5也是不難看出的，這是一組典型的勾股數(shù)。坐標三角形的三條邊長分別為3,4,5。直線y＝x＋b相關問題的解決，仍立足于交點坐標，待定系數(shù)在進一步的周長限定中，通過建立一元一次方程得解?！窘獯稹拷猓?1)∵直線y＝x＋3與x軸的交點坐標為（4,0），與y軸交點坐標為（0,3），∴函數(shù)y＝x＋3的坐標三角形的三條邊長分別為3,4,5.(2)直線y＝x＋b與x軸的交點坐標為（,0），與y軸交點坐標為（0,b），當b>0時,，得b=4，此時,坐標三角形面積為；當b<0時，，得b=－4，此時,坐標三角形面積為.綜上,當函數(shù)y＝x＋b的坐標三角形周長為16時,面積為．【評注】本題涉及一次函數(shù)與三角形的基礎知識，解答這道題目的關鍵不是對“坐標三角形”這個新概念的理解，而是從坐標系與解析式中尋求“形”與“數(shù)”的關聯(lián)，在數(shù)形結合中找到對應。例2．（2022湖南益陽）我們把對稱中心重合，四邊分別平行的兩個正方形之間的部分叫“方形環(huán)”，易知方形環(huán)四周的寬度相等.一條直線l與方形環(huán)的邊線有四個交點、、、．小明在探究線段與的數(shù)量關系時，從點、向對邊作垂線段、，利用三角形全等、相似及銳角三角函數(shù)等相關知識解決了問題．請你參考小明的思路解答下列問題：⑴當直線l與方形環(huán)的對邊相交時（如圖），直線l分別交、、、于、、、，小明發(fā)現(xiàn)與相等，請你幫他說明理由；⑵當直線l與方形環(huán)的鄰邊相交時（如圖），l分別交、、、于、、、，l與的夾角為，你認為與還相等嗎？若相等，說明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函數(shù)表示）.【分析】由△≌△，證得。條件變化后全等弱化為相似，通過對應邊的比例關系求解?！窘獯稹竣沤?在方形環(huán)中，∵∥∴∴△≌△∴……………5分⑵解法一：∵∴∽……………8分∴∵∴（或）……………10分①當時，tan=1,則②當時，則（或）……………12分解法二：在方形環(huán)中，又∵∴∥∴在與中，即（或）……………10分①當時，②當時，則（或）……………12分【評注】弄清新概念的意義，把新概念圖形分解轉化，化為我們熟悉的圖形，運用熟悉的知識加以解決.四．真題演練1.（2022年湖北黃石中考題）若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不產生進位現(xiàn)象，則稱n為“可連數(shù)”，例如32是“可連數(shù)”，因為32＋33＋34不產生進位現(xiàn)象；23不是“可連數(shù)”，因為23＋24＋25產生了進位現(xiàn)象，那么小于200的“可連數(shù)”的個數(shù)為.2．（2022年山東萊蕪中考題）已知：，，，…，觀察上面的計算過程，尋找規(guī)律并計算．3.（2022年湖南常德中考題）如圖3，一個數(shù)表有7行7列，設表示第i行第j列上的數(shù)(其中i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7).例如：第5行第3列上的數(shù).則（1）=；（2）此數(shù)表中的四個數(shù)滿足=.123432112343212345432345654345676545678765678987678910987圖34.（2022年安徽蚌埠中考題）定義：在平面內，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。如以正方形的四個頂點中某一點為起點,另一個頂點為終點作向量,可以作出8個不同的向量:、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一個）。圖一⑴作兩個相鄰的正方形(如圖一)。以其中的一個頂點為起點,另一個頂點為終點作向量,可以作出不同向量的個數(shù)記為，試求的值；圖一⑵作個相鄰的正方形(如圖二)“一字型”排開。以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為，試求的值；圖二…圖二共n個正方形⑶作個相鄰的正方形(如圖三)排開。以其中的一個頂點為起點,另一個頂點為終點作向量,可以作出不同向量的個數(shù)記為，試求的值；圖圖三⑷共m個正方形相連作個相鄰的正方形(如圖四)排開。以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量,可以作出不同向量的個數(shù)記為，試求的值。共m個正方形相連共共n個正方形相連圖四圖四【答案】1.242.2103.（1）0（2）04.⑴⑵⑶=34⑷=2（）+4（）第二部分練習部分1.（2022年廣東珠海中考題）我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，計算機程序使用的是二進制數(shù)（只有數(shù)碼0和1），它們兩者之間可以互相換算，如將(101)2,(1011)2換算成十進制數(shù)應為：按此方式，將二進制(1001)2換算成十進制數(shù)的結果是_______________.2.（2022年貴州銅仁中考題）定義運算“@”的運算法則為：x@y＝xy－1，則(2@3)@4＝____．3.（2022年安徽蚌埠中考題）若表示不超過的最大整數(shù)（如等），則_________________。4.（2022年山東東營中考題）把一個圖形先沿著一條直線進行軸對稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動對稱變換．在自然界和日常生活中，大量地存在這種圖形變換（如圖甲）．結合軸對稱變換和平移變換的有關性質，你認為在滑動對稱變換過程中，兩個對應三角形（如圖乙）的對應點所具有的性質是()(A)對應點連線與對稱軸垂直(B)對應點連線被對稱軸平分(C)對應點連線被對稱軸垂直平分(D)對應點連線互相平行5.（2022年江蘇常州中考題）小明在研究蘇教版《有趣的坐標系》后，得到啟發(fā)，針對正六邊形OABCDE，自己設計了一個坐標系如圖，該坐標系以O為原點，直線OA為軸，直線OE為軸，以正六邊形OABCDE的邊長為一個單位長。坐標系中的任意一點P用一有序實數(shù)對（）來表示，我們稱這個有序實數(shù)對（）為點P的坐標。坐標系中點的坐標的確定方法如下：（?。┹S上點M的坐標為（），其中為M點在軸上表示的實數(shù)；（ⅱ）軸上點N的坐標為（），其中為N點在）軸上表示的實數(shù)；（ⅲ）不在、軸上的點Q的坐標為（），其中為過點Q且與軸平行的直線與軸的交點在軸上表示的實數(shù)，為過點Q且與軸平行的直線與軸的交點在軸上表示的實數(shù)。則：（1）分別寫出點A、B、C的坐標（2）標出點M（2，3）的位置；（3）若點為射線OD上任一點，求與所滿足的關系式。6.（2022年浙江臺州中考題）類比學習：一動點沿著數(shù)軸向右平移3個單位，再向左平移2個單位，相當于向右平移1個單位．用實數(shù)加法表示為3+（）=1．若坐標平面上的點作如下平移：沿x軸方向平移的數(shù)量為a（向右為正，向左為負，平移個單位），沿y軸方向平移的數(shù)量為b（向上為正，向下為負，平移個單位），則把有序數(shù)對{a，b}叫做這一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}與“平移量”{c，d}的加法運算法則為．解決問題：（1）計算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．（2）①動點P從坐標原點O出發(fā)，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把動點P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置還是點B嗎?在圖1中畫出四邊形OABC.②證明四邊形OABC是平行四邊形.（3）如圖2，一艘船從碼頭O出發(fā)，先航行到湖心島碼頭P（2，3），再從碼頭P航行到碼頭Q（5，5），最后回到出發(fā)點O.請用“平移量”加法算式表示它的航行過程．（第（第22題）yO圖2Q（5,5）P（2,3）yO圖111xx7.（2022年江蘇連云港中考題）（本題滿分10分）如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線．如，平行四邊形的一條對線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線．（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有________；（2）如圖1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長DC到E，使CE＝AB，連接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE．請你給出這個結論成立的理由，并過點A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；ADBADEBADCFEBADDQFEBAD圖1ADBADCFEBADDQFEBAD圖2（3）如圖，四邊形ABCD中，AB與ADBADEBADCFEBADDQFEBAD圖1ADBADCF