2023年江蘇省常州市高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知數(shù)列的前項和，那么（）A．此數(shù)列一定是等差數(shù)列 B．此數(shù)列一定是等比數(shù)列C．此數(shù)列不是等差數(shù)列，就是等比數(shù)列 D．以上說法都不正確2．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則使取得最大值時的值為()A．5 B．6 C．7 D．83．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包分給五個人，使每個人所得成等差數(shù)列，最大的三份之和的是最小的兩份之和，則最小的一份的量是()A． B． C． D．4．已知函數(shù)相鄰兩個零點之間的距離為，將的圖象向右平移個單位長度，所得的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則的一個值可能是（）A． B． C． D．5．已知直線經(jīng)過點，且傾斜角為，則直線的方程為（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)和在區(qū)間I上都是減函數(shù)，那么區(qū)間I可以是（）A． B． C． D．7．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為弧田面積，弧田（如圖所示）由圓弧和其所對的弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑為6米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積大約是（）（）A．16平方米 B．18平方米C．20平方米 D．24平方米8．?dāng)?shù)列1,3,6,10，…的一個通項公式是（）A． B．C． D．9．等差數(shù)列中，，則().A．110 B．120 C．130 D．14010．已知，，且，，則的值為（）A． B．1 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．對于任意x>0，不等式3x2-2mx+12>012．?dāng)?shù)列中，為的前項和，若，則____．13．已知數(shù)列的通項公式為，則該數(shù)列的前1025項的和___________.14．在中，，則______．15．已知圓的圓心在直線上，半徑為，若圓上存在點，它到定點的距離與到原點的距離之比為，則圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍是__________．16．已知正實數(shù)a,b滿足2a+b=1，則1a三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，長方形材料中，已知，.點為材料內(nèi)部一點，于，于，且，.現(xiàn)要在長方形材料中裁剪出四邊形材料，滿足，點、分別在邊，上.（1）設(shè)，試將四邊形材料的面積表示為的函數(shù)，并指明的取值范圍；（2）試確定點在上的位置，使得四邊形材料的面積最小，并求出其最小值.18．2019年是中華人民共和國成立70周年，某校黨支部舉辦了一場“我和我的祖國”知識競賽，滿分100分，回收40份答卷，成績均落在區(qū)間內(nèi)，將成績繪制成如下的頻率分布直方圖.（1）估計知識競賽成績的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）從，分?jǐn)?shù)段中，按分層抽樣隨機(jī)抽取5份答卷，再從對應(yīng)的黨員中選出3位黨員參加縣級交流會，求選出的3位黨員中有2位成績來自于分?jǐn)?shù)段的概率.19．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.20．的內(nèi)角所對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．21．直線經(jīng)過點，且與圓相交與兩點，截得的弦長為，求的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

利用即可求得：，當(dāng)時，或，對賦值2,3，選擇不同的遞推關(guān)系可得數(shù)列：1，3,-3，…，問題得解.【詳解】因為，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，整理有，，所以或若時，滿足，時，滿足，可得數(shù)列：1，3,-3，…此數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列故選D【點睛】本題主要考查利用與的關(guān)系求，以及等差等比數(shù)列的判定．2、D【解析】

由題意求得數(shù)列的通項公式為，令，解得，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，即又由，即，所以等差數(shù)列的公差為，又由，解得，所以數(shù)列的通項公式為，令，解得，所以使得取得最大值時的值為8，故選D.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式，以及前n項和最值問題，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由題意可得中間部分的為20個面包，設(shè)最小的一份為，公差為，可得到和的方程，即可求解.【詳解】由題意可得中間的那份為20個面包，設(shè)最小的一份為，公差為，由題意可得，解得，故選D.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用，其中根據(jù)題意設(shè)最小的一份為，公差為，列出關(guān)于和的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

先求周期，從而求得，再由圖象變換求得．【詳解】函數(shù)相鄰兩個零點之間的距離為，則周期為，∴，，圖象向右平移個單位得，此函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)，∴，，．時，．故選D．【點睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)．考查圖象平衡變換．在由圖象確定函數(shù)解析式時，可由最大值和最小值確定，由“五點法”確定周期，從而確定，再由特殊值確定．5、C【解析】

根據(jù)傾斜角求得斜率，再根據(jù)點斜式寫出直線方程，然后化為一般式.【詳解】傾斜角為，斜率為，由點斜式得，即.故選C.【點睛】本小題主要考查傾斜角與斜率對應(yīng)關(guān)系，考查直線的點斜式方程和一般式方程，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

分別根據(jù)和的單調(diào)減區(qū)間即可得出答案．【詳解】因為和的單調(diào)減區(qū)間分別是和，所以選擇B【點睛】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對三角函數(shù)圖像與性質(zhì)掌握情況.7、C【解析】分析：根據(jù)已知數(shù)據(jù)分別計算弦和矢的長度，再按照弧田面積經(jīng)驗公式計算，即可得到答案.詳解：由題可知，半徑，圓心角，弦長：，弦心距：，所以矢長為.按照弧田面積經(jīng)驗公式得，面積故選C.點睛：本題考查弓形面積以及古典數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題，考查學(xué)生對題意的理解和計算能力.8、C【解析】

試題分析：可采用排除法，令和，驗證選項，只有，使得，故選C．考點：數(shù)列的通項公式．9、B【解析】

直接運用等差數(shù)列的下標(biāo)關(guān)系即可求出的值.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，因此，故本題選B.【點睛】本題考查了等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.10、A【解析】

由已知求出，的值，再由，展開兩角差的余弦求解，即可得答案．【詳解】由，，且，，，，∴，∴，．故選：A．【點睛】本題考查兩角和與差的余弦、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意“拆角配角”思想的運用.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、(-∞,6)【解析】

先參變分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，再通過求函數(shù)最值得結(jié)果.【詳解】因為3x2-2mx+12>0，所以m<3x2+【點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.12、【解析】

由，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】因為，所以，又因為所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以由等比數(shù)列的求和公式得，解得【點睛】本題考查利用等比數(shù)列的定義求通項公式以及等比數(shù)列的求和公式，屬于簡單題．13、2039【解析】

根據(jù)所給分段函數(shù),依次列舉出當(dāng)時的值,即可求得的值.【詳解】當(dāng)時,,當(dāng)時,,,共1個2.當(dāng)時,,,共3個2.當(dāng)時,,,共7個2.當(dāng)時,,,共15個2.當(dāng)時,,,共31個2.當(dāng)時,,,共63個2.當(dāng)時,,,共127個2.當(dāng)時,,,共255個2.當(dāng)時,,,共511個2.當(dāng)時,,,共1個2.所以由以上可知故答案為:2039【點睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,由所給式子列舉出各個項,即可求和,屬于中檔題.14、【解析】

由已知求得，進(jìn)一步求得，即可求出．【詳解】由，得，即，，則，，，則．【點睛】本題主要考查應(yīng)用兩角和的正切公式作三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值．15、【解析】因為圓心在直線上，設(shè)圓心，則圓的方程為，設(shè)點，因為，所以，化簡得，即，所以點在以為圓心，為半徑的圓上，則，即，整理得，由，得，由，得，所以圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍是.點睛：本題主要考查了圓的方程，動點的軌跡方程、兩圓的位置關(guān)系、解不等式等知識的綜合運用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和學(xué)生的運算求解能力，解答中根據(jù)題設(shè)條件得到動點的軌跡方程，利用兩圓的位置關(guān)系，列出不等式上解答的關(guān)鍵.對于直線與圓的位置關(guān)系問題，要熟記有關(guān)圓的性質(zhì)，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的靈活運用.16、9【解析】

利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【詳解】解：∵正實數(shù)a,b滿足2a+b=1，∴1a+12b=（2a+b∴1a+故答案為：9【點睛】本題考查了“乘1法”和基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)當(dāng)時，四邊形材料的面積最小，最小值為.【解析】分析：（1）通過直角三角形的邊角關(guān)系，得出和，進(jìn)而得出四邊形材料的面積的表達(dá)式，再結(jié)合已知尺寸條件，確定角的范圍.（2）根據(jù)正切的兩角差公式和換元法，化簡和整理函數(shù)表達(dá)式，最后由基本不等式，確定面積最小值及對應(yīng)的點在上的位置.詳解：解：（1）在直角中，因為，，所以，所以，在直角中，因為，，所以，所以，所以，.（2）因為，令，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，此時，，，答：當(dāng)時，四邊形材料的面積最小，最小值為.點睛：本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，注意換元法和基本不等式的合理運用.換元法求函數(shù)的值域，通過引入新變量（輔助式，輔助函數(shù)等），把所有分散的已知條件聯(lián)系起來，將已知條件和要求的結(jié)果結(jié)合起來，把隱藏在條件中的性質(zhì)顯現(xiàn)出來，或把繁瑣的表達(dá)式簡化，之后就可以利用各種常見的函數(shù)的圖象和性質(zhì)或基本不等式來解決問題.常見的換元方法有代數(shù)和三角代換兩種.要特別注意原函數(shù)的自變量與新函數(shù)自變量之間的關(guān)系.18、（1）中位數(shù)為80.平均數(shù)為（2）【解析】

（1）由頻率分布直方圖可知，利用中位數(shù)和平均數(shù)的計算公式，即可求解.（2）由頻率分布直方圖可知，分別求得，分?jǐn)?shù)段中答卷數(shù)，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，前3個小矩形的面積和為，后2個小矩形的面積和為，所以估計中位數(shù)為80.估計平均數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)段中答卷數(shù)分別為12，8，抽取比例為，所以，分?jǐn)?shù)段中抽取的答卷數(shù)分別為3，2.記中對應(yīng)的3為黨員為，，，中對應(yīng)的2為黨員為，.則從中選出對應(yīng)的3位黨員，共有不同的選法總數(shù)10種：，，，，，，，，，.易知有2位來自于分?jǐn)?shù)段的有3種，故所求概率為.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計算，其中解答中熟記頻率直方圖中中位數(shù)和平均數(shù)的計算方法，以及準(zhǔn)確利用列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)證明見解析；(2)【解析】

（1）將已知條件湊配成，由此證得數(shù)列為等差數(shù)列.（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求得的表達(dá)式，利用分組求和法求得.【詳解】（1）證明：∵∴又∵∴所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；（2）由（1）知，，所以.所以【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等差數(shù)列，考查分組求和法，屬于中檔題.20、（1）；（2）5.【解析】

（1）根據(jù)正弦定理得，化簡即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面積．【詳解】（1）因為，根據(jù)正弦定理得，又，從而，由于，所以．（2）根據(jù)余弦定理，而，，，代入整理得，解得或（舍去）．故的面積為．