2021-2022學(xué)年山東省日照市校際聯(lián)考高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021-2022學(xué)年山東省日照市校際聯(lián)考高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題23451．?dāng)?shù)列1，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）B．a(chǎn)3579n2n1n2n1A．a(chǎn)nnn2n3n2n3C．a(chǎn)nD．a(chǎn)n【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列分子分母的規(guī)律求得通項(xiàng)公式.n【詳解】由于數(shù)列的分母是奇數(shù)列，分子是自然數(shù)列，故通項(xiàng)公式為an2n1.故選：Bfxax20（）2．若函數(shù)sin，則fB．0xA．1C．1D．3【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令x0即可得解.fx2axcosx，所以f01.【詳解】解：因?yàn)楣蔬x：C.8，a16，則公比為（）53．等比數(shù)列中，aaaa123nA．2B．2C．4D．4【答案】Aa【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求得a，再根據(jù)5q即可得解.32a2q【詳解】解：設(shè)公比為，aaa8，所有a38a2，2因?yàn)樗?，則1232a5q38，解得q2.a2故選：A.4．若曲線A．1a（）yex1lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線axy0平行，則B．1C．2D．2【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.第1頁(yè)共15頁(yè)ye【詳解】由lnxy'e1(1,1)lnx上，，顯然在曲線x1x1x1yex1所以曲線lnx在點(diǎn)處的切線的斜率為，2ye(1,1)x1e111y12(x1)y2x1，因此切線方程為：axy0的斜率為直線a，因?yàn)榍€lnx在點(diǎn)處的切線與直線0ye(1,1)axy平行，x1aa2，所以2故選：C5．在等差數(shù)列{}中，3，，則（）aaa12aa7aan56910A．8B．9C．10D．11【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得出(aa)(aa)2(aa)，即可求解.1291056【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得(aa)(aa)2(aa)，1291056所以aa27311，910故選：D.6．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s13t352t26t，那么速度為零的時(shí)刻是（）A．1秒末B．2秒末C．3秒末D．2秒末或3秒末【答案】D【解析】求出導(dǎo)數(shù)，然后解方程0可得．ss15tt6t，∴()t56.【詳解】∵s32vstt232令v0t2t.，得25t60，解得或3t故選：D.0,fxfxx0,7．已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)fx40ffx23，則方程都有的解所在的區(qū)間是（）fxxx5,8D．1,2A．2,33,4B．C．【答案】A【分析】利用換元法求出函數(shù)的解析式及導(dǎo)數(shù)法則，再利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理即可求解.x0,，都有ffx2x3【詳解】由題意可知，對(duì)任意的.第2頁(yè)共15頁(yè)fx2為定值tfxfx2xt.設(shè)2x，則則.xft3，即3.又由2tt2x1，.可解得1則fxt4x4.x∴fx2xln2.∴fx2xln2令hx2xln2，hx2xln2240，4xx2故hx在0,上單調(diào)遞增，h12ln240，h24ln210.又由故hx的唯一零點(diǎn)在區(qū)間1,2之間.4x則方程fx0的解在區(qū)間1,2上.故選:A.an28．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和S，將數(shù)列依原順序按照第2n組有n項(xiàng)的要求分nann組，則2023在第幾組（）A．8B．9C．10D．11【答案】B【分析】先求出a的通項(xiàng)公式，從而求出前m組的個(gè)數(shù)和，確定出2023所在組數(shù).nn2，當(dāng)n1時(shí)，a1；【詳解】因?yàn)閿?shù)列a的前n項(xiàng)和S1nn當(dāng)n2時(shí)，aSSn2n122n1，nnn1當(dāng)n1時(shí)a2n1也成立，故a2n1，nn令2n12023，解得：1012，故2023為數(shù)列a的第項(xiàng)，1012nn依題意將數(shù)列a依原順序按照第n組有2項(xiàng)的要求分組，則前m組一共有nn個(gè)數(shù)，21212m21222m22m1當(dāng)m8時(shí)，即前8組有292510個(gè)數(shù)；當(dāng)故第1012項(xiàng)在第9組；故選：B.m9時(shí)，即前組有21021022個(gè)數(shù)；9二、多選題9．下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有（）第3頁(yè)共15頁(yè)B．(1)1A．(sinx)cosxxx21C．(log)x1D．(ln)x3lnx3x【答案】AD【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷各選項(xiàng)的正誤.(sinx)cosxA：【詳解】，故正確；B：(1)1，故錯(cuò)誤；xx21C：(log)x，故錯(cuò)誤；xln331D：，故正確.(lnx)x故選：AD10．（多選）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差為d，是其前aSaSSn項(xiàng)和，0且，169nn則（）A．d0B．0a8SSSSSC．或?yàn)榈淖畲笾礑．78n56【答案】BCa0a0得到0，可得數(shù)列是單調(diào)遞減的S得到，再根據(jù)ad1n【解析】根據(jù)S698S或S為S的最大值，根據(jù)SSa0得SS，故BC正確等差數(shù)列，所以.78n65665SSS0S得，，【詳解】由6996aaa0，又aa2a，即7897983a0a0，，∴B正確；88aaa7d0，得0a，由，又d0，d17811∴數(shù)列a是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，na0nN,n7a0nN，n,n9nSSS或?yàn)榈淖畲笾?，∴A錯(cuò)誤，C正確；78nSSa0，SS，所以D錯(cuò)誤.65665故選：BC．a(chǎn)0，進(jìn)而推出【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)等差中項(xiàng)推出d0是解題關(guān)鍵.8第4頁(yè)共15頁(yè)a11．已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足：≥3a，是的前Saan項(xiàng)和，則下列四個(gè)命題中正n1nnnn確的是（）S≥139SA．≥3aa1B．nkkn13kk3a1an≥221aC．n≤D．是遞增數(shù)列Sn12ann【答案】ABCa≥3a和a0迭代可得結(jié)果，對(duì)于B，由于【分析】對(duì)于A，根據(jù)n1nna2k1aa≥3a化，結(jié)合S3kaaakak1aaa2k212k22k3kSaaan1nk12k簡(jiǎn)即可，對(duì)于C，由已知可得a≤a，…an≤a≤，，相加化簡(jiǎn)即可，對(duì)3n2anan3n13n121于D，舉例判斷【詳解】對(duì)于A，由已知得a≥3a≥32a≥33a≥≥3na，故A正確；n1nn1n21a2k1aaaakak1aaa2k2S對(duì)于B，12k22kaaa123k3kSkk1aaaaaa2k12k23k，由k1k22kaaaaaa1212kka≥3ka，a≥3a，a…≥3，≥9，≥9，…a≥9ka；得akaaaa2kkkkk11k222k2k112k23kkS3k≥13k9，故S≥13k9kS，故B正確；kkS3kka≥3aa≤a，an…≤，≤，所以aa1a對(duì)于C，由A知，nn33n23nn1n12n11aanaa11aSaaa≤nnn233333n12nn1nnn113n132a31a≤2a12a故C正確3na；1123nnnn13aan14對(duì)于D，若a是等比數(shù)列且，則是常數(shù)列，故D錯(cuò)誤，n1aannn故選：ABC.112．Sigmoid函數(shù)Sx是一個(gè)在生物學(xué)中常見(jiàn)的S型函數(shù)，也稱(chēng)為S型生長(zhǎng)曲線，1ex激活函數(shù)．記Sx為Sigmoid常被用作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）第5頁(yè)共15頁(yè)SxSxSxA．1B．Sigmoid函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形C．函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形SxD．Sigmoid函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)Sx【答案】ABC【分析】對(duì)于A：直接求導(dǎo)，即可判斷；12對(duì)于B：直接求出0,為Sigmoid函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；C：設(shè)gxSx，由gxgx，即可判斷；對(duì)于對(duì)于D：由Sx的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形即可判斷．ex1Sx，選項(xiàng)SxSxSxA：由題意得【詳解】對(duì)于，故2A正確；1ex11ex1Sx1ex1SxSxSx1，所以Sigmoid函對(duì)于B：因?yàn)?，，所?20,數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為B，選項(xiàng)正確；exgxeeegx，所以函2xxxe2x1e2xgxSx，則對(duì)于C：設(shè)1ex1e22x數(shù)Sx的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，選項(xiàng)C正確；Sx的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可知函數(shù)Sx不單調(diào)，故選項(xiàng)對(duì)于D：由C可知，由Dy錯(cuò)誤．故選：ABC三、填空題13．已知數(shù)列為等差數(shù)列且a5=2，則其前9項(xiàng)和S9=___________.an【答案】18【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.9(aa)9列，所以2a9a18，5【詳解】因?yàn)閿?shù)列a為等差數(shù)S1922n95故答案為：18fxx，則14．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且fxfxf1xf1x____________.limx0第6頁(yè)共15頁(yè)f1xf1x.11【詳解】解：由導(dǎo)數(shù)的定義知limfx0故答案為：1.15．“康托爾塵埃”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其過(guò)程如下：在1一個(gè)單位正方形中，首先，將正方形等分成9個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，保留靠角的4個(gè)3小正方形，記4個(gè)小正方形面積之和為S：然后，將剩余的4個(gè)小正方形分別繼續(xù)91等分，分別保留靠角的4個(gè)小正方形，記16個(gè)小正方形面積之和為S；…；操作過(guò)程217不斷進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，保留的圖形稱(chēng)為康托爾塵埃.若SSS≥n，則操2512作次數(shù)n的最小值為_(kāi)___________.【答案】3494nx【分析】由已知得，再由等比數(shù)列的求和公式建立不等式，由函數(shù)fxnS9的單調(diào)性即可得答案.1S4；S是邊長(zhǎng)為的4個(gè)正方形的面積之和，故3114【詳解】解：329113142；2是邊長(zhǎng)為的242S24個(gè)正方形的面積之和，故S23922以此類(lèi)推得：S14n9n4n3n244n144444172n99194n從而Sn9991≥，SS592512n所以≤3，函數(shù)4xfx94nx單調(diào)遞減，920n時(shí)，16，43時(shí)，，故4964323且n2n3n最小值取3.981207292023第7頁(yè)共15頁(yè)故答案為：3.12A1,0、A5,0、16．已知軸上的點(diǎn)…、Aa,0滿(mǎn)足AAxAA，射線112nnn1nnnyxx0上的點(diǎn)B3,3、B5,5、…、Bb,b滿(mǎn)足OBOB22，nN*，12nnnn1n則四邊形AABB的面積S的取值范圍為_(kāi)_____nn1n1nn9,12【答案】12AA可得an1nAa,0滿(mǎn)足AA【分析】先通過(guò)點(diǎn)a為等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公nnn1n1nn式，進(jìn)而可得點(diǎn)A(924n,0)，再利用Bbb滿(mǎn)足OBOB22可得,n1nnnnnB(2n1,2n1)，則根據(jù)SSnS可將面積用n表示，再通過(guò)判斷數(shù)列的單OABOAn1Bn1nn調(diào)性可得面積的取值范圍.12A1,0、A5,0、【詳解】由x軸上的點(diǎn)…、Aa,0滿(mǎn)足AAAA1n12nnn1nna1(aan)，n2，得a2n1nn1aa4，又21則aa是以4為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，n1n2aa4(1)，n12n1n1(1)n1aa(aa)...(aa)14...4(1)14922n24n，112n121nn12a1符合上式，1又A(92,0)，4nn因?yàn)樯渚€yxx0上的點(diǎn)B3,3、B5,5、…、Bb,b滿(mǎn)足OBOB2212nnnn1nOB2b,OB2bn又n1n1n2b2b22，n1nbb2,B(3,3)n又1，n1b2n1，nB(2n1,2n1)，n第8頁(yè)共15頁(yè)則(923n,0),B(2n3,23)，An1nn1AABB的面積為SSnnn1n1OAn1Bn1S，OAB四邊形nn即(923n)(2n3)1(924n)(2n1)(S11n)23n98n49，2222n8n4g(n1)8n42n1令()gn，，則nN2ng(n1)g(n)8n48n464n，2n122nn當(dāng)n1時(shí)，(2)(1)ggn2時(shí)，g(n1)g(n)，當(dāng)8n4g(2)824的最大值為gn()則3，2n228n4又g(1)2，且g(n)0，8n42n0gn3所以，而()99，Sgn2n9S12故，AABB的面積S的取值范圍為.9,12nnnn1n1所以四邊形9,12故答案為：四、解答題17．已知是等差數(shù)列，其中22，.aa2a48n(1)求的通項(xiàng)公式；an(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的最大值.SSnnana283n(1)n【答案】(2)1171）設(shè)等差數(shù)列da的公差為，然后根據(jù)已知條件列方程求出da，從而可n,1【分析】（求出其通項(xiàng)公式，n9（2）由通項(xiàng)公式可求得當(dāng)a0；當(dāng)n≥10a0，從而可得n9時(shí)，Sn時(shí)，時(shí)，nn最大，進(jìn)而可求出其最大值【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列da的公差為，naa6d，a22，a4，因?yàn)?228所以4226d，第9頁(yè)共15頁(yè)d3所以a25，，1a283nn所以.283n0，得913，n(2)因?yàn)?83n，令ann9所以當(dāng)a0；當(dāng)n≥10時(shí)，a0，n時(shí)，n2591983117.S最大，且最大值為Sn9故當(dāng)時(shí)，n9218．已知函數(shù)f(x)axlnxaR.（1）當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；（2）若對(duì)x0,f(x)0，恒成立，求a的取值范圍.1e【答案】（1）極小值為1ln2，無(wú)極大值；（2）,.【分析】（1）對(duì)函數(shù)fx進(jìn)行求導(dǎo)、列表、判斷函數(shù)fx的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可；（2）對(duì)fx0進(jìn)行常變量分離，然后構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而求出新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題意求出a的取值范圍即可.0,【詳解】（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，a2時(shí)，f(x)212x1(x0)1x2.由f'(x)0，得.當(dāng)'xx當(dāng)x變化時(shí)，x()，()的變化情況如下表fxf'121212,0,xf'(x)-0+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增1210,,所以()在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，fx21f1ln2，無(wú)極大值.所以函數(shù)f(x)的極小值為2（2）對(duì)x0,，f(x)0恒成立，即對(duì)x0,ln，x恒成立.ax1lnxlnx令()hxh(x)，則.由()0得xe，'hx'xx2第10頁(yè)共15頁(yè)x0,e時(shí)，h(x)0'h(x)單調(diào)遞增；，當(dāng)xe,時(shí)，h(x)0'h(x)單調(diào)遞減，，當(dāng)11hea，因此.所以()hxmaxeea的取值范圍是,.1e所以【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查了構(gòu)造函數(shù)法、常變量分離法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和分類(lèi)討論思想.1logaloga3；②bba19．在①這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填寫(xiě)在下面問(wèn)題nnn2n12n2橫線處，并完成問(wèn)題的解答.問(wèn)題：已知數(shù)列a是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且a是a2和a1的等差中項(xiàng).213n(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；an(2)記__________，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T.bnn注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】2n1n(1)a(2)答案見(jiàn)解析qqa是a2和a1的等差中項(xiàng)列出含的方程，即可求解出，即可【分析】（1）利用213由定義公式寫(xiě)出通項(xiàng)；1nn1b，利用項(xiàng)裂（2）選①，可采取分n組求和，利用公式求和即可；選②，Tn相消法求和即可.q2aa2a1(1)設(shè)公比為，則q212q21，即，得q2，故通項(xiàng)【詳解】213公式為a2n1；n32n3，Tbb..b132323n(2)如果選①：ban11n1nn1212n1212n13n123n2n3n11logaloga1nn111如果選②：bnn1n2n12n2故1112231nn11111111Tbb..b1223nn1n12n1n1n1n1第11頁(yè)共15頁(yè)20．設(shè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列的前2Sn項(xiàng)和為，已知n1a2n()，且成aaa,,nN*235aSnnn等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；ana1，數(shù)列b{}的前n項(xiàng)和T.n(2)若bn2nannan1【答案】(1)nn242(2)Tn1naSS(n2)得出1）利用nn{a}的遞推關(guān)系，從而得數(shù)列從第2項(xiàng)起為【分析】（n1na(n2)，然后由已知式a，這樣可得通項(xiàng)公式等差數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得2n中令n1求得a，比較后可得結(jié)論；1（2）用錯(cuò)位相減法求和．(1)當(dāng)n1時(shí)，2aa1，【詳解】221n2時(shí)，2San①，2Sa2(n1)②.當(dāng)2n1nn1n①-②得2aaa21，即aa2a1a1，22n12n12nnnnna0，∴aa1，∵nn1n∴數(shù)列a從第2項(xiàng)起是公差為1的等差數(shù)列.n∴aan2(n2)，n2又a，a，a成等比數(shù)列，∴a，即125aaaa3，2a22323522a1，∴a1n2n1(n2)，解得2n∵21，∴a，適合01上式，aa122∴數(shù)列a的通項(xiàng)公式為1.annnn2n1(2)b，n∴數(shù)列b的前n項(xiàng)的和為nn1n③T1232n22n1202122n1123n1nT④22222nn12n123③-④得第12頁(yè)共15頁(yè)1111n2T12n12n222n1n211n2n2，n21122n122nnn2n2.42∴Tnn121．如圖所示，兩村莊A和B相距10km，現(xiàn)計(jì)劃在兩村莊外以AB為直徑的半圓弧AB上選擇一點(diǎn)建造自來(lái)水廠，并沿線段CACB和鋪設(shè)引水管道.根據(jù)調(diào)研分析，段的CAC引水管道造價(jià)為2萬(wàn)元/km，段的引水管道造價(jià)為m萬(wàn)元/km，設(shè)CAxkm，鋪設(shè)CBy且已知當(dāng)自來(lái)水廠建在半圓弧AB的中點(diǎn)時(shí)，y302.引水管道的總造價(jià)為萬(wàn)元，(1)求m的值，并將y表示為x的函數(shù)；(2)分析y是否存在最大值，【答案】(1)m4，y2x4100x2，其中0x10；(2)存在，且y的最大值為205.【分析】（1）求得BC100x2，根據(jù)已知條件求出x的取值范圍，求出最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.若存在，根據(jù)題意得出y2xm100x2，將x52代入函數(shù)解析式可求得m的值，y由此可得出表示為x的函數(shù)關(guān)系式；0,10（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y2x4100x2在上的單調(diào)性，【詳解】(1)解：因?yàn)锳B則90，則BCAB2AC2100x2，由此可得出結(jié)論.為半圓弧的直徑，ACBx0由題意可得100x20，可得0x10，所以，y2xm100x2，其中0x10，的中點(diǎn)時(shí)，52，此時(shí)y522m302，解得m4，x當(dāng)點(diǎn)C在AB因此，y2x4100x2，其中0x10.，其中0x10，則(2)解：因?yàn)閥2x4100x2第13頁(yè)共15頁(yè)2100x2x24xy2，100x2100x20xx0,10fx可得25，因?yàn)楹瘮?shù)100fx2在上為減函數(shù)，由2x2100x2x2當(dāng)0x25時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)y2x4100x2單調(diào)遞增，100x22100x2x2當(dāng)25x10時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)y2x4100x2單調(diào)遞減，100x2故當(dāng)25時(shí)，函數(shù)24100取最大值，即x2ymax205.xyxhxegx22．已知函數(shù)l