大學(xué)文科數(shù)學(xué)-函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性

第1章函數(shù),極限與連續(xù)第5講大學(xué)文科數(shù)學(xué)函數(shù)地連續(xù)性主講教師|2引言為了自然界有許多現(xiàn)象,如氣溫地變化,河水地流動(dòng),植物地生長等,都是連續(xù)變化地。這類現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上地反映,就是函數(shù)地連續(xù)性,它是微積分地又一重要概念.此外,還有很多實(shí)際問題地函數(shù)關(guān)系不是連續(xù)地,我們稱之為間斷。本節(jié)將研究函數(shù)地連續(xù)與間斷。3本節(jié)內(nèi)容02函數(shù)地間斷點(diǎn)03連續(xù)函數(shù)地性質(zhì)04閉區(qū)間上地連續(xù)函數(shù)01函數(shù)連續(xù)地定義401函數(shù)連續(xù)地定義??定義1.18.??注設(shè)變量從它地一個(gè)初值變到終值,終值與初值地差稱為變量地增量,記為,即:增量可以是正地,也可以是負(fù)地。"終值–初值"當(dāng)為正時(shí),變量從變到是增大地;當(dāng)為負(fù)時(shí),變量是減小地。501函數(shù)連續(xù)地定義??定義1.19"連續(xù)變化"地概念反映在數(shù)學(xué)上,是當(dāng)自變量地增量很微小時(shí),函數(shù)地增量也很微小。,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)地某鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量有增量時(shí),函數(shù)有相應(yīng)地增量若則稱在點(diǎn)處連續(xù),為地連續(xù)點(diǎn)。601函數(shù)連續(xù)地定義于是定義地表達(dá)式變?yōu)榇思春瘮?shù)連續(xù)地等價(jià)定義。事實(shí)上,若令則當(dāng)時(shí),相應(yīng)地有進(jìn)而

,701函數(shù)連續(xù)地定義??定義1.20（1）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)地某鄰域內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)地某鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)時(shí),恒有則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。,801函數(shù)連續(xù)地定義從定義可以看出,函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)需要同時(shí)滿足:（1）在點(diǎn)處有定義;（2）在點(diǎn)處極限存在,即;（3）在點(diǎn)處地極限值等于函數(shù)值,即當(dāng)這三條都滿足時(shí),就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。9??例1證明01函數(shù)連續(xù)地定義證明:函數(shù)在任意點(diǎn)處都連續(xù)。設(shè)自變量在處地增量為則函數(shù)地相應(yīng)增量為由于所以1001函數(shù)連續(xù)地定義

于是,當(dāng)時(shí),有從而由此可證:函數(shù)在任意點(diǎn)處都連續(xù)。11??例2證明證明:函數(shù)根據(jù)有界變量與無窮小量地乘積仍為無窮小量,得01函數(shù)連續(xù)地定義在處連續(xù).所以函數(shù)在處連續(xù).12??定義1.2101函數(shù)連續(xù)地定義如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)地每一點(diǎn)都連續(xù),則稱在內(nèi)連續(xù);如果函數(shù)在內(nèi)地每一點(diǎn)都連續(xù),且在左端點(diǎn)處右連續(xù),在右端點(diǎn)處左連續(xù),則稱在上連續(xù)。13??定理1.21函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)地充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)處既是左連續(xù)地又是右連續(xù)地。01函數(shù)連續(xù)地定義14本節(jié)內(nèi)容02函數(shù)地間斷點(diǎn)03連續(xù)函數(shù)地性質(zhì)04閉區(qū)間上地連續(xù)函數(shù)01函數(shù)連續(xù)地定義1502函數(shù)地間斷點(diǎn)??定義1.22間斷什么樣？如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù),則稱在點(diǎn)處間斷,點(diǎn)稱為地間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。（1）有定義;（2）;（3）沒有定義連續(xù)間斷不存在1602函數(shù)地間斷點(diǎn)根據(jù)上面地分析,對函數(shù)地間斷點(diǎn)進(jìn)行分類:對進(jìn)行連續(xù)延拓（1）在點(diǎn)地左,右極限與都存在且相等,但不等于或函數(shù)在點(diǎn)無定義,則稱為地可去間斷點(diǎn);1702函數(shù)地間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)地特點(diǎn)是函數(shù)在該點(diǎn)處地左,右極限都存在。（2）在點(diǎn)地左,右極限與都存在但不相等,則稱為地跳躍間斷點(diǎn);1802函數(shù)地間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)與振蕩間斷點(diǎn)都是第二類間斷點(diǎn)地特殊情形。??注（3）在點(diǎn)地左,右極限與至少有一個(gè)不存在,則稱為地第二類間斷點(diǎn)。特別地,若與至少有一個(gè)是無窮大,則稱為地?zé)o窮間斷點(diǎn);若不存在,且在?內(nèi)無限振蕩,則稱為地振蕩間斷點(diǎn)。19??例3解02函數(shù)地間斷點(diǎn)討論函數(shù)在點(diǎn)處地連續(xù)性.當(dāng)時(shí),,此時(shí)在點(diǎn)處連續(xù);2002函數(shù)地間斷點(diǎn)當(dāng)A≠6時(shí),此時(shí)在點(diǎn)處間斷,且為第一類間斷點(diǎn)地可去間斷點(diǎn).21??例402函數(shù)地間斷點(diǎn)討論函數(shù)在點(diǎn)處地連續(xù)性.解該函數(shù)在點(diǎn)處無定義,當(dāng)時(shí)函數(shù)值在與之間做無限次振蕩,則點(diǎn)是地第二類間斷點(diǎn),且為振蕩間斷點(diǎn).22??例502函數(shù)地間斷點(diǎn)解求函數(shù)地間斷點(diǎn)并判斷其類型。由于是初等函數(shù),除以及地點(diǎn)（即及）外都有定義。因此從而是地第二類間斷點(diǎn),具體地說,是無窮間斷點(diǎn)。首先,2302函數(shù)地間斷點(diǎn)其次,注意到故進(jìn)而類似地,進(jìn)而因此從而是地第一類間斷點(diǎn),具體地說,是跳躍間斷點(diǎn)。24本節(jié)內(nèi)容02函數(shù)地間斷點(diǎn)03連續(xù)函數(shù)地性質(zhì)04閉區(qū)間上地連續(xù)函數(shù)01函數(shù)連續(xù)地定義2503連續(xù)函數(shù)地性質(zhì)??注由于連續(xù)性是通過極限來定義地,因此根據(jù)極限地運(yùn)算法則易知,連續(xù)函數(shù)具有以下性質(zhì):??定理1.22連續(xù)函數(shù)地與,差,積,商（分母不為0）仍是連續(xù)函數(shù)。容易推知,三角函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)（例1.29）其它三角函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)地連續(xù)函數(shù),則它地反函數(shù)是區(qū)間上地單調(diào)連續(xù)函數(shù)。2603連續(xù)函數(shù)地性質(zhì)??注??定理1.23基本初等函數(shù),指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),三角函數(shù)與反三角函數(shù)互為反函數(shù),因此,可以由指數(shù)函數(shù)地單調(diào)連續(xù)性推知對數(shù)函數(shù)地連續(xù)性,由三角函數(shù)（在主值區(qū)間上）地單調(diào)連續(xù)性推知反三角函數(shù)地連續(xù)性。WOW？因?yàn)椴灰子?jì)算2703連續(xù)函數(shù)地性質(zhì)??定理1.24設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。??注根據(jù)定理地結(jié)論,由于在點(diǎn)連續(xù),故,即:進(jìn)而2803連續(xù)函數(shù)地性質(zhì)??定理1.24地極限存在（拓展）極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可交換順序函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),且存在,則不用管是否有定義地連續(xù)性??注不難證明,初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。29??例6解03連續(xù)函數(shù)地性質(zhì)求注意到極限號內(nèi)地函數(shù)是一個(gè)初等函數(shù),因此在其定義域內(nèi)連續(xù),而在其定義域內(nèi),故有30本節(jié)內(nèi)容02函數(shù)地間斷點(diǎn)03連續(xù)函數(shù)地性質(zhì)04閉區(qū)間上地連續(xù)函數(shù)01函數(shù)連續(xù)地定義3104閉區(qū)間上地連續(xù)函數(shù)實(shí)際問題,我們討論地函數(shù)往往只是定義在一個(gè)有界地閉區(qū)間上,此時(shí)連續(xù)函數(shù)具有很多十分有用地性質(zhì),下面簡要介紹一下。（最大值與最小值定理）如果函數(shù)在上連續(xù),則在上一定有最大值與最小值。（有界性定理）閉區(qū)間上地連續(xù)函數(shù)必有界。??推論??定理1.253204閉區(qū)間上地連續(xù)函數(shù)??定理1.26（介值定理或間值定理）如果函數(shù)在上連續(xù),與分別為在上地最大值與最小值,則對介于與之間地任一實(shí)數(shù)即,至少存在一點(diǎn)使abx1x2mMxyOy=f(x)xyOMcaξ1ξ2ξ3bmy=f(x)3304閉區(qū)間上地連續(xù)函數(shù)（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)在上連續(xù),且與異號,則至少存在一點(diǎn)使??推論介值定理對介于與之間地任一實(shí)數(shù)成立,特別地,如果則顯然有,于是可以找到滿足地點(diǎn),這正是初等數(shù)學(xué)方程地標(biāo)準(zhǔn)形式。于是,我們得到一個(gè)十分有用地結(jié)論:abxyOξy=f(x)34??例7