復變函數(shù)-第1章

復變函數(shù)李崇君數(shù)學科學學院序言：復變函數(shù)介紹復變函數(shù)理論在19世紀由三位著名的數(shù)學家A.L.Cauchy(1789.8.21~1857.5.25)K.Weierstrass(1815.10.31~1897.2.19)B.Riemann(1826.9.17~1866.7.20)奠定了基礎.若從1826年Cauchy建立其積分公式算起，至今已有180多年的歷史，發(fā)展至今已經(jīng)相當成熟.參考《復變函數(shù)》李慶忠，科學出版社這三位數(shù)學家分別從完全不同的途徑來研究復變函數(shù)理論,而得到了殊途同歸的效果：Cauchy定義的解析函數(shù)f(z)是指其在區(qū)域內存在連續(xù)導數(shù)f’(z)

。K.Weierstrass定義的解析函數(shù)f(z)是指其在區(qū)域每一點的鄰域內可展為收斂的冪級數(shù)。B.Riemann則把復變函數(shù)分成實部和虛部來研究，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，而f(z)在區(qū)域解析是指u,v在此區(qū)域內存在一階連續(xù)偏導數(shù)而且滿足現(xiàn)在稱之為Cauchy－Riemann的方程。事實上，這三種定義都是彼此等價的。三人各成系統(tǒng)，各有特色，各自形成其學派：Cauchy建立了復變函數(shù)的積分理論（如第3章）

。Weierstrass建立了復變函數(shù)的級數(shù)理論

（如第4章）

。

Riemann建立了復變函數(shù)的幾何理論（如第6章）

。這三部分構成了復變函數(shù)的理論基礎。等價：解析正則

全純當初他們三人并不都稱他們定義的函數(shù)為解析（analytic）函數(shù)，而是各有各的名字，因此有正則（regular）函數(shù)和全純（holomorphic）函數(shù)的稱謂。16世紀解方程x2+1=01777歐拉（Euler）系統(tǒng)建立了復數(shù)理論,發(fā)現(xiàn)復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關系.虛數(shù)單位“i”，Euler公式Cauchy積分理論Weierstrass級數(shù)理論Riemann幾何理論連續(xù)可微可展為收斂的冪級數(shù)實、虛部連續(xù)偏導且滿足C-R方程解析函數(shù)：比較數(shù)學分析小結：Euler1707-1783瑞士數(shù)學家Cauchy1789-1857法國數(shù)學家Weierstrass

1815-1897德國數(shù)學家Riemann1826-1866德國數(shù)學家第一章復數(shù)與復變函數(shù)§1.1復數(shù)與復平面1.復數(shù)自然數(shù)（集）N整數(shù)（環(huán)）Z有理數(shù)（域）Q實數(shù)（域）R復數(shù)（域）C求解x+a=0,補充加法的逆元（負數(shù)）求解px=q,補充乘法的逆元（分數(shù)）求解x2=a,補充無理數(shù)求解x2=－1,補充虛數(shù),虛數(shù)單位i一維實數(shù)軸二維復平面定義1.1.2若復數(shù)，稱a和b分別為z的實部和虛部，且記為若則稱復數(shù)z為純虛數(shù).復數(shù)域C：實數(shù)域R上的二維線性空間，基底{1,i}，若則z為實數(shù).兩個復數(shù)相等復數(shù)的模定義為復數(shù)的共軛定義為復數(shù)的運算：加法：乘法：交換律：結合律：分配律：單位元：逆元：結論：復數(shù)域保持所有的代數(shù)運算習題：驗證注意：復數(shù)不能比較大?。。ㄅc實數(shù)的區(qū)別）反例：與非零實數(shù)平方大于零矛盾！復數(shù)模與共軛的一些基本性質：2.復數(shù)的幾何意義與極坐標表示復平面復數(shù)點向量優(yōu)點：復數(shù)的運算有了幾何直觀解釋.一一對應注意：自由向量可以平移，表示同一個復數(shù).復數(shù)加法(平行四邊形與三角形法則)復數(shù)減法指向被減數(shù)復數(shù)的模與輻角的模?？梢员容^大小，并且三角不等式：兩點距離：上一頁復數(shù)z的輻角定義為向量與實軸的夾角θ，記為注意：任一非零復數(shù)z有無窮多個輻角,z=0時，輻角無意義.輻角主值(主輻角分支):多值函數(shù)取支割線支割線輻角函數(shù)與輻角主值分支的聯(lián)系和區(qū)別:★是一個連續(xù)的多值函數(shù).★是限制在上取值的

不連續(xù)函數(shù)的單值函數(shù).例如:取沿逆時針方向沿順時針方向★

補充:關于多值函數(shù)的支點和支割線.支點:定義域中某一點,作一個包圍此點的圓周Γ,當變點z繞這點一整周時,多值函數(shù)從一支變到另一支.即,當變點回轉到原來位置時,函數(shù)值與原來的值不同.例如:輻角函數(shù)Argz

的支點為0和∞(無窮遠點).單值化:通過連接支點作支割線,割破復平面,使得任一閉曲線不能繞支點一周,從而得到單值分支.注意,多值函數(shù)分支的取值依賴于支割線的選取.例如:從原點出發(fā)的任意一條射(曲)線都可作為輻角函數(shù)Argz

的支割線.例如,θ=τ為支割線.例：計算復數(shù)－3+4i的模和輻角.解：思考題：求

的支點.結論：當變點

繞著定點轉一周時,發(fā)生改變.因此,是的唯一有限支點.支割線復數(shù)的極坐標表示（三角形式）：由直角坐標（x,y）與極坐標（r,θ）的關系特別，當r=1時的單位復數(shù)（單位圓周）再由歐拉公式得到復數(shù)的指數(shù)形式：單值函數(shù)，可任取一個輻角值利用極坐標可以簡化復數(shù)的乘除運算：復數(shù)乘除運算的幾何意義：模相乘，輻角相加.注意等式表示兩個數(shù)集的相等解：例1.1.2寫出

的極坐標形式.由于因此得到3.黎曼(Riemann)球面與擴充復平面考慮3維歐式空間R3中的單位球面黎曼球面球極投影復平面球極映射使得復平面上的點與球面除北極的點一一對應。在球極投影下，單位圓周(|z|=1)保持不變，單位圓外的點(|z|>1)投影在北半球，單位圓內(|z|<1)的點投影在南半球。特別，z平面的原點O的投影是黎曼球面的南極點。北極點投影在哪？易見球極投影還有如下特性：球面上的緯線圈是z平面上以原點為心的圓周的投影.球面上的經(jīng)線圈是z平面上過原點的直線的投影.球極投影保持這些曲線間的夾角（直角）不變.切線的夾角例1.1.3若黎曼球面上點在z平面上的投影是證明證明過北極N=(0,0,1)和點(x,y,0)的直線參數(shù)方程為即直線與球面的交點滿足解得對應北極點對應球面點Z此外，已知z求Z已知Z求z返回例1.1.4返回例1.1.5例1.1.4證明z平面上所有的直線和圓周在球極投影下對應于黎曼球面上的圓周。反之亦然。在球極投影的意義下，直線和圓周沒有區(qū)別.直線投影為過北極的圓周證明在z平面上通常的圓周或直線的方程為例1.1.3將例1.1.3中公式代入上式，得到由于注意到1-x3≠0,相除之3維空間平面方程與球面交線為圓周無窮遠點與擴充復平面黎曼球面球極投影復平面坐標變換北極點N不是復平面上任一（有限）點的投影。北極點N是復平面上模為無窮大的擴充復數(shù)的投影。記這個擴充復數(shù)為∞，稱為無窮大。稱為擴充復平面有北極的黎曼球面球極投影使得無窮遠點變成“平常點”無窮遠點的運算規(guī)定：(5)復平面上每一條直線過∞，沒有一個半平面包含∞。直線不是簡單閉曲線。例1.1.5設z和w是復平面上兩點，這兩點的球極投影Z和W的距離（3維空間中）為證明設在例1.1.3中取得到球面空間距離平面距離擴充復平面上定義兩點的距離：如果z,w∈C∞，定義z與w的距離d(z,w)為它們在球面上的投影Z與W在R3中的距離。因此，如果z,w∈C如果z∈C事實上，取代入例1.1.5即可得到。球面兩點距離有界此節(jié)結束§1.2復平面上的點集與復變函數(shù)1.復平面上的點集定義1.2.1設r是正實數(shù)，滿足不等式的所有點稱為開圓盤或以z0為中心，以r為半徑的鄰域，記為設G是復平面上一個集合，孤立點：但

不是G的聚點外點：但

不是G的聚點聚點或極限點：在

的任意鄰域都有G的無窮多個點邊界點：在

的任一鄰域中有屬于G和不屬于G的點是G的內點：且存在鄰域不必屬于G內點是聚點孤立點是邊界點例設G的內點：G的聚點：G的孤立點：G的邊界點：G的外點：G的邊界G的導集定義1.2.2若集合G的每個點都是它的內點，稱G為開集。設是復平面上n+1個點，對每個k=1,2,..,n,令lk

表示連接點wk

與wk+1

的線段。則形成的

連續(xù)鏈稱為連接w1

與wn+1

的折線或多邊形道路。若集合G內每一對點z1

與z2

都可用G內的折線連接起來，則稱集合G為連通集。連通的開集稱為區(qū)域。若集合G的聚點都在G內，則稱集合G為閉集。集合的邊界是閉集開集閉集非連通單位開圓盤單位閉圓盤開集的補(余)集是閉集區(qū)域加上邊界是閉域去心開圓盤★

連通性的重要性定理1.2.1設u(x,y)

是定義在區(qū)域D上的一個二元實值函數(shù)。若u在D上任意點的一階偏導數(shù)滿足則u在區(qū)域D上恒等于一個常數(shù)。事實上，若D僅僅是一個開集，則定理1.2.1不成立。反例：設開集則在D上但u在D上不是常數(shù)，而是分片常數(shù)。定義1.2.4若存在正實數(shù)R，使得對集合G內任一點z，都有都有，則稱G

為有界集。不是有界集的集合稱為無界集。一個有界閉集稱為緊集。想一想，有界集與無界集在球極投影的位置？2.復變函數(shù)定義1.2.5設A和B是復平面上兩個集合，若存在對應關系使得對集合A中每一個元素z都有集合B中的一個元素w與之對應，則稱f(z)為定義在A上的函數(shù)，記為若對每一個z∈A，有唯一的w∈B與z對應，稱f(z)為單值函數(shù)，否則稱f(z)為多值函數(shù)，其中w=f(z)稱為z的像。集合A稱為f(z)的定義域，所有像構成的集合稱為f(z)的值域。若則w的實部w的虛部★

復變函數(shù)的幾何意義定義域值域z-平面w-平面區(qū)域變換例1.2.1設則于是3.極限和連續(xù)定義1.2.6設

為復數(shù)點列，若對任意的，都存在一個正整數(shù)N，使得當n>N

時都有，則稱復數(shù)點列有極限或者收斂到，記為或者從幾何上看，即為當時容易驗證，如果則復數(shù)列實數(shù)列把“復”問題轉化為“實”問題實數(shù)列例1.2.2求下面點列的極限。解（1）由于（2）分子和分母都除以n得（3）存在收斂于不同極限的4個子列，故沒有極限。定義1.2.7設函數(shù)

定義在點集G上，為G的聚點.

設對使得當時，有或者從幾何上看，即為使得去心鄰域任意方式則稱

沿

在

有極限.

記為容易驗證，如果則與二元實函數(shù)的極限一致，有(1)極限存在則唯一。(2)極限存在的復函數(shù)的和，差，積，商（分母極限不為零）的極限等于極限的和，差，積，商。(定理1.2.2)(3)極限與