北師大新版七年級(jí)數(shù)學(xué)下兩直線的位置關(guān)系講義(含試題及答案)

一、知識(shí)概述1、同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種．（1）相交線：若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線．這個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)．（2）平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．注意：互相重合的直線通常看做一條直線．2、對(duì)頂角如圖，∠1和∠3，∠2和∠4有一個(gè)公共頂點(diǎn)，且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，叫做對(duì)頂角．3、對(duì)頂角性質(zhì)對(duì)頂角相等．4、補(bǔ)角和余角如果兩個(gè)角的和是180°，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．如圖，∠1＋∠2＝180°，則說(shuō)∠1與∠2互為補(bǔ)角，即∠1是∠2的補(bǔ)角，同時(shí)∠2也是∠1的補(bǔ)角．如果兩個(gè)角的和是90°，那么稱這兩個(gè)角互為余角．5、余角、補(bǔ)角的性質(zhì)同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等．6、垂線定義：兩條直線相交成四個(gè)角，如果有一個(gè)角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．直線AB與CD互相垂直，記作“AB⊥CD”，讀作“AB垂直于CD”．若直線與直線m垂直，記作．7、垂線性質(zhì)（1）平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．①兩直線垂直的位置關(guān)系是用角來(lái)刻畫(huà)的；②兩直線垂直并不限于橫平豎直的位置，要善于認(rèn)識(shí)不同位置圖形的垂直情況，如圖．今后遇到線段、射線間的垂直，都是指它們所在直線互相垂直，垂足可能在線段（或射線）上，也可能在線段的（或射線的反向）延長(zhǎng)線上.8、點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離.注意：垂線段：是一個(gè)幾何圖形；距離：是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量是垂線段的長(zhǎng)度．二、典型例題講解例1、如圖，兩條筆直的街道AB、CD相交于點(diǎn)O，街道OE、OF分別平分、，請(qǐng)說(shuō)明街道EOF是筆直的．

分析：要說(shuō)明街道EOF是筆直的，也就是要判斷EOF是一條直線，只需判斷，因?yàn)椋灾灰蟪黾纯桑猓阂驗(yàn)榕c是對(duì)頂角，所以.又因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以，即，所以EOF是一條直線，即街道EOF是筆直的．例2、已知，如圖，直線AB、CD互相垂直，垂足為O，直線EF過(guò)點(diǎn)O，∠DOF＝32°，你能求出∠AOE的度數(shù)嗎？分析：我們由AB⊥CD可知∠AOC＝90°，因此，∠AOE與∠EOC互余.又因?yàn)椤螮OC與∠DOF是對(duì)頂角，于是∠EOC＝32°，于是∠AOE可求.解法一：∵直線CD與EF交于O（已知），∴∠EOC＝∠DOF（對(duì)頂角相等）.∵∠DOF＝32°（已知），∴∠EOC＝32°（等量代換）.∵AB、CD互相垂直（已知），∴∠AOC＝90°（垂直定義）.∴∠AOE＋∠EOC＝90°.∴∠AOE＝90°－∠EOC＝90°－32°＝58°.

解法二：∵直線AB、CD互相垂直（已知），∴∠BOD＝90°（垂直定義）.∴∠BOF＋∠DOF＝90°.∵∠DOF＝32°（已知），∴∠BOF＝90°－∠DOF＝58°.∵直線AB與直線EF交于點(diǎn)O（已知），∴∠AOE＝∠BOF（對(duì)頂角相等）.∴∠AOE＝58°.反思：第一種解法先用對(duì)頂角后用互余，第二種解法先用互余后用對(duì)頂角，我們?cè)谄綍r(shí)做題時(shí)也應(yīng)該多想多做，多角度分析解決問(wèn)題.例3、如圖，直線AB交CD于點(diǎn)O，由點(diǎn)O引射線OG、OE、OF，使OC平分∠EOG，∠AOG＝∠FOE，∠BOD＝56°，求∠FOC.分析：要求∠FOC，根據(jù)已知條件只有∠BOD＝56°，因此應(yīng)從∠FOC與∠BOD的關(guān)系入手求解.解：∵OC平分∠EOG，∴∠1＝∠2.（角平分線定義）∵∠FOE＝∠AOG，∴∠FOE＋∠1＝∠AOG＋∠2即∠FOC＝∠AOC.（等式的性質(zhì)）又∵AB、CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角．由“對(duì)頂角相等”，可得∠AOC＝∠BOD.∴∠FOC＝∠BOD，∵∠BOD＝56°，∴∠FOC＝56°．例4、已知兩條相交直線所組成的四個(gè)角中有兩個(gè)角，其中一角比另一個(gè)角的4倍小15°，求這兩個(gè)角的度數(shù).分析：這兩個(gè)角可能是對(duì)頂角，也可能是互為補(bǔ)角，故有兩種情況．解：設(shè)另一個(gè)角為x度，則其中一個(gè)角為（4x－15）度，于是x＝4x－15或x＋(4x－15)＝180解得x＝5或x＝39這時(shí)4x－15＝5或141答：這兩個(gè)角為5°，5°或39°，141°．例5、如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，Q是CD上一點(diǎn)，（1）過(guò)點(diǎn)Q畫(huà)AB的垂線，E是垂足，（2）過(guò)點(diǎn)O畫(huà)CD的垂線．解析：要正確畫(huà)好垂線，要注意兩個(gè)方面：一方面要遵循“一靠二落三畫(huà)”，“一靠”即用三角板的一條直角邊靠在已知直線上，“二落”即使Q點(diǎn)落在另一條直角邊上，“三畫(huà)”即過(guò)Q點(diǎn)畫(huà)出與已知直線垂直的直線.另一方面要認(rèn)清過(guò)哪個(gè)點(diǎn)與哪條直線垂直．答案：如下圖．1、如圖，已知直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD．垂足為O，則圖中∠AOE和∠DOB的關(guān)系是（）A．同位角B．對(duì)頂角C．互為補(bǔ)角D．互為余角2、點(diǎn)到直線的距離是指（）A．直線外一點(diǎn)與這條直線上任意一點(diǎn)的距離B．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線的長(zhǎng)度C．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段D．直線外一點(diǎn)到這條線的垂線段的長(zhǎng)度3、可以判定兩條直線垂直的語(yǔ)句是（）A．對(duì)頂角相等B．兩鄰角的和等于180°C．所成的四個(gè)角均相等D．同角的補(bǔ)角相等4、如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長(zhǎng)不可能是（）A．2.5

B．3C．4

D．55、已知∠α是銳角，∠α與∠β互補(bǔ)，∠α與∠γ互余，則∠β－∠γ的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°6、如圖，CD⊥AB，垂足為D，AC⊥BC，垂足為C．圖中線段的長(zhǎng)能表示點(diǎn)到直線（或線段）距離的線段有（）A．1條

B．3條C．5條

D．7條7、下列說(shuō)法中，正確的是（）A．一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線B．P是直線l外一點(diǎn)，A，B，C分別是l上的三點(diǎn)，已知PA＝1，PB＝2，PC＝3，則點(diǎn)P到l的距離一定是1C．相等的角是對(duì)頂角D．鈍角的補(bǔ)角一定是銳角8、若AO⊥BO，垂足為O，∠AOC∶∠AOB＝2∶9，則∠BOC的度數(shù)等于（）A．20°B．70°C．110°

D．70°或110°9、如圖，OA⊥OB，OC⊥OD，則下列敘述中正確的一項(xiàng)是（）A．∠AOC＝∠AODB．∠AOD＝∠BODC．∠AOC＝∠BODD．以上都不對(duì)DDCACCDDC二、解答題10、如圖，直線EF、BC相交于點(diǎn)O，∠AOC是直角，∠AOE＝115°，求∠COF的度數(shù).隱藏答案解：觀察圖形并結(jié)合題意可以得到兩種方法求∠COF.一是利用余角定義90°－∠AOF；一是利用對(duì)頂角相等∠BOE＝∠COF.解法一：因?yàn)椤螦OE＝115°（已知），所以∠AOF＝180°－115°＝65°（平角定義）.所以∠COF＝90°－∠AOF＝90°－65°＝25°.解法二：因?yàn)椤螦OE＝115°（已知），所以∠BOE＝115°－90°＝25°.所以∠COF＝∠BOE＝25°.11、兩條直線相交于一點(diǎn)，有多少個(gè)不同的對(duì)頂角？三條直線相交于一點(diǎn)，有多少對(duì)不同的對(duì)頂角？四條直線相交于一點(diǎn)，有多少對(duì)不同的對(duì)頂角？試根據(jù)此規(guī)律，歸納n條直線相交于一點(diǎn)，有多少對(duì)不同的對(duì)頂角.隱藏答案分析：先從特殊情形入手，尋找問(wèn)題的解決途徑：當(dāng)三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，有6對(duì)對(duì)頂角，當(dāng)三條直線兩兩相交時(shí)，同樣有6對(duì)對(duì)頂角；當(dāng)四條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，有12對(duì)對(duì)頂角，當(dāng)四條直線兩兩相交時(shí)，同樣有12對(duì)對(duì)頂角；……由此可知，直線相交于一點(diǎn)與直線兩兩相交，它們的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)是相同的．解：對(duì)頂角是兩條直線相交而構(gòu)成的，每?jī)蓷l直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)并且有兩對(duì)對(duì)頂角，所以“對(duì)頂角的對(duì)數(shù)＝直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍”．易知條直線兩兩相交時(shí)有個(gè)交點(diǎn)，則有對(duì)對(duì)頂角，所以當(dāng)條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，同樣有對(duì)對(duì)頂角．12、已知，如圖，AB⊥CD于O點(diǎn)，EF過(guò)O點(diǎn)，∠COE∶∠BOF＝2∶7，求∠AOE的度數(shù).隱藏答案解：設(shè)∠COE＝2x，則∠BOF＝7x，∠AOE＝∠BOF＝7x，因?yàn)椤螦OC＝90°，即∠COE＋∠AOE＝90°，2x＋7x＝90°，x＝10°，∴∠AOE＝7x＝70°．13、一個(gè)角的補(bǔ)角和這個(gè)角的余角的2倍互為補(bǔ)角，求這個(gè)角的度數(shù)．隱藏答案解：設(shè)這個(gè)角為x度，則這個(gè)角的補(bǔ)角是（180－x）度，這個(gè)角的余角是（90－x）度，由這個(gè)角的補(bǔ)角和這個(gè)角的余角的2倍互為補(bǔ)角，得1