第四章高階微分方程

第四章高階微分方程第一頁，共十三頁，2022年，8月28日本章小結(jié)一、解的性質(zhì)線性微分方程解的性質(zhì)：齊（非）線性方程解的疊加性；n階齊線性方程解的結(jié)構(gòu)及其空間性質(zhì)；基本解組及其意義；非線性方程與線性方程解的關(guān)系。二、求解的方法關(guān)于線性微分方程的解法有5種：基本解組的特征根方法（或歐拉待定指數(shù)函數(shù)方法）；求常系數(shù)非齊線性方程的特解的待定系數(shù)法和拉普拉斯變換法；求一般非齊線性方程特解的常數(shù)變易法；求一般二階齊線性方程的特解的冪級(jí)數(shù)解法。三、主要方法特征根方法、常數(shù)變易法和冪級(jí)數(shù)解法。同時(shí)注意不同的方法用于求解不同形式的方程。第二頁，共十三頁，2022年，8月28日一、基本內(nèi)容線性微分方程的一般理論：解的性質(zhì);常系數(shù)線性方程的解法;高階方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法.特征根方法、常數(shù)變易法、比較系數(shù)（同類項(xiàng)）法、降階法和冪級(jí)數(shù)解法。同時(shí)注意不同的方法用于求解不同形式的方程。常數(shù)變易法、特征根法和比較系數(shù)法。二、主要方法三、重點(diǎn)和難點(diǎn)第三頁，共十三頁，2022年，8月28日n階線性微分方程n階常系數(shù)線性微分方程n階齊次線性微分方程常系數(shù)齊線性微分方程的求解-如果？比較系數(shù)法Laplace變換法有無其它方法？？?歐拉指數(shù)法降階法和冪級(jí)數(shù)解法第四頁，共十三頁，2022年，8月28日四、例題選講例1、求方程的通解。1、分析得知原方程是一個(gè)線性常系數(shù)非齊次微分方程。其求解方法為先求對(duì)應(yīng)齊線性微分方程的通解。方法：特征根方法。2、再利用比較系數(shù)方法求原方程的一個(gè)特解。（分析函數(shù)f(t)的特點(diǎn)?。ㄒ髮W(xué)生說明如何求對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解?。┓治觯旱谖屙?，共十三頁，2022年，8月28日3、設(shè)特解為：4、將特解代入原方程，化簡得：5、比較同類項(xiàng)的系數(shù)得到：從而有特解：6、原方程的通解（解的結(jié)構(gòu)理論）：注：還可以用復(fù)數(shù)方法求解。第六頁，共十三頁，2022年，8月28日例2、求解方程解：1、分析得知原方程是一個(gè)高階微分方程，并不顯含自變量t。于是，令，則有2、原方程變?yōu)椋?、求解新方程4、變量還原，有通解為：第七頁，共十三頁，2022年，8月28日例3、一個(gè)物體在大氣中降落，初速度為零，空氣阻力與速度的平方成正比例，求該物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（應(yīng)用題！）解：1、分析實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型（即數(shù)學(xué)表達(dá)式）2、背景知識(shí)：牛頓第二定理F=ma3、F=mg-k.速度的平方4、轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：mg空氣阻力下降第八頁，共十三頁，2022年，8月28日6、求解，得到考慮空氣阻力時(shí)，自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：5、初始條件為：第九頁，共十三頁，2022年，8月28日例4、求解方程解：分析：不顯含未知函數(shù)，于是令:于是有（2階伯努利方程－Bernoulli）如果，又令得到因此，求解并還原變量得到原方程的解:如果，得到原方程的一個(gè)解為：第十頁，共十三頁，2022年，8月28日例5給定方程，其中在上連續(xù)，設(shè)是上述方程的兩個(gè)解，證明極限存在。P1667分析：原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程有基本解組：而是原方程的兩個(gè)解，則由定理知是對(duì)應(yīng)齊次線性方程的解，于是有則存在。第十一頁，共十三頁，2022年，8月28日例6、求解方程點(diǎn)評(píng)：（1）用非齊次線性微分方程的性質(zhì)（兩個(gè)線性方程）；（2）常數(shù)變易法。第十二頁，共十三頁，2022年，8月28日例7求方程的解。解：利用Laplace變換方法求