非線性控制系統(tǒng)的分析

非線性控制系統(tǒng)的分析第一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日9.1典型非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)性能的影響與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)具有如下特點(diǎn)：（1）非線性系統(tǒng)不適用疊加原理，輸出與輸入間不存在線性比例關(guān)系。（2）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且還和輸入信號(hào)與初值的大小（初始偏差）有關(guān)。例如小初始偏差時(shí)穩(wěn)定的系統(tǒng)，大偏差時(shí)就可能不穩(wěn)定。（3）自振：所謂自振，是在沒(méi)有外施信號(hào)作用時(shí)，非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定振蕩現(xiàn)象；而線性系統(tǒng)的等幅振蕩則只是系統(tǒng)的一種臨界穩(wěn)定狀態(tài)，只要系統(tǒng)的參數(shù)稍有變化，這種臨界等幅振蕩就會(huì)趨于發(fā)散或者變?yōu)槭諗?。也就是說(shuō)，線性系統(tǒng)的這種等幅振蕩是暫時(shí)性的，而非線性系統(tǒng)的自振則是穩(wěn)定的、頑固的。（4）跳躍諧振與多值響應(yīng)：當(dāng)輸入信號(hào)的頻率由小到大和由大到小變化時(shí)，非線性系統(tǒng)的幅頻值可能出現(xiàn)突跳式的不連續(xù)現(xiàn)象，即所謂跳躍諧振與多值響應(yīng)，如圖9.1-1所示。（5）組合頻率響應(yīng)：當(dāng)輸入某正弦信號(hào)時(shí)，非線性系統(tǒng)的輸出一般都是由輸入正弦的各次諧波（組合頻率）分量所組成的非正弦周期函數(shù)，具有組合頻率響應(yīng)的特點(diǎn)。第二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日1）

飽和特性（9.1-1）

圖9.1-1跳躍諧振與多值響應(yīng)圖9.1-2飽和特性及其等效變?cè)鲆娴谌?yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

2）死區(qū)特性所謂死區(qū)也叫不靈敏區(qū)，系指輸入信號(hào)偏小時(shí)，死區(qū)特性元件沒(méi)有輸出，僅當(dāng)輸入增加到某個(gè)值以上時(shí)，該元件才有輸出。死區(qū)特性及其等效變?cè)鲆嫣匦匀鐖D9.1-3a.、b.所示。死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的主要影響有：①使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大、定位精度降低；②當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為斜坡等函數(shù)時(shí)，還會(huì)引起系統(tǒng)輸出在時(shí)間上的滯后；③小信號(hào)時(shí)，死區(qū)特性的等效增益

k很小，能提高小起始偏差情況下的系統(tǒng)穩(wěn)定性；④等效增益會(huì)減小系統(tǒng)的總開環(huán)增益，可提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性，降低動(dòng)態(tài)振蕩傾向；⑤死區(qū)能濾掉從輸入端引入的小幅值干擾信號(hào)，從而提高系統(tǒng)對(duì)小擾動(dòng)的抗干擾能力。圖9.1-3死區(qū)特性及其等效變?cè)鲆嫣匦缘谒捻?yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日3）間隙特性在機(jī)械傳動(dòng)中，為了保證齒輪在傳動(dòng)中轉(zhuǎn)動(dòng)靈活、防止發(fā)生齒輪嚙合卡死現(xiàn)象，齒輪之間總是留有一定的間隙。由于間隙的存在，當(dāng)主動(dòng)輪的運(yùn)動(dòng)方向改變時(shí)，主動(dòng)輪需要轉(zhuǎn)過(guò)與從動(dòng)輪之間的間隙行程后，才能推動(dòng)從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)。齒輪傳動(dòng)及其間隙特性如圖9.1-4所示。系統(tǒng)中若有間隙特性元件，不僅會(huì)使系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生相位滯后，導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定裕量的減小，使動(dòng)態(tài)性能惡化，容易產(chǎn)生自振；而且間隙區(qū)會(huì)降低定位精度、增大系統(tǒng)靜差。圖9.1-4齒輪傳動(dòng)及其間隙特性第五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日繼電特性繼電器、接觸器等都具有繼電特性。實(shí)際繼電器工作時(shí)，只有流經(jīng)線圈的電流大于吸合值（或線圈兩端所加的電壓大到某一數(shù)值）后，繼電器的銜鐵方能吸合，所以，繼電特性一般都有死區(qū)存在。此外，由于繼電器的吸合電流一般都大于釋放電流，因此，實(shí)際的繼電特性具有滯環(huán)特點(diǎn)。三種典型的繼電特性如圖9.1-5所示。圖9.1-5中，圖a.為不考慮死區(qū)和滯環(huán)的理想繼電特性；圖b.為只考慮死區(qū)的繼電特性；圖c.為只考慮滯環(huán)的繼電特性；圖d.則為帶滯環(huán)的實(shí)際繼電特性。圖9.1-5三種典型的繼電特性第六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日9.2非線性控制系統(tǒng)的分析方法目前研究非線性控制系統(tǒng)的常用工程方法有如下四種：(1)相平面法：將控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程用相平面上某點(diǎn)的移動(dòng)軌跡來(lái)表示，是一種通過(guò)時(shí)域求解一、二階常微分方程，繪制、分析相軌跡的圖解法；能夠比較直觀、準(zhǔn)確、全面地分析一、二階線性或非線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時(shí)間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度以及初值與參數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響；缺點(diǎn)是僅限于一、二階系統(tǒng)的分析。(2)描述函數(shù)法：在一定的假設(shè)條件下，通過(guò)諧波線性化近似，對(duì)非線性部件的基波輸出分量進(jìn)行頻域分析，是線性系統(tǒng)頻率特性法在非線性控制系統(tǒng)的推廣，主要用于系統(tǒng)穩(wěn)定性和自振的分析，這種方法不受系統(tǒng)階次的限制，對(duì)非線性控制系統(tǒng)的初步分析和設(shè)計(jì)非常方便；缺點(diǎn)是不能給出時(shí)間響應(yīng)的確切信息，不如相平面法精確。(3)李雅普諾夫法：通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，根據(jù)能量的收斂或發(fā)散來(lái)分析非線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性（詳見下篇：現(xiàn)代分析方法）；缺點(diǎn)是構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)比較困難。(4)計(jì)算機(jī)求解法：通過(guò)計(jì)算機(jī)直接求解非線性系統(tǒng)的微分方程，可以分析和設(shè)計(jì)復(fù)雜的非線性控制系統(tǒng)，隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，計(jì)算機(jī)求解法將有更大的發(fā)展前景。第七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日9.2.1

相平面法1）相平面法的基本概念一般二階時(shí)不變系統(tǒng)的常微分方程為（9.2-1）以時(shí)間t

作為參變量，以為橫坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)，則以和構(gòu)成的二維狀態(tài)空間即為相平面。相平面上的每個(gè)相點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)；沿著時(shí)間t增大的方向，將許多相點(diǎn)連接起來(lái)即形成一條相軌跡。由于相平面只能表示和兩個(gè)獨(dú)立變量，所以相平面法只能用來(lái)研究一、二階線性或非線性系統(tǒng)。2）相軌跡的繪制方法（1）二階線性系統(tǒng)的相軌跡

（2）相軌跡的繪制第八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D9.2-2二階線性系統(tǒng)的6種特征根及對(duì)應(yīng)的相軌跡與奇點(diǎn)第九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日相軌跡的繪制方法有解析法和圖解法兩種：當(dāng)系統(tǒng)的微分方程比較簡(jiǎn)單、便于積分求解時(shí)，一般用解析法繪制；當(dāng)采用解析法求解有困難時(shí)，可用圖解法繪制。

對(duì)于式（9.2-1），令，有，所以可得（9.2-5）式（9.2-5）是關(guān)于和的一階微分方程，即二階非線性系統(tǒng)的相軌跡方程。由式（9.2-5），令，即有（9.2-6）或（9.2-7）①解析法：即直接對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程進(jìn)行積分求解——先將系統(tǒng)的狀態(tài)方程化為相軌跡方程，再對(duì)相軌跡方程求積分，得到x1和x2的關(guān)系式，即可逐點(diǎn)繪出系統(tǒng)的相軌跡圖。第十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日例9.2-1試對(duì)圖9.2-3非線性系統(tǒng)，用解析法繪出系統(tǒng)的相軌跡。解：由圖，非線性為理想繼電特性，有，對(duì)線性部分，入出關(guān)系為令，，則有，可得

，兩邊積分，可得圖9.2-3例9.2-1非線性系統(tǒng)第十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日②圖解法：不需直接求解系統(tǒng)的微分方程，而是通過(guò)作圖來(lái)畫出系統(tǒng)的相軌跡。常用圖解法有等傾線法和δ法兩種。等傾線法：利用式（9.2-7）與式（9.2-6），即通過(guò)二階非線性系統(tǒng)相軌跡的斜率方程與等傾線方程，設(shè)定不同的α與β

，即可在相平面上畫出許多等傾線并建立相應(yīng)相軌跡的切線方向場(chǎng)；由給定的初始狀態(tài)（相軌跡的起始相點(diǎn)）出發(fā)，便可沿等傾線的切線方向完成系統(tǒng)的相軌跡；因?yàn)槿魏我粭l曲線都是可以用一系列足夠短的折線來(lái)逼近的。圖9.2-4例9.2-1系統(tǒng)的相軌跡第十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日例9.2-2試用等傾線法繪制二階線性系統(tǒng)在時(shí)的相軌跡。解：令，則有，可得等傾線方程，即（9.2-8）可見，此系統(tǒng)相軌跡的等傾線都是過(guò)原點(diǎn)且斜率為

β的直線。由式（9.2-8）有，當(dāng)α取不同的值時(shí)，可得到表9.2-1。起始相點(diǎn)出發(fā)，即可繪出該系統(tǒng)的相軌跡，如圖9.2-5所示。

第十三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D9.2-5

例9.2-2的相軌跡第十四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日δ法：實(shí)際上，也可以認(rèn)為相軌跡是由一系列圓心沿x

軸滑動(dòng)的圓弧所組成的連續(xù)曲線。（3）相軌跡的三種極限環(huán)極限環(huán)是一種特殊的相軌跡，是最常見的奇線。根據(jù)極限環(huán)附近相軌跡的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，可以分為穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的與半穩(wěn)定的三種極限環(huán)。①穩(wěn)定的極限環(huán)：若起始于極限環(huán)外部和內(nèi)部的相軌跡最終都趨向于這個(gè)極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極限環(huán)；系統(tǒng)在微小擾動(dòng)下，相軌跡可能稍稍離開極限環(huán)，但最終仍能回到這個(gè)極限環(huán)，所以系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)為穩(wěn)定的自振運(yùn)動(dòng)；由于極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡是發(fā)散至極限環(huán)，而極限環(huán)外部的相軌跡則是收斂到極限環(huán)，所以穩(wěn)定的極限環(huán)內(nèi)部是不穩(wěn)定的區(qū)域，而外部則是穩(wěn)定的區(qū)域；穩(wěn)定的極限環(huán)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察到，如圖9.2-8a.所示。②不穩(wěn)定的極限環(huán)：若起始于極限環(huán)外部和內(nèi)部的相軌跡最終都遠(yuǎn)離極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)，對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的；任何微小擾動(dòng)都將使系統(tǒng)狀態(tài)離開不穩(wěn)定極限環(huán)，所以不穩(wěn)定的極限環(huán)內(nèi)部是漸近穩(wěn)定的區(qū)域，而外部則是不穩(wěn)定區(qū)域，如圖9.2-8b.所示；不穩(wěn)定的極限環(huán)在實(shí)驗(yàn)中是無(wú)法觀察到的。③半穩(wěn)定的極限環(huán)：若起始于極限環(huán)內(nèi)（外）部的相軌跡最終遠(yuǎn)離極限環(huán)，而起始于極限環(huán)外（內(nèi)）部的相軌跡最終趨向極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為半穩(wěn)定的極限環(huán)，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的，如圖9.2-8c.、d.所示（在實(shí)驗(yàn)中無(wú)法觀察到）；圖9.2-8c.中，極限環(huán)的內(nèi)、外部都是系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定區(qū)域，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)最終將收斂于環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)；而圖9.2-8d.中，極限環(huán)的內(nèi)、外部則都是不穩(wěn)定的區(qū)域，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)最終將發(fā)散于無(wú)窮遠(yuǎn)處。第十五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日3）由相軌跡求系統(tǒng)的瞬時(shí)響應(yīng)9.2.2

非線性控制系統(tǒng)的相平面分析1）分段線性方法所謂分段線性方法，一般是根據(jù)典型非線性特性的分段情況：先用分界線（也叫開關(guān)線或轉(zhuǎn)換線）將相平面劃分為幾個(gè)線性區(qū)域；再按照系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖分別列寫各區(qū)域的線性微分方程，并應(yīng)用線性系統(tǒng)的相平面分析方法和結(jié)論，分別繪出各區(qū)域的相軌跡；最后根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變化的連續(xù)性，在各區(qū)域開關(guān)線的轉(zhuǎn)換點(diǎn)上將相軌跡銜接成連續(xù)曲線，即可得到非線性系統(tǒng)的完整相圖。圖9.2-8穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的與半穩(wěn)定的三種極限環(huán)第十六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日2）非線性控制系統(tǒng)的相平面分析9.2.3描述函數(shù)法描述函數(shù)法是一種近似方法。在一定的條件下，通過(guò)對(duì)非線性部件的基波輸出分量進(jìn)行諧波線性化近似并得到非線性部件的描述函數(shù)，再按照線性系統(tǒng)的頻域法對(duì)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振進(jìn)行分析；描述函數(shù)法不受系統(tǒng)階次的限制，在非線性控制系統(tǒng)的初步分析和設(shè)計(jì)中非常方便；描述函數(shù)法的缺點(diǎn)是不如相平面法精確。1）諧波線性化所謂諧波線性化，就是用非線性元件在正弦輸入下輸出的基波分量近似取代輸出的過(guò)程。非線性元件的描述函數(shù)N(X)定義為非線性元件在正弦輸入下輸出的基波分量與正弦輸入的復(fù)數(shù)比，即（9.2-33）第十七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日諧波線性化是有條件的，具體歸納為以下4點(diǎn)：⑴非線性系統(tǒng)可以歸化為下面圖9.2-16所示的典型結(jié)構(gòu)；⑵由于描述函數(shù)法多用于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振分析，可令，而且非線性元件的輸入為正弦擾動(dòng)信號(hào)，即；⑶正弦擾動(dòng)下非線性元件的輸出具有奇對(duì)稱（如死區(qū)、飽和等的輸出）或奇諧對(duì)稱（如間隙、實(shí)際繼電等的輸出）特性，可以保證非線性元件輸出的直流分量與偶次諧波均等于零；⑷系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波性能，以確保諧波線性化的近似精度，對(duì)于一般的控制系統(tǒng)，這個(gè)條件是能滿足的，而且線性部分的階次越高，低通濾波越好、近似精度越高。圖9.2-16非線性控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)第十八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日2）

非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)歸化問(wèn)題⑴結(jié)構(gòu)歸化的總原則①非線性元件的輸入、輸出關(guān)系始終不能改變；②擾動(dòng)輸入和系統(tǒng)輸出的位置可以改變，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振分析沒(méi)有影響。⑵非線性元件的結(jié)構(gòu)歸化①并聯(lián)非線性元件的化簡(jiǎn)——特性曲線直接對(duì)應(yīng)疊加。②串聯(lián)非線性元件的化簡(jiǎn)——前面非線性元件的輸出為后面非線性元件的輸出，前后的順序不可隨便更換。⑶非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)歸化圖9.2-20非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)歸化第十九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日3）典型非線性特性的描述函數(shù)非線性元件的描述函數(shù)可按以下步驟計(jì)算進(jìn)行?！じ鶕?jù)非線性元件的特性，當(dāng)輸入為時(shí)，確定輸出的波形；·計(jì)算的基波分量，其中，且對(duì)于單值奇對(duì)稱輸出，有；而對(duì)奇諧對(duì)稱輸出，則有；·按照描述函數(shù)的定義式（9.2-33），求得非線性元件的描述函數(shù)。⑴理想繼電特性的描述函數(shù)⑵飽和特性的描述函數(shù)⑶死區(qū)特性的描述函數(shù)第二十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日9.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)1）把線性控制中的Nyquist穩(wěn)定判據(jù)推廣到非線性控制系統(tǒng)經(jīng)過(guò)諧波線性化與結(jié)構(gòu)歸化，由圖9.2-16有則系統(tǒng)的特征方程為（9.2-38）或