專題12插空法模型（解析版）

專題12插空法模型例1．將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種【答案】D【解析】【分析】采用間接法，先求出沒有限制的所有站法，再排除不滿足條件的站法可求解.【詳解】7個(gè)人從左到右排成一排，共有種不同的站法，其中甲、乙、丙3個(gè)都相鄰有種不同的站法，甲站在最右端有種不同的站法，甲、乙、丙3個(gè)相鄰且甲站最右端有種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，不同的站法有種不同的站法.故選：D例2．為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，重溫黨的光輝歷程，歌頌黨的偉大成就，繼承和發(fā)揚(yáng)黨的優(yōu)良革命傳統(tǒng)，充分展現(xiàn)當(dāng)代中學(xué)生愛黨?愛國?愛社會(huì)主義的深厚情懷，我校計(jì)劃舉辦2021年“荔枝杯”中學(xué)生演講比賽，要求從5名男生，2名女生中隨機(jī)選出4人進(jìn)行現(xiàn)場比賽，且至少要選1名女生，如果2名女生同時(shí)被選中，她們的演講順序不能相鄰，那么不同的演講順序共有（

）A．120種 B．480種 C．600種 D．720種【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)知：選出的男女可能組合為，再應(yīng)用排列組合數(shù)計(jì)算不同演講順序的可能情況種數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，選出的男女組合有兩種情況：當(dāng)男女為組合，演講順序?yàn)榉N；當(dāng)男女為組合，演講順序?yàn)榉N；所以一共有600種.故選：C例3．甲、乙、丙三人參加社區(qū)義工活動(dòng)，每人從編號(hào)為1到6的社區(qū)中任選一個(gè)，所選社區(qū)編號(hào)數(shù)各不相同且不相鄰，則不同的選擇方案的種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】【分析】不相鄰問題用插空法可解.【詳解】問題可看做是將3個(gè)不同元素與3個(gè)完全一樣的元素排成一列，且三個(gè)不同元素不相鄰的問題.第一步，將3個(gè)相同元素排成一列，共1種方法；第二步，將三個(gè)不同元素插入到4個(gè)空位中，共種方法.所以不同的選擇方案共有24種.另解：依題意，因?yàn)榧住⒁?、丙三人所選社區(qū)編號(hào)各不相同且不相鄰，所以先找三人所選社區(qū)編號(hào)，三人所選社區(qū)編號(hào)有1，3，5；1，3，6；1，4，6；2，4，6四種情況，然后在每種情況下安排甲、乙、丙三人有種情況，所以不同的選擇方案共有種.故選：B.例4．隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，私家車成為居民的標(biāo)配．某小區(qū)為了適應(yīng)這一變化，在小區(qū)建設(shè)過程中預(yù)留了7個(gè)排成一排的備用車位．現(xiàn)有3位私家車車主要使用這一備用車位．現(xiàn)規(guī)定3位私家車隨機(jī)停車，任意兩輛車都不相鄰，則共有不同停車種數(shù)為（

）A．144 B．24 C．72 D．60【答案】D【解析】【分析】由題可知7個(gè)車位停三輛車，則會(huì)產(chǎn)生4個(gè)空位，故可先擺4個(gè)空位留下5個(gè)空隙供3輛車選擇即可.【詳解】由題可知7個(gè)車位停三輛車，則會(huì)產(chǎn)生4個(gè)空位，故可先擺好4個(gè)空車位，4個(gè)空車位之間共有5個(gè)空隙可供3輛車選擇停車．因此，任何兩輛車都不相鄰的停車種數(shù)共有.故選：D．例5．加工某種產(chǎn)品需要5道工序，分別為A，B，C，D，E，其中工序A，B必須相鄰，工序C，D不能相鄰，那么有（

）種加工方法．A．24 B．32 C．48 D．64【答案】A【解析】【分析】考察排列組合的捆綁與插空的方法【詳解】工序A，B必須相鄰，可看作一個(gè)整體，工序C，D不能相鄰，所以先對(duì)AB，E工序進(jìn)行排序，有種方法，AB內(nèi)部排序，有種方法，排好之后有三個(gè)空可以把工序C，D插入，共種情況，所以一共有種可能性故選：A例6．為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩個(gè)階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰，則不同的安排方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種【答案】A【解析】【分析】對(duì)中心組學(xué)習(xí)所在的階段分兩種情況討論得解.【詳解】解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動(dòng)有2種方法；主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第三、四階段，則其它活動(dòng)有1種方法；主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活動(dòng)有1種方法，則此時(shí)共有種方法；如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個(gè)階段有種方法.綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A例7．某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺(tái)站位時(shí)男女間隔的不同排法共有（

）A．12種 B．24種 C．72種 D．120種【答案】A【解析】【分析】先排列2名男生共有種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有種排法，分步乘法原理可求得答案.【詳解】解：先排列2名男生共有種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有種排法，所以舞臺(tái)站位時(shí)男女間隔的不同排法共有種排法，故選：A.例8．甲?乙?丙三人相約去看電影，他們的座位恰好是同一排10個(gè)位置中的3個(gè)，因疫情防控的需要（這一排沒有其他人就座），則每人左右兩邊都有空位的坐法（

）A．120種 B．80種 C．64種 D．20種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，先排7個(gè)空座位，由于空座位是相同的，則只有1種情況，其中有6個(gè)空檔，將3人連同座一起安排在空檔上，計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，一并排座位有10個(gè)，3人就坐，有7個(gè)空座位，將7個(gè)空座位排成一排，中間有6個(gè)空檔，將3人連同座位一起安排空檔上，有種安排方法，故答案為：A.例9．某校為了落實(shí)教育部提出的第三十七個(gè)教師節(jié)“賡續(xù)百年初心，擔(dān)當(dāng)育人使命”的主題，開展了文娛匯演活動(dòng).校文娛組委會(huì)要在原定排好的8個(gè)節(jié)目中增加2個(gè)節(jié)目，若保持原來的8個(gè)節(jié)目的出場順序不變，則不同排法的種數(shù)為（

）A．45 B．90 C．180 D．270【答案】B【解析】【分析】利用插空法求解即可.【詳解】可分成兩步：第一步，在8個(gè)原定節(jié)目所產(chǎn)生的9個(gè)空隙中插入一個(gè)節(jié)目，有種不同的排法，第二步，在已排好的9個(gè)節(jié)目所產(chǎn)生的10個(gè)空隙中插入另一個(gè)節(jié)目，有種不同的排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有種不同的排法.故選：B.例10．用1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字組成六位數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰且1、2必須相鄰，則滿足要求的六位數(shù)共有（

）個(gè)A．72 B．96 C．120 D．288【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，按1和2兩個(gè)數(shù)按“12”的順序和“21”的順序捆綁，利用插空法可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，1和2必須相鄰，將“12”或“21”看成一個(gè)整體與4、6全排列，排好后，要求奇數(shù)互不相鄰，則有3個(gè)空位可選，再將“3”和“5”插入到3個(gè)空位中，有種排法，即有72個(gè)符合條件的六位數(shù)；故選：A．例11．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué)．某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次．講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．192種 D．120種【答案】A【解析】【分析】首先對(duì)六藝全排列，減去“射”排在第一次的情況，再減去“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的情況，最后再加上“射”排在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的情況即可求解.【詳解】將六藝全排列，有種，當(dāng)“射”排在第一次有種，“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的情況有種，“射”排在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的情況有種，所以“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰的排法有種，故選：A.例12．7個(gè)人排成一排準(zhǔn)備照一張合影，其中甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開，則不同的排法有（）A．480種 B．720種 C．960種 D．1200種【答案】C【解析】【分析】甲、乙要求相鄰，則把甲和乙看成一個(gè)元素，與除去丙和丁以外的共4個(gè)元素進(jìn)行全排列，其中甲和乙之間還有一個(gè)排列，根據(jù)丙和丁不相鄰，把形成的五個(gè)空選兩個(gè)排列丙和?。玫浇Y(jié)果．【詳解】解：由題意知，甲、乙要求相鄰，則把甲和乙看成一個(gè)元素，與除去丙和丁以外的共4個(gè)元素進(jìn)行全排列，其中甲和乙之間還有一個(gè)排列，把形成的五個(gè)空選兩個(gè)排列丙和丁，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有A44A22A52＝960種．故選：C．例13．個(gè)人排隊(duì)，其中甲?乙?丙人兩兩不相鄰的排法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【解析】【分析】先排除甲?乙?丙以外的人，再將甲乙丙插空，由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】先排除甲?乙?丙以外的人有種排法，將甲?乙?丙人插入個(gè)空中有種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：甲?乙?丙人兩兩不相鄰的排法有種，故選：B.例14．永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富.在一次民俗文化表演中，某部門安排了《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》、《女書表演》六個(gè)節(jié)目，其中《祁陽小調(diào)》與《道州調(diào)子戲》不相鄰，則不同的安排種數(shù)為（

）A．480 B．240 C．384 D．1440【答案】A【解析】【分析】利用插空法求解即可.【詳解】第一步，將《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《女書表演》四個(gè)節(jié)目排列，有種排法；第二步，將《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》插入前面的4個(gè)節(jié)目的間隙或者兩端，有種插法；所以共有種不同的安排方法.故選：A例15．中國古樂中以“宮”“商”“角”“徽”“羽”為五個(gè)基本音階，故有成語“五音不全”之說，如果用這五個(gè)基本音階隨機(jī)排成一個(gè)五個(gè)音階的音序，則“官”“商”兩音不相鄰且在“角”音同側(cè)的概率為_______．【答案】【解析】【分析】分別求出被一個(gè)音階隔開的情況和被兩個(gè)音階隔開的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】由題意得，只被一個(gè)音階隔開的情況為“宮徵商”或“宮羽商”，有種排法，被兩個(gè)音階隔開的情況為“宮徵羽商”，共有種排法，故“宮”“商”兩音不相鄰且在“角”音同側(cè)的概率為．故答案為：例16．某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法有______種．【答案】432【解析】【分析】相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法，可以分兩種情況，①文化課之間不間隔藝術(shù)課，利用捆綁法求解即可；②文化課之間間隔一節(jié)，這種情況又分為文化課間都間隔一節(jié)、兩個(gè)文化課間隔一節(jié)，與另一個(gè)文化課不間隔兩種情況；分別求得排法種數(shù)，相加即可.【詳解】間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法有種；間隔0節(jié)藝術(shù)課的排法有種；故最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法有種，故答案為：432例17．“迎冬奧，跨新年，向未來”，水球中學(xué)將開展自由式滑雪接力賽．自由式滑雪接力賽設(shè)有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目，參賽選手每人展示其中一個(gè)項(xiàng)目．現(xiàn)安排兩名男生和兩名女生組隊(duì)參賽，若要求相鄰出場選手展示不同項(xiàng)目，女生中至少一人展示雪上芭蕾項(xiàng)目，且三個(gè)項(xiàng)目均有所展示，則共有___種出場順序與項(xiàng)目展示方案．（用數(shù)字作答）【答案】264【解析】【分析】分類討論：雪上芭蕾展示一次和兩次；每一類又分兩步討論：第一步先排給項(xiàng)目排序，第二步再給項(xiàng)目安排上展示者.【詳解】設(shè)空中技巧、雪上技巧、雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目依次為A、B、C，①雪上芭蕾只展示一次時(shí)，按展示先后順序有下列12情況：BABC，ABAC，CBAB，CABA，ABCA，ABCB，BACB，BACA，ACBA，ACAB，BCBA，BCAB.再給項(xiàng)目排上表演者：從兩名女生中選1人去展示雪上芭蕾C有2種排法，剩下的三人去展示剩下的項(xiàng)目有3?。?種排法，∴共2×6＝12種排法.∴此時(shí)共12×12＝144種出場順序與項(xiàng)目展示方案.②雪上芭蕾展示兩次時(shí)，按展示先后順序有下列6情況：CABC，CBAC，BCAC，ACBC，CBCA，CACB.再給項(xiàng)目排上表演者：四個(gè)選手隨意選一個(gè)項(xiàng)目展示共4?。?4種排法，但需排除雪上芭蕾均為男生展示的情況共2！×2！＝4種，∴此時(shí)給項(xiàng)目排上選手共24－4＝20種排法.∴此時(shí)共6×20＝120種出場順序與項(xiàng)目展示方案.綜上所述，共有144＋120＝264種出場順序與項(xiàng)目展示方案.故答案為：264.例18．某九位數(shù)的各個(gè)數(shù)位由數(shù)字1，2，3組成，其中每個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)3次，且數(shù)字1和數(shù)字2不能相鄰，則符合條件的不同九位數(shù)的個(gè)數(shù)是___．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】排好三個(gè)后，將剩下的三個(gè)和三個(gè)進(jìn)行分組，利用插空法，分類討論不同分組下的情況，再由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.【詳解】由題意，先排三個(gè)，則有種情況，剩下的三個(gè)和三個(gè)分組，若分為組：或或，插空得種；若分為組：或，插空得種；若分為組：，插空得，所以共有種.故答案為：例19．某企業(yè)利用星期六安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六位教授對(duì)企業(yè)員工進(jìn)行不同內(nèi)容的6次培訓(xùn)（每人培訓(xùn)一次），規(guī)定上午最后一次培訓(xùn)和下午第一次培訓(xùn)為相鄰的培訓(xùn).要求A，B兩位教授相鄰，C，D兩位教授不相鄰，則共有______種不同的安排培訓(xùn)方法.（用數(shù)字作答）【答案】144【解析】【分析】由分步計(jì)數(shù)法，結(jié)合插空法：先排好，再將作為整體插入隊(duì)列3個(gè)空中的一個(gè)，最后把插入新隊(duì)列4個(gè)空中的兩個(gè)，即可得結(jié)果.【詳解】1、安排好教授，共種；2、安排好教授，并將其插入隊(duì)列3個(gè)空中的一個(gè)，共種；3、把教授分別插入第二步新隊(duì)列4個(gè)空中的兩個(gè)，共種；所以不同的安排培訓(xùn)方法有種.故答案為：144.例20．為慶祝建黨100周年，某高校選派3位男同學(xué)?3位女同學(xué)參加“建黨100周年黨史宣講”系列報(bào)告會(huì)，在安排節(jié)目順序的時(shí)候，要求男同學(xué)先講，3位女同學(xué)不能連著講，則不同的安排順序共有___________種.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分3位女同學(xué)全部不連著講和3位女同學(xué)有2位連著講兩種情況討論求解即可.【詳解】解：因?yàn)?位女同學(xué)不能連著講，故3位女同學(xué)的安排情況分為兩種，第一種為3位女同學(xué)全部不連著講，由于男同學(xué)先講，故有種情況；第二種為3位女同學(xué)有2位連著講，由于男同學(xué)先講，則先從3位男同學(xué)中選一個(gè)作為第一個(gè)宣講著，再從3位女同學(xué)中選2位同學(xué)連著講，之后再安排剩下的2位男同學(xué)，最后將2位連著講的女同學(xué)和另一位女同學(xué)插空安排到三個(gè)空位上即可，即為種，綜上，共有種不同的安排順序.故答案為：例21．3個(gè)男生和3個(gè)女生排成一排，要求男生互不相鄰，女生不全相鄰，則不同的排列方法有___________種.【答案】144【解析】【分析】考慮三男三女均不相鄰，與3男不相鄰且3女中有2女相鄰兩種情況，進(jìn)而根據(jù)排列組合方法求得答案.【詳解】若3男3女均不相鄰，則先排男生，出現(xiàn)4個(gè)空位，進(jìn)而將女生排入前3個(gè)或后3個(gè)空位，有種情況；若3男不相鄰，3女中有2女相鄰，出現(xiàn)4個(gè)空位，進(jìn)而將女生排入中間2個(gè)空位，有種情況.所以，一共有144種情況.故答案為：144.例22．用組成所有沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿足與相鄰并且與不相鄰的五位數(shù)共有____________個(gè).(結(jié)果用數(shù)值表示)【答案】【解析】【分析】由題意，先利用捆綁法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【詳解】因?yàn)闈M足與相鄰并且與不相鄰，則將捆綁，內(nèi)部排序得，再對(duì)和全排列得，利用插空法將和插空得，所以滿足題意得五位數(shù)有.故答案為：例23．來自甲、乙、丙三個(gè)班的名同學(xué)站成一排照相，其中甲班有人，乙班有人，丙班有人，僅有一個(gè)班級(jí)的同學(xué)相鄰的站法種數(shù)有__種.【答案】48【解析】【分析】根據(jù)題意，先考慮把甲班或者乙班的名同學(xué)和丙班的名同學(xué)捆綁站隊(duì)，再利用插空法將另一個(gè)班的名同學(xué)進(jìn)行插空即可.【詳解】由題可知：可以是甲班的名同學(xué)相鄰，也可以是乙班的名同學(xué)相鄰，相鄰的名同學(xué)和丙班的名同學(xué)站隊(duì)，共有種站法；再將另外一個(gè)班的名同學(xué)進(jìn)行插空，共有種站法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，僅有一個(gè)班級(jí)的同學(xué)相鄰的站法種數(shù)有：種.故答案為：48.例24．已知5個(gè)不同的元素a，b，c，d，e排成一排.(1)a，e相鄰共有多少種排法？(2)a，e不相鄰共有多少種排法？【答案】(1)48(2)72【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，用捆綁法分析：把、看成一個(gè)整體，再把這個(gè)整體與，，全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，用插空法分析：將，，全排列，排好后有4個(gè)空位，在4個(gè)空位中任選2個(gè)，安排、，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．(1)解：根據(jù)題意，要求，相鄰，把、看成一個(gè)整體，有種不同的順序，再把這個(gè)整體與，，全排列，有種情況，則，相鄰的排法有種；(2)解：根據(jù)題意，將，，全排列，有種情況，排好后有4個(gè)空位，在4個(gè)空位中任選2個(gè)，安排、，有種情況，則，不相鄰有種不同的排法．例25．6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法共有多少種？【答案】【解析】【分析】根據(jù)不相鄰問題插空法求解即可；【詳解】解：先將除甲、乙之外的4人排隊(duì)，共有種不同的排法，再將甲、乙兩人份插入到已經(jīng)排好的4人形成的5個(gè)空位上，有種不同的方法，所以根據(jù)分步乘法原理，所有的排法共種.例26．排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和5個(gè)舞蹈節(jié)日的演出節(jié)目單.(1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？(2)歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)用插空法，現(xiàn)排唱歌，利用產(chǎn)生的空排跳舞