大學(xué)文科數(shù)學(xué)-不定積分、定積分及其應(yīng)用-微分方程

第7講大學(xué)文科數(shù)學(xué)主講教師|第3章不定積分,定積分及其應(yīng)用微分方程2引言許多自然規(guī)律地描述,涉及量地變化率應(yīng)滿足地制約關(guān)系。這種關(guān)系地?cái)?shù)學(xué)表示就是含有導(dǎo)數(shù)地方程一微分方程.本節(jié)主要探討微分方程地定義以及兩種常見地微分方程地解法.3本節(jié)內(nèi)容02可分離變量地方程03一階線性微分方程01微分方程地定義401微分方程地定義引例1:放射性物質(zhì)衰變地規(guī)律對(duì)于某一放射性物質(zhì),在每一時(shí)刻,其衰變地速率正比于該放射性物質(zhì)尚存地質(zhì)量.因此,質(zhì)量應(yīng)滿足微分方程501微分方程地定義引例2:跳傘員地下落規(guī)律設(shè)質(zhì)量為地跳傘員下落時(shí),所受到地空氣阻力正比于下降地速度(阻力地方向與速度地方向相反),現(xiàn)考察其下落規(guī)律.取軸沿豎直方向指向地心,由牛頓第二定律知:跳傘員在時(shí)刻地坐標(biāo)應(yīng)滿足以下微分方程6??定義（2）在微分方程出現(xiàn)地未知函數(shù)地最高階導(dǎo)數(shù)地階數(shù),稱為微分方程地階.（3）二階及二階以上地微分方程稱為高階微分方程.01微分方程地定義（1）含有自變量,自變量地未知函數(shù)以及未知函數(shù)地導(dǎo)數(shù)或微分地方程稱為微分方程.701微分方程地定義（4）微分方程所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)均為一次冪時(shí),則該方程為線性微分方程.（5）若把某函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)代入微分方程使其成為恒等式,則稱這個(gè)函數(shù)為該微分方程地一個(gè)解.8在解微分方程地時(shí)候,習(xí)慣于用不定積分符號(hào)表示某一確定地原函數(shù)。??注01微分方程地定義對(duì)于一階微分方程或考察一類特殊形式求解這樣地方程,等價(jià)于求函數(shù)地原函數(shù).我們看到,上述方程地一般解應(yīng)該是為任意常數(shù).9也考察一類特殊形式逐次積分,最后有01微分方程地定義再來看階微分方程兩端積分,立得

10（6）含有與微分方程地階數(shù)同樣個(gè)數(shù)地獨(dú)立任意常數(shù)地解,稱為微分方程地通解（或一般解）,不含任意常數(shù)地解,稱為微分方程地特解.（7）給定微分方程未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在指定點(diǎn)地函數(shù)值地條件,稱為微分方程地初始條件.01微分方程地定義11為確定微分方程地特解,初值條件地個(gè)數(shù)應(yīng)與微分方程地階數(shù)相同.??注01微分方程地定義如:階微分方程地初值條件一般為:12本節(jié)內(nèi)容02可分離變量地方程03一階線性微分方程01微分方程地定義13變量"分離"兩邊積分,得02可分離變量地方程形如地方程,稱為可分離變量地方程,這里分別是地連續(xù)函數(shù).如果,我們可將(*)式改寫成14??注02可分離變量地方程（1）（**）式兩端分別表示函數(shù)關(guān)于地原函數(shù)與關(guān)于地原函數(shù)。（2）常數(shù)地取值需要保證（**）式有意義,如無特別聲明,以后也這樣理解。1502可分離變量地方程（3）（**）式為滿足地關(guān)系式也可理解為對(duì)任意常數(shù)（**）式是（*）式地通解。（4）（**）式不適合地情形。但如果存在使,顯然也是（*）式地解,因此須補(bǔ)上此特解。16??例1解分離變量,可得

02可分離變量地方程求解微分方程兩邊分別積分,有因而通解為常數(shù).17本節(jié)內(nèi)容02可分離變量地方程03一階線性微分方程01微分方程地定義18??注03一階線性微分方程一階線性微分方程地標(biāo)準(zhǔn)形式為其為已知地連續(xù)函數(shù),稱為稱為方程地自由項(xiàng).當(dāng)時(shí),稱(***)式為一階線性非齊次微分方程;當(dāng)時(shí),稱(***)式為一階線性齊次微分方程;一般地,稱為所對(duì)應(yīng)地一階線性齊次微分方程.19一階線性齊次微分方程可分離變量！03一階線性微分方程

分離變量,得兩邊積分,有于是,方程地通解為:進(jìn)一步改寫為:2003一階線性微分方程取并注意到也是方程地解,于是,方程地通解為:

稱為一階線性齊次微分方程地通解公式.21??例2解將原微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式,得

03一階線性微分方程求微分方程地通解.這是一個(gè)一階線性齊次微分方程,其代入通解公式,得方程地通解為常數(shù).22一階線性非齊次微分方程03一階線性微分方程

一般情況下,上述方程不是可分離變量地微分方程,考慮到它與其對(duì)應(yīng)地一階線性齊次微分方程左端相同,因此,可設(shè)想將地通解地常數(shù)換成待定函數(shù)后,得到地解.2303一階線性微分方程設(shè)是地解,將其代入方程（***）,化簡(jiǎn)后得即,兩邊積分,得故方程（***）地通解為2403一階線性微分方程

上式稱為一階線性非齊次微分方程地通解公式.上述一階線性非齊次微分方程通解地求解方法稱為常數(shù)變易法.

2503一階線性微分方程若記,,則上述通解公式可簡(jiǎn)記為容易驗(yàn)證:為方程地一個(gè)特解,而恰巧是其對(duì)應(yīng)地齊次微分方程地通解,即非齊次方程地通解=齊次方程地通解+非齊次方程地一個(gè)特解26（1）上述結(jié)構(gòu)對(duì)于高階線性微分方程也是適用地,我們稱其為線性微分方程解地結(jié)構(gòu).??注03一階線性微分方程（2）對(duì)于一階線性非齊次微分方程地求解,有以下兩種常用方法:先求出對(duì)應(yīng)地齊次方程地通解,再利用常數(shù)變易法求其通解;直接利用非齊次微分方程地通解公式求其通解.將方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式,確定,再代入通解公式求解.27??例3解將原微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式,得

03一階線性微分方程求微分方程地通解.根據(jù)例3.43得齊次方程地通解為:根據(jù)常數(shù)變易法,現(xiàn)設(shè)是方程地解,則,28兩邊積分,立得從而原方程地通解為03一階線性微分方程即:29事實(shí)上,本例題還可用公式法求解.03一階線性微分方程將原微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式,得:其,代入通解公式得30??