復(fù)變函數(shù)-第1章

復(fù)變函數(shù)李崇君數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院序言：復(fù)變函數(shù)介紹復(fù)變函數(shù)理論在19世紀(jì)由三位著名的數(shù)學(xué)家A.L.Cauchy(1789.8.21~1857.5.25)K.Weierstrass(1815.10.31~1897.2.19)B.Riemann(1826.9.17~1866.7.20)奠定了基礎(chǔ).若從1826年Cauchy建立其積分公式算起，至今已有180多年的歷史，發(fā)展至今已經(jīng)相當(dāng)成熟.參考《復(fù)變函數(shù)》李慶忠，科學(xué)出版社這三位數(shù)學(xué)家分別從完全不同的途徑來研究復(fù)變函數(shù)理論,而得到了殊途同歸的效果：Cauchy定義的解析函數(shù)f(z)是指其在區(qū)域內(nèi)存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)f’(z)

。K.Weierstrass定義的解析函數(shù)f(z)是指其在區(qū)域每一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展為收斂的冪級數(shù)。B.Riemann則把復(fù)變函數(shù)分成實(shí)部和虛部來研究，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，而f(z)在區(qū)域解析是指u,v在此區(qū)域內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)而且滿足現(xiàn)在稱之為Cauchy－Riemann的方程。事實(shí)上，這三種定義都是彼此等價的。三人各成系統(tǒng)，各有特色，各自形成其學(xué)派：Cauchy建立了復(fù)變函數(shù)的積分理論（如第3章）

。Weierstrass建立了復(fù)變函數(shù)的級數(shù)理論

（如第4章）

。

Riemann建立了復(fù)變函數(shù)的幾何理論（如第6章）

。這三部分構(gòu)成了復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)。等價：解析正則

全純當(dāng)初他們?nèi)瞬⒉欢挤Q他們定義的函數(shù)為解析（analytic）函數(shù)，而是各有各的名字，因此有正則（regular）函數(shù)和全純（holomorphic）函數(shù)的稱謂。16世紀(jì)解方程x2+1=01777歐拉（Euler）系統(tǒng)建立了復(fù)數(shù)理論,發(fā)現(xiàn)復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系.虛數(shù)單位“i”，Euler公式Cauchy積分理論Weierstrass級數(shù)理論Riemann幾何理論連續(xù)可微可展為收斂的冪級數(shù)實(shí)、虛部連續(xù)偏導(dǎo)且滿足C-R方程解析函數(shù)：比較數(shù)學(xué)分析小結(jié)：Euler1707-1783瑞士數(shù)學(xué)家Cauchy1789-1857法國數(shù)學(xué)家Weierstrass

1815-1897德國數(shù)學(xué)家Riemann1826-1866德國數(shù)學(xué)家第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)平面1.復(fù)數(shù)自然數(shù)（集）N整數(shù)（環(huán)）Z有理數(shù)（域）Q實(shí)數(shù)（域）R復(fù)數(shù)（域）C求解x+a=0,補(bǔ)充加法的逆元（負(fù)數(shù)）求解px=q,補(bǔ)充乘法的逆元（分?jǐn)?shù)）求解x2=a,補(bǔ)充無理數(shù)求解x2=－1,補(bǔ)充虛數(shù),虛數(shù)單位i一維實(shí)數(shù)軸二維復(fù)平面定義1.1.2若復(fù)數(shù)，稱a和b分別為z的實(shí)部和虛部，且記為若則稱復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).復(fù)數(shù)域C：實(shí)數(shù)域R上的二維線性空間，基底{1,i}，若則z為實(shí)數(shù).兩個復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)的模定義為復(fù)數(shù)的共軛定義為復(fù)數(shù)的運(yùn)算：加法：乘法：交換律：結(jié)合律：分配律：單位元：逆元：結(jié)論：復(fù)數(shù)域保持所有的代數(shù)運(yùn)算習(xí)題：驗(yàn)證注意：復(fù)數(shù)不能比較大?。。ㄅc實(shí)數(shù)的區(qū)別）反例：與非零實(shí)數(shù)平方大于零矛盾！復(fù)數(shù)模與共軛的一些基本性質(zhì)：2.復(fù)數(shù)的幾何意義與極坐標(biāo)表示復(fù)平面復(fù)數(shù)點(diǎn)向量優(yōu)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算有了幾何直觀解釋.一一對應(yīng)注意：自由向量可以平移，表示同一個復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)加法(平行四邊形與三角形法則)復(fù)數(shù)減法指向被減數(shù)復(fù)數(shù)的模與輻角的模?？梢员容^大小，并且三角不等式：兩點(diǎn)距離：上一頁復(fù)數(shù)z的輻角定義為向量與實(shí)軸的夾角θ，記為注意：任一非零復(fù)數(shù)z有無窮多個輻角,z=0時，輻角無意義.輻角主值(主輻角分支):多值函數(shù)取支割線支割線輻角函數(shù)與輻角主值分支的聯(lián)系和區(qū)別:★是一個連續(xù)的多值函數(shù).★是限制在上取值的

不連續(xù)函數(shù)的單值函數(shù).例如:取沿逆時針方向沿順時針方向★

補(bǔ)充:關(guān)于多值函數(shù)的支點(diǎn)和支割線.支點(diǎn):定義域中某一點(diǎn),作一個包圍此點(diǎn)的圓周Γ,當(dāng)變點(diǎn)z繞這點(diǎn)一整周時,多值函數(shù)從一支變到另一支.即,當(dāng)變點(diǎn)回轉(zhuǎn)到原來位置時,函數(shù)值與原來的值不同.例如:輻角函數(shù)Argz

的支點(diǎn)為0和∞(無窮遠(yuǎn)點(diǎn)).單值化:通過連接支點(diǎn)作支割線,割破復(fù)平面,使得任一閉曲線不能繞支點(diǎn)一周,從而得到單值分支.注意,多值函數(shù)分支的取值依賴于支割線的選取.例如:從原點(diǎn)出發(fā)的任意一條射(曲)線都可作為輻角函數(shù)Argz

的支割線.例如,θ=τ為支割線.例：計(jì)算復(fù)數(shù)－3+4i的模和輻角.解：思考題：求

的支點(diǎn).結(jié)論：當(dāng)變點(diǎn)

繞著定點(diǎn)轉(zhuǎn)一周時,發(fā)生改變.因此,是的唯一有限支點(diǎn).支割線復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示（三角形式）：由直角坐標(biāo)（x,y）與極坐標(biāo)（r,θ）的關(guān)系特別，當(dāng)r=1時的單位復(fù)數(shù)（單位圓周）再由歐拉公式得到復(fù)數(shù)的指數(shù)形式：單值函數(shù)，可任取一個輻角值利用極坐標(biāo)可以簡化復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算：復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的幾何意義：模相乘，輻角相加.注意等式表示兩個數(shù)集的相等解：例1.1.2寫出

的極坐標(biāo)形式.由于因此得到3.黎曼(Riemann)球面與擴(kuò)充復(fù)平面考慮3維歐式空間R3中的單位球面黎曼球面球極投影復(fù)平面球極映射使得復(fù)平面上的點(diǎn)與球面除北極的點(diǎn)一一對應(yīng)。在球極投影下，單位圓周(|z|=1)保持不變，單位圓外的點(diǎn)(|z|>1)投影在北半球，單位圓內(nèi)(|z|<1)的點(diǎn)投影在南半球。特別，z平面的原點(diǎn)O的投影是黎曼球面的南極點(diǎn)。北極點(diǎn)投影在哪？易見球極投影還有如下特性：球面上的緯線圈是z平面上以原點(diǎn)為心的圓周的投影.球面上的經(jīng)線圈是z平面上過原點(diǎn)的直線的投影.球極投影保持這些曲線間的夾角（直角）不變.切線的夾角例1.1.3若黎曼球面上點(diǎn)在z平面上的投影是證明證明過北極N=(0,0,1)和點(diǎn)(x,y,0)的直線參數(shù)方程為即直線與球面的交點(diǎn)滿足解得對應(yīng)北極點(diǎn)對應(yīng)球面點(diǎn)Z此外，已知z求Z已知Z求z返回例1.1.4返回例1.1.5例1.1.4證明z平面上所有的直線和圓周在球極投影下對應(yīng)于黎曼球面上的圓周。反之亦然。在球極投影的意義下，直線和圓周沒有區(qū)別.直線投影為過北極的圓周證明在z平面上通常的圓周或直線的方程為例1.1.3將例1.1.3中公式代入上式，得到由于注意到1-x3≠0,相除之3維空間平面方程與球面交線為圓周無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與擴(kuò)充復(fù)平面黎曼球面球極投影復(fù)平面坐標(biāo)變換北極點(diǎn)N不是復(fù)平面上任一（有限）點(diǎn)的投影。北極點(diǎn)N是復(fù)平面上模為無窮大的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的投影。記這個擴(kuò)充復(fù)數(shù)為∞，稱為無窮大。稱為擴(kuò)充復(fù)平面有北極的黎曼球面球極投影使得無窮遠(yuǎn)點(diǎn)變成“平常點(diǎn)”無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的運(yùn)算規(guī)定：(5)復(fù)平面上每一條直線過∞，沒有一個半平面包含∞。直線不是簡單閉曲線。例1.1.5設(shè)z和w是復(fù)平面上兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的球極投影Z和W的距離（3維空間中）為證明設(shè)在例1.1.3中取得到球面空間距離平面距離擴(kuò)充復(fù)平面上定義兩點(diǎn)的距離：如果z,w∈C∞，定義z與w的距離d(z,w)為它們在球面上的投影Z與W在R3中的距離。因此，如果z,w∈C如果z∈C事實(shí)上，取代入例1.1.5即可得到。球面兩點(diǎn)距離有界此節(jié)結(jié)束§1.2復(fù)平面上的點(diǎn)集與復(fù)變函數(shù)1.復(fù)平面上的點(diǎn)集定義1.2.1設(shè)r是正實(shí)數(shù)，滿足不等式的所有點(diǎn)稱為開圓盤或以z0為中心，以r為半徑的鄰域，記為設(shè)G是復(fù)平面上一個集合，孤立點(diǎn)：但

不是G的聚點(diǎn)外點(diǎn)：但

不是G的聚點(diǎn)聚點(diǎn)或極限點(diǎn)：在

的任意鄰域都有G的無窮多個點(diǎn)邊界點(diǎn)：在

的任一鄰域中有屬于G和不屬于G的點(diǎn)是G的內(nèi)點(diǎn)：且存在鄰域不必屬于G內(nèi)點(diǎn)是聚點(diǎn)孤立點(diǎn)是邊界點(diǎn)例設(shè)G的內(nèi)點(diǎn)：G的聚點(diǎn)：G的孤立點(diǎn)：G的邊界點(diǎn)：G的外點(diǎn)：G的邊界G的導(dǎo)集定義1.2.2若集合G的每個點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，稱G為開集。設(shè)是復(fù)平面上n+1個點(diǎn)，對每個k=1,2,..,n,令lk

表示連接點(diǎn)wk

與wk+1

的線段。則形成的

連續(xù)鏈稱為連接w1

與wn+1

的折線或多邊形道路。若集合G內(nèi)每一對點(diǎn)z1

與z2

都可用G內(nèi)的折線連接起來，則稱集合G為連通集。連通的開集稱為區(qū)域。若集合G的聚點(diǎn)都在G內(nèi)，則稱集合G為閉集。集合的邊界是閉集開集閉集非連通單位開圓盤單位閉圓盤開集的補(bǔ)(余)集是閉集區(qū)域加上邊界是閉域去心開圓盤★

連通性的重要性定理1.2.1設(shè)u(x,y)

是定義在區(qū)域D上的一個二元實(shí)值函數(shù)。若u在D上任意點(diǎn)的一階偏導(dǎo)數(shù)滿足則u在區(qū)域D上恒等于一個常數(shù)。事實(shí)上，若D僅僅是一個開集，則定理1.2.1不成立。反例：設(shè)開集則在D上但u在D上不是常數(shù)，而是分片常數(shù)。定義1.2.4若存在正實(shí)數(shù)R，使得對集合G內(nèi)任一點(diǎn)z，都有都有，則稱G

為有界集。不是有界集的集合稱為無界集。一個有界閉集稱為緊集。想一想，有界集與無界集在球極投影的位置？2.復(fù)變函數(shù)定義1.2.5設(shè)A和B是復(fù)平面上兩個集合，若存在對應(yīng)關(guān)系使得對集合A中每一個元素z都有集合B中的一個元素w與之對應(yīng)，則稱f(z)為定義在A上的函數(shù)，記為若對每一個z∈A，有唯一的w∈B與z對應(yīng)，稱f(z)為單值函數(shù)，否則稱f(z)為多值函數(shù)，其中w=f(z)稱為z的像。集合A稱為f(z)的定義域，所有像構(gòu)成的集合稱為f(z)的值域。若則w的實(shí)部w的虛部★

復(fù)變函數(shù)的幾何意義定義域值域z-平面w-平面區(qū)域變換例1.2.1設(shè)則于是3.極限和連續(xù)定義1.2.6設(shè)

為復(fù)數(shù)點(diǎn)列，若對任意的，都存在一個正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N

時都有，則稱復(fù)數(shù)點(diǎn)列有極限或者收斂到，記為或者從幾何上看，即為當(dāng)時容易驗(yàn)證，如果則復(fù)數(shù)列實(shí)數(shù)列把“復(fù)”問題轉(zhuǎn)化為“實(shí)”問題實(shí)數(shù)列例1.2.2求下面點(diǎn)列的極限。解（1）由于（2）分子和分母都除以n得（3）存在收斂于不同極限的4個子列，故沒有極限。定義1.2.7設(shè)函數(shù)

定義在點(diǎn)集G上，為G的聚點(diǎn).

設(shè)對使得當(dāng)時，有或者從幾何上看，即為使得去心鄰域任意方式則稱

沿

在

有極限.

記為容易驗(yàn)證，如果則與二元實(shí)函數(shù)的極限一致，有(1)極限存在則唯一。(2)極限存在的復(fù)函數(shù)的和，差，積，商（分母極限不為零）的極限等于極限的和，差，積，商。(定理1.2.2)(3)極限與