2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題含答案（遼寧卷）1

第1頁共14頁2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)（供理科考生使用）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共60分）參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么 次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，，則（）A． B． C． D．2．若函數(shù)的反函數(shù)圖象過點，則函數(shù)的圖象必過點（）A． B． C． D．3．若向量與不共線，，且，則向量與的夾角為（）A．0 B． C． D．4．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．63 B．45 C．36 D．275．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若函數(shù)的圖象按向量平移后，得到函數(shù)的圖象，則向量（）A． B． C． D．7．若是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則8．已知變量滿足約束條件則的取值范圍是（）A． B．C． D．9．一個壇子里有編號為1，2，…，12的12個大小相同的球，其中1到6號球是紅球，其余的是黑球，若從中任取兩個球，則取到的都是紅球，且至少有1個球的號碼是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．10．設(shè)是兩個命題：，則是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（）A． B． C． D．12．已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當時的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（）A．0是的極大值，也是的極大值B．0是的極小值，也是的極小值C．0是的極大值，但不是的極值D．0是的極小值，但不是的極值第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．13．已知函數(shù)在點處連續(xù)，則．14．設(shè)橢圓上一點到左準線的距離為10，是該橢圓的左焦點，若點滿足，則=．15．若一個底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個平面上，則此球的體積為．16．將數(shù)字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第個數(shù)為，若，，，，則不同的排列方法有種（用數(shù)字作答）．三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（其中）（I）求函數(shù)的值域；（II）若對任意的，函數(shù)，的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，試確定的值（不必證明），并求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．18．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，，分別為棱的中點，為棱上的點，二面角為．（I）證明：；（II）求的長，并求點到平面的距離．19．（本小題滿分12分）某企業(yè)準備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式如下表所示：市場情形概率價格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式好0.4中0.4差0.2設(shè)分別表示市場情形好、中差時的利潤，隨機變量，表示當產(chǎn)量為，而市場前景無法確定的利潤．（I）分別求利潤與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（II）當產(chǎn)量確定時，求期望；（III）試問產(chǎn)量取何值時，取得最大值．20．（本小題滿分14分）已知正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中為坐標原點，設(shè)圓是的內(nèi)接圓（點為圓心）（I）求圓的方程；（II）設(shè)圓的方程為，過圓上任意一點分別作圓的兩條切線，切點為，求的最大值和最小值．21．（本小題滿分12分）已知數(shù)列，與函數(shù)，，滿足條件：，.（I）若，，，存在，求的取值范圍；（II）若函數(shù)為上的增函數(shù)，，，，證明對任意，（用表示）．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（I）證明：當時，在上是增函數(shù)；（II）對于給定的閉區(qū)間，試說明存在實數(shù) ，當時，在閉區(qū)間上是減函數(shù)；（III）證明：．絕密★啟用前2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(遼寧卷)數(shù)學(xué)(供理科考生使用)試題答案與評分參考說明:一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應(yīng)的評分細則.二、對解答題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù).四、只給整數(shù)分數(shù).選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分60分.（1）B（2）C（3）D（4）B（5）B（6）A（7）C（8）A（9）D（10）A（11）B（12）C二、填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題4分，滿分16分.（13）-1（14）2（15）（16）30三、解答題（17）本小題主要考查三角函數(shù)公式，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用三角函數(shù)有關(guān)知識的能力.滿分12分.(Ⅰ)解： 5分由≤≤,得≤2≤1.可知函數(shù)的值域為[-3,1]. 7分（Ⅱ）解：由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)可知，的周期為＞0，得，即得 9分于是有，再由≤≤，解得≤x≤.所以的單調(diào)增區(qū)間為[，]. 12分（18）本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力與思維滿分12分.(Ⅰ)證明：連結(jié)CD.∵三棱柱ABC-A，BC是直三棱柱.∴∴CD為C1D在平面ABC內(nèi)的射影.∵△ABC中，AC=BC，D為AB中點.∴∴∵∴（Ⅱ）解法一：過點A作CE的平行線，交ED的延長線于F，連結(jié)MF.∵D、E分別為AB、BC的中點.∵又∴∵AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影，∴∴為二面角的平面角，.在△MAF中,,∴作，垂足為G.∵∴∴∴在△GAF中,，AF=∴，即A到平面MDE的距離為.∵∴∴C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等,為，解法二：過點A作CE的平行線，交ED的延長線于F，連結(jié)MF.∵D、E分別為AB、CB的中點，∴又∵∴∵∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影，∴∴為二面角的平面角，.在△MAF中,,∴設(shè)C到平面MDE的距離為h.∵,∴∴∴,即C到平面MDE的距離相等,為(19)本小題主要考查數(shù)學(xué)期望,利用導(dǎo)數(shù)求多項式函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識,考查運用概率和函數(shù)知識建模解決實際問題的能力.滿分12分.(Ⅰ)解:由題意可得L1=(q＞0).同理可得(q＞0)(q＞0) 4分(Ⅱ)解:由期望定義可知(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知是產(chǎn)量q的函數(shù),設(shè)(q＞0)得0解得(舍去).由題意及問題的實際意義(或當0＜q＜10時,f′(q)＞0;當q＞10時,f(q)＜0＝可知,當q=10時,f(q)取得最大值,即最大時的產(chǎn)量q為10.(20)本小題主要考查平面向量,圓與拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基本知識,考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力.滿分14分.(Ⅰ)解法一:設(shè)A、B兩點坐標分別為，由題設(shè)知解得所以設(shè)圓心C的坐標為（r,0），則因此圓C的方程為 4分解法二：設(shè)A、B兩點坐標分別為由題設(shè)知.又因為即由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A、B兩點關(guān)于x軸對稱，所以圓心C在x軸上.設(shè)C點的坐標為（r,0），則A點坐標為，于是有，解得r=4,所以圓C的方程為 4分(Ⅱ)解：設(shè)∠ECF=2a,則. 8分在Rt△PCE中,.由圓的幾何性質(zhì)得≤≥ 10分所以≤≤，由此可得≤≤.故的最大值為，最小值為. 14分（21）本小題主要考查數(shù)列的定義，數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列，函數(shù)，不等式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)歸納法解法問題的能力.滿分12分.(Ⅰ)解法一：由題設(shè)知得，又已知,可得由其首項為.于是又liman存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且解法二.由題設(shè)知tbn+1=2bn+1,且可得由可知,所以是首項為,公的等比數(shù)列.由可知，若存在，則存在.于是可得0＜＜1,所以-1＜t.=2解法三:由題設(shè)知tbn+1=2bn+1,即①于是有②②-①得由，所以是首項為b公比為的等比數(shù)列，于是（b2-b1）+2b.又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且說明：數(shù)列通項公式的求法和結(jié)果的表達形式均不唯一，其他過程和結(jié)果參照以標準.(Ⅱ)證明：因為.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明＜.(1)當n=1時，由f(x)為增函數(shù),且＜1,得＜1＜1＜，即＜，結(jié)論成立.（2）假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即＜.由f(x)為增函數(shù)，得＜f即＜進而得＜f()即＜.這就是說當n=k+1時，結(jié)論也成立.根據(jù)（1）和（2）可知，對任意的，＜.(22)本小題主要考查二次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.滿分12分.(Ⅰ)證明：由題設(shè)得又由≥,且t＜得t＜，即＞0.由此可知，為R上的增函數(shù).(Ⅱ)證法一：因為＜0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實數(shù)k，使得t＜0，即t＞在閉區(qū)間[a,b]上成立即可.因此y=在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，故在閉區(qū)[a,b]上有最大值，設(shè)其為k，t＞k時,＜0在閉區(qū)間[a,b]上恒成立，即在閉區(qū)間[a,b]上為減函數(shù).證法二：因為＜0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實數(shù)k，使得t＞k時＜0，在閉區(qū)間[a,b]上成立即可.令則＜0()當且僅當＜0().而上式成立只需即成立.取與中較大者記為k，易知當t＞k時，