2020版高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)其應(yīng)用311函數(shù)平均變化率學(xué)案新人教B版

3．1.1函數(shù)的均勻變化率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解均勻變化率的意義.2.會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)周邊的均勻變化率．知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的均勻變化率1．函數(shù)的均勻變化率的定義已知函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0及其周邊有定義，令x＝x－x0；y＝y(tǒng)－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋

x)－f(x0)．則當(dāng)

x≠0，比值

f

x0＋

x－fx

x0

y＝x叫做函數(shù)

y＝f(x)在

x0到

x0＋

x之間的均勻變化率．2．均勻變化率的實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比．3．作用：刻畫(huà)函數(shù)在區(qū)間[x0，x0＋x]上變化的快慢．4．幾何意義：已知P(x，f(x))，P(x，f(x))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點(diǎn)，則均勻變化111222yfx2－fx1表示割線PP的斜率．xx－x121．在均勻變化率的定義中，自變量x的增量x＞0.(×)fx2－fx2．關(guān)于函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]內(nèi)的均勻變化率也能夠表示為1.(√)x2－x10＋x－fx0x](x＞0)上的均勻變化率，也可3.y＝fx是f(x)在區(qū)間[x0，x0＋xx以說(shuō)是f(x)在x＝x0處的變化率．(×)題型一函數(shù)的均勻變化率命題角度1求函數(shù)的均勻變化率例1求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1,2,3周邊的均勻變化率，取x的值為1，哪一點(diǎn)周邊的均勻3變化率最大？考點(diǎn)題點(diǎn)解在x＝1周邊的均勻變化率為f＋x－f＝＋x2－1＝2＋x；k1＝xx在x＝2周邊的均勻變化率為k2＝fx－fx22＋＝＋－2＝4＋x；xx在x＝3周邊的均勻變化率為k3＝fx－fx22＋＝＋－3＝6＋x.xx117若x＝3，則k1＝2＋3＝3，113k2＝4＋＝，331193，3因?yàn)閗1<k2<k3，故在x＝3周邊的均勻變化率最大．反省感悟求均勻變化率的主要步驟先計(jì)算函數(shù)值的改變量y＝f(x2)－f(x1)．(2)再計(jì)算自變量的改變量x＝x2－x1.yfx2－fx1(3)得均勻變化率x＝x2－x1.追蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x－5的圖象上的一點(diǎn)A(－1，－6)及周邊一點(diǎn)B(－1＋x，－6＋y)，則y＝________.x考點(diǎn)均勻變化率的觀點(diǎn)題點(diǎn)求均勻變化率答案xyf－1＋x－f－分析x＝x＝－1＋x2＋－1＋x－5－－xx.命題角度2均勻變化率的幾何意義例2過(guò)曲線y＝f(x)＝x2－x上的兩點(diǎn)P(1,0)和Q(1＋x，y)作曲線的割線，已知割線PQ的斜率為2，求x的值．考點(diǎn)均勻變化率的觀點(diǎn)題點(diǎn)均勻變化率的應(yīng)用解割線PQ的斜率即為函數(shù)f(x)從1到1＋yx的均勻變化率.x∵y＝f(1＋x)－f(1)＝(1＋x)2－(1＋x)－(12－1)＝x＋(x)2，∴割線PQ的斜率k＝y(tǒng)x.x＝1＋又∵割線PQ的斜率為2，∴1＋x＝2，∴x＝1.反省感悟函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的均勻變化率的實(shí)質(zhì)是函數(shù)y＝f(x)圖象上兩點(diǎn)P1(x1，f(x))，P(x，f(x))連線PP的斜率，即yfx2－fx1x＝x－x.12221212追蹤訓(xùn)練2(1)甲、乙兩人走過(guò)的行程s(t)，s(t)與時(shí)間t的關(guān)系如下圖，則在[0，t]120這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人的均勻速度v甲，v乙的關(guān)系是()A．v甲>v乙B．v甲<v乙C．v甲＝v乙D．大小關(guān)系不確立x(2)過(guò)曲線y＝f(x)＝1－x圖象上一點(diǎn)(2，－2)及周邊一點(diǎn)(2＋x，－2＋y)作割線，則當(dāng)x＝0.5時(shí)割線的斜率為_(kāi)_______．考點(diǎn)均勻變化率的觀點(diǎn)題點(diǎn)均勻變化率的應(yīng)用答案(1)B(2)23分析(1)設(shè)直線，BC的斜率分別為kAC，BC，由均勻變化率的幾何意義知，s1(t)在[0，ACkt]上的均勻變化率v甲＝k，s(t)在[0，t]上的均勻變化率v乙＝k.因?yàn)閗<k，因此v甲0AC20BCACBC<v乙．(2)當(dāng)x＝0.5時(shí)，2＋x＝2.5，故－2＋y＝2.5＝－5，1－2.535－3＋22故k＝＝.2.5－23題型二求物體的均勻速度例3一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s(t)＝t2＋1，求該質(zhì)點(diǎn)在t＝1,2,31周邊，t＝3時(shí)，均勻速度的值，并比較在哪一時(shí)刻周邊的均勻速度最大．解s(t)在t0到t0＋t之間的位移增量為s(t0＋t)－s(t0)＝(t0＋22＝t)＋1－(t0＋1)2t0t＋(t)2，20t＋t2s＝2t0＋t，＝tt1將t0＝1,2,3，t＝分別代入上式得，3當(dāng)t0＝1時(shí)，均勻速度7s＝；t3當(dāng)t0＝2時(shí)，均勻速度s＝13；t30s19當(dāng)t＝3時(shí)，均勻速度t＝3.由上邊的計(jì)算知，t＝3周邊的均勻速度最大．引申研究若該質(zhì)點(diǎn)在2到2＋t之間的均勻速度不大于5，則t(t＞0)的取值范圍是什么？解s(t)在t0到t0＋t之間的位移增量為s(t0＋t)－s(t0)＝(t220＋t)＋1－(t0＋1)＝2t0t＋(t)2.s20t＋t2tt0t.t＝＝2t＋當(dāng)t＝2時(shí)，由題意，得4＋t≤5，得t≤1.0又因?yàn)閠＞0，故t的取值范圍是(0,1]．反省感悟已知物體的運(yùn)動(dòng)方程，即知道物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，求其在[t0，t0＋t]內(nèi)的均勻速度，依據(jù)均勻速度的意義可知就是求這個(gè)函數(shù)在[t0，t0＋t]內(nèi)的均勻變化率．追蹤訓(xùn)練3動(dòng)點(diǎn)P沿x軸運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為x＝10＋52，式中t表示時(shí)間(單位：s)，xtt表示距離(單位：m)，求在20≤t≤20＋t時(shí)間段內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的均勻速度，此中(1)t＝1；(2)t＝0.1；(3)t＝0.01.解動(dòng)點(diǎn)在20≤t≤20＋t時(shí)間段內(nèi)的均勻速度為v＝＋t＋＋t2－10×20－5×202t＝210t＋t2＝5t＋210，t(1)當(dāng)t＝1時(shí)，v＝5×1＋210＝215(m/s)．(2)當(dāng)t＝0.1時(shí)，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)．(3)當(dāng)t＝0.01時(shí)，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．1．一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝3＋2t，則在[2,2.1]這段時(shí)間內(nèi)的均勻速度是( )A．0.4B．2C．0.3D．0.2答案Bs－s＝3＋2×2.1－＋＝2.分析－20.12.12．如圖，函數(shù)y＝f(x)在1到3之間的均勻變化率為( )A．1B．－1C．2D．－2答案B分析y＝1－3＝－1.x3－12y3．在曲線y＝f(x)＝x＋2的圖象上取一點(diǎn)(2,6)及周邊一點(diǎn)(2＋x,6＋y)，則x為()A．x＋1x＋4B．x－1x－4C．＋4D．4＋x－1xx答案Cyf＋x－f＋x2－4x＋4.分析x＝x＝x＝4．將半徑為R的球加熱，若半徑從＝1到＝時(shí)球的體積膨脹率為28π，則m的值為RRm3________．答案24π34π34π3分析V＝3m－3×1＝3(m－1)，4π3－V3m28π∴R＝m－1＝3.2∴m＋m＋1＝7，∴＝2或＝－3(舍)．mm理解均勻變化率要注意以下幾點(diǎn)：(1)fx2－fx1均勻變化率21表示點(diǎn)(x1，f(x1))與點(diǎn)(x2，f(x2))連線的斜率，是曲線峻峭x－x程度的“數(shù)目化”．0＋x－fx0(2)為求點(diǎn)x0周邊的均勻變化率，上述表達(dá)式常寫(xiě)為fx的形式．x(3)函數(shù)的均勻變化率能夠表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨向．自變量的改變量x取值越小，越能正確表現(xiàn)函數(shù)的變化狀況．一、選擇題21．假如質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝3＋t運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)間[2，2.1]內(nèi)的均勻速度是( )答案B分析＋2.12－＋22v＝0.1＝4.1.2.甲、乙兩廠污水的排放量W與時(shí)間t的關(guān)系如下圖，則治污成效較好的是( )A．甲B．乙C．同樣D．不確立答案B分析在t處，固然W(t)＝W(t)，01020可是在t0－t處，W1(t0－t)<W2(t0－t)，W1t0－W1t0－tW2t0－W2t0－t即t<，t因此在同樣時(shí)間t內(nèi)，甲廠比乙廠的均勻治污率?。虼艘覐S的治污成效較好．3．已知函數(shù)f(x)＝22－1的圖象上一點(diǎn)(1,1)及周邊一點(diǎn)(1＋x，(1＋x))，則y等于xfx( )A．4C．4＋2(x)2答案B分析y＝f(1＋y4x＋∴x＝x

B．4＋2xD．4xx)－f(1)＝[2(1＋x)2－1]－1＝4x＋2(x)2，x2＝4＋2x.4．函數(shù)y＝f0到x0fx0＋x－fx0x不行能(x)在x＋x之間的均勻變化率x中，()A．大于0B．小于0C．等于0D．大于0或小于0答案C5．函數(shù)y＝f(x)＝x2＋x在x＝1到x＝1＋x之間的均勻變化率為()A．x＋2B．2x＋(x)2C．x＋3D．3x＋(x)2答案C分析y＝f＋x－fxx＝＋x2＋＋x－2＋＝x＋3.x6．函數(shù)f(x)＝x2在x0到x0＋x之間的均勻變化率為k1，在x0－x到x0之間的均勻變化率為k2，則k1，k2的大小關(guān)系是()A．k＜k2B．k＞k211C．k1＝k2D．沒(méi)法確立答案Dfx0＋x－fx0分析k1＝x＝2x0＋x，k2＝fx0－fx0－x＝20－x.xx又因?yàn)閤可正可負(fù)且不為0，因此k1，k2的大小關(guān)系不確立．二、填空題7.汽車(chē)行駛的行程

s和時(shí)間

t

之間的函數(shù)圖象如下圖，在時(shí)間段

[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的均勻速度分別為

v

1，

v

2，

v

3，則三者的大小關(guān)系為

________________．(用“＜”連結(jié))答案v1<v2<v3分析v1＝OA，v2＝AB，v3＝BC，kkk由圖象知，kOA<kAB<kBC.8．函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的均勻變化率為2，則t＝________.答案5分析函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的均勻變化率是y＝ft－f－＝xt－－t2－t－－2－2＝2，t＋2即t2－t－6＝2t＋4，因此t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．因此當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的均勻變化率是2時(shí)，t的值是5.9．在曲線y＝2x2＋1的圖象上取一點(diǎn)(1,3)及周邊一點(diǎn)(1＋x,3＋y)，則y＝________.x答案2x＋4＋x2＋1－3分析x＝x＝2x＋4.10．已知圓的面積S與其半徑r之間的函數(shù)關(guān)系為S＝πr2，此中r∈(0，＋∞)，則當(dāng)半徑r∈[1,1＋r]時(shí)，圓的面積S的均勻變化率為_(kāi)_______．答案2π＋πΔr當(dāng)r∈[1,1r]時(shí)，圓的面積S的均勻變化率為Sπ＋r2－π分析＋r＝r＝π＋2π·r＋r2π－πr＝2π＋πr.三、解答題11．過(guò)曲線y＝f(x)＝x3＋2x上兩點(diǎn)P(1,3)和Q(1＋x，3＋y)作曲線的割線，求出當(dāng)x＝0.2時(shí)割線的斜率．解由條件可知，當(dāng)＝0.2時(shí)，xPQ3＋y－3＝y(tǒng)k＝1＋x－1x＝＋x3＋＋x－3＋x＝(x)2＋3x＋5＝0.22＋3×0.2＋5＝5.64.故當(dāng)x＝0.2時(shí)，割線的斜率為5.64.12．若函數(shù)f(x)＝－22＋x在[1,1＋x](x>0)上的均勻變化率不大于－1，求x的取值x范圍．考點(diǎn)均勻變化率的觀點(diǎn)題點(diǎn)均勻變化率的應(yīng)用解∵函數(shù)f(x)在[1,1＋x]上的均勻變化率為y＝f＋x－fxx－＋x2＋＋x－－2＋＝x＝－3－2x∴由－3－2≤－1，得x≥－1.x又∵x>0，∴x的取值范圍是(0，＋∞)．13．以初速度v0豎直向上拋一物體的位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s(t)＝v0t－1gt2(g為物體的2重力加快度)．(1)求物體從時(shí)刻t0到時(shí)刻t0＋t這段時(shí)間內(nèi)的均勻速度v；求物體在t＝10s到10.4s這段時(shí)間內(nèi)的均勻速度．解(1)由t0到t0＋t，則改變量為t.因?yàn)閟＝s(t0＋t)－s(t0)1212＝v0(t0＋t)－2g(t0＋t)－v0t0＋2gt0＝v0t－gt0·t－1(t)2，2gv1t20s＝0因此v＝tt＝v0－gt1.0－2gt(2)當(dāng)t0＝10s，t＝0.4s時(shí)，則物體在t＝10s到10.4s這段時(shí)間內(nèi)的均勻速度1＝v0－10g－2×g×0